Intégration & probabilités MACS 1
Présentation du cours
Laurent Tournier
Janvier 2015
Enseignants
Cours (8 séances de 3h) :Laurent Tournier tournier@math.univ-paris13.fr
http://www.math.univ-paris13.fr/~tournier Bureau D313
TD (7 séances de 3h) :Clément Foucart foucart@math.univ-paris13.fr Bureau D320
Aspects pratiques
Salle : variable ! Toujours vérifier sur l’emploi du temps.
Horaire : cours mardi matin, à8h30.
Modalités d’évaluation
Partiel (4 mars)a priori sur la partie intégration
Examen (6 mai)a priori sur tout le programme, mais avec davantage de probabilités
Note finale=max
Examen,Examen+Partiel 2
(Possibilité de bonus basé sur le travail en TD, ou sur la ponctualité. . . à définir plus tard au besoin)
Références
Pas de polycopié sur la partie Intégration (assister au cours !)
Et résumé de cours pour la partie Probabilité (assister au cours pour les exemples, explications, démonstrations !)
Pour aller plus loin (démonstrations complètes) : Intégration et probabilités
J.-F. Le Gall (basé sur un cours à l’ENS)
http://www.math.ens.fr/~legall/IPPA.pdf
Objectifs du cours
Définir et étudier uneextensionde la définition de l’intégrale d’une fonction (appeléeintégrale de Lebesgue), et son application à la théorie des
probabilités
Repères historiques :Bien que des intégrales soient manipulées depuis le XVIIesiècle (Newton, Leibniz), les premières définitions rigoureuses de l’intégrale datent de Cauchy (1823) et Riemann (1854). Henri Lebesgue introduit sa définition de l’intégrale en 1901.
Son utilisation en probabilité est due à Andrei Kolmogorov en 1933.
Intégrale de Riemann
Principe :approximation def par des fonctions en escalier (car on sait intégrer des fonctions en escalier)
Pour toute subdivision(xi)ide l’espace de départ, dont le pas tend vers 0 avecn, pour tous pointsti∈[xi,xi+1],
a b
f
Zb
a f
(x)dx = lim
n Xni=1
(x
i+1−xi)f (t
i)
xiti xi+1Limitations de l’intégrale de Riemann
Définition peu naturelle pour des fonctions non bornées (découpage de l’intervalle, et limite pour se ramener au cas borné)
Non définie pour certaines fonctions bornées très irrégulières Difficulté de l’étude des limites : sifn→f, alorsR
fn→R
f ? D’abord, est-ce queR
f a un sens ?
Définition restreinte aux fonctionsRd →R, sans généralisation directe à d’autres espaces de départ
Intégrale de Lebesgue
Principe :approximation def par des fonctionsétagées
(mais sait-on intégrer des fonctions étagées ?)
Pour toute subdivision(`i)ide l’espace d’arrivéedont le pas tend vers 0 avecn,
a b
f
`i
`i+1
Z b
a f(x)dx
= lim
nXn
i=1
longueur(f
−1([`i, `i+1[))`iComment définir longueur(A)pourA⊂[a,b]?⇒théorie de la mesure
Intégrale de Lebesgue
Principe :approximation def par des fonctionsétagées
(mais sait-on intégrer des fonctions étagées ?)
Pour toute subdivision(`i)ide l’espace d’arrivéedont le pas tend vers 0 avecn,
a b
f
`i
`i+1
Z b
a f(x)dx
= lim
nXn
longueur(f
−1([`i, `i+1[))`if−1([`i, `i+1[)
Comment définir longueur(A)pourA⊂[a,b]?⇒théorie de la mesure
Intégrale de Lebesgue
Principe :approximation def par des fonctionsétagées (mais sait-on intégrer des fonctions étagées ?)
Pour toute subdivision(`i)ide l’espace d’arrivéedont le pas tend vers 0 avecn,
a b
f
`i
`i+1
Z b
a f(x)dx
= lim
nXn
i=1
longueur(f
−1([`i, `i+1[))`if−1([`i, `i+1[)
Comment définir longueur(A)pourA⊂[a,b]?⇒théorie de la mesure
Intérêts de l’intégrale de Lebesgue
Se définit même sif n’est pas bornée, de la même manière Se définit pour une très large classe de fonctions (très irrégulières) Existence de théorèmes de passage à la limite sous l’intégrale S’étend naturellement à d’autres espaces de départ (f :E→R), si on donne un sens à la “longueur” (on parle alors de “mesure”µ) :
Z
E
f(x)dµ(x)
L’intégrale usuelle correspond au cas oùµdonne la “longueur”. On appelle cette mesure lamesure de Lebesgue(surR).
Siµ(E) =1, on peut interpréterEcomme un ensemble d’éventualités à l’issue d’une expérience aléatoire etµ(A)comme une mesure de la
“probabilité” d’un “événement”A. . .
Plan du cours – Intégration
0 Préliminaires sur les ensembles
1 Espaces mesurés (tribu, mesure, fonction mesurable)
2 Intégration par rapport à une mesure Définition de l’intégrale Théorèmes de convergence Intégrales à paramètre
3 Intégration sur un espace produit : théorèmes de Fubini
4 Changement de variables
5 Espaces fonctionnelsL1etL2
Plan du cours – Probabilités
1 Bases de la théorie des probabilités Espace de probabilités, événéments Probabilité conditionnelle, indépendance Variables aléatoires, loi, espérance, variance
2 Suites de variables aléatoires Notions de convergence Loi des grands nombres Théorème central limite
