Nombres croisés n°xxx Nombres Amiables

Nombres croisés n°xxx Nombres Amiables

Cette grille utilise des couples de Nombres Amiables {Nx1, Nx2}.

{Nx1, Nx2} : la somme des diviseurs propres* de Nx1 est égale à Nx2, et réciproquement.

*diviseur propre : Tout entier naturel qui divise exactement un entier autre que lui-même.

Nx1 est inférieur à Nx2.

Tous les nombres sont différents.

Aucun nombre ne commence par zéro.

pdc : produit des chiffres d'un nombre.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (A)

(B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I)

Horizontalement Verticalement

(A) Na1 (a) Na2

(B) Nb1 (b) Nb2

(C) Carré (c) Carré

(D) Nc1 (d) Nc2

(E) Carré (e) Carré

(F) Carré (f) pdc = carré non nul

(G) pdc = puissance dixième non nulle (g) pdc = puissance cinquième non nulle (H) Nombre premier dont le pdc est un carré non nul (h) pdc = 0

(I) Nombre premier (i) Nombre premier

1. Nombres amiables de 9 chiffres :

On construit la table des 328 couples {Nx1, Nx2}, des nombres de 9 chiffres

Nx1 Nx2 Nx1 Nx2 Nx1 Nx2 Nx1 Nx2 Nx1 Nx2 Nx1 Nx2 Nx1 Nx2 Nx1 Nx2

102 023 145 116 970 399 161 088 158 166 706 530 221 397 165 235 831 635 291 974 824 299 001 176 364 182 075 365 012 325 474 179 596 505 757 684 602 035 390 619 418 690 754 484 445 848 771 235 102 719 740 129 063 812 162 936 904 166 679 096 223 878 416 227 342 704 295 824 376 299 072 024 370 032 676 407 256 284 475 838 415 514 823 985 606 235 455 625 482 945 761 197 736 777 413 464 103 034 776 105 016 424 164 733 752 166 212 808 224 888 895 273 272 769 300 120 652 347 620 148 371 840 350 464 106 146 487 169 380 589 230 476 613 290 028 682 191 572 761 511 104 769 560 256 104 887 448 105 064 552 165 323 696 167 155 024 226 540 432 231 465 968 300 208 696 313 576 904 373 305 350 432 893 050 491 373 104 511 419 856 621 354 896 661 063 024 762 662 128 798 845 072 108 734 050 116 251 550 165 742 395 182 622 405 227 443 340 302 651 764 301 685 895 342 005 985 375 401 624 399 982 216 492 275 992 553 544 168 625 955 024 655 391 536 766 292 835 766 512 285 109 410 345 110 132 055 166 737 550 188 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350 147 313 850 199 432 948 213 484 172 271 048 340 331 636 372 334 438 875 358 687 845 427 950 350 455 921 650 558 173 344 571 181 792 685 939 088 692 097 712 874 591 550 986 896 450 139 009 990 156 322 490 200 328 232 206 790 368 271 629 728 279 947 872 339 981 512 373 803 448 429 035 596 458 447 924 558 410 475 662 939 925 688 679 775 825 955 425 877 324 936 890 419 064 140 744 835 166 562 685 200 879 055 206 393 265 273 141 836 306 014 644 343 175 404 364 682 516 430 848 592 445 657 808 559 334 930 750 516 718 691 075 330 760 392 830 891 089 368 993 165 032 140 815 384 155 709 416 201 168 592 203 314 448 274 638 460 302 514 116 346 657 311 370 393 569 436 386 015 482 909 985 573 216 416 576 387 424 698 002 450 708 157 550 894 012 525 991 581 075 144 788 020 186 088 988 203 055 622 210 627 578 274 893 410 284 512 030 347 263 216 370 414 064 437 888 168 456 351 832 577 884 195 587 323 485 698 049 512 760 728 088 894 690 615 934 224 585 145 040 288 149 364 256 203 972 715 207 429 525 275 304 590 281 534 770 347 401 035 365 917 365 438 362 984 466 417 816 579 926 204 628 681 924 701 168 432 729 739 984 902 335 744 903 709 952 146 648 612 159 017 308 204 134 385 244 869 135 275 631 376 281 207 984 348 782 488 371 171 432 438 452 624 445 419 376 579 980 048 589 141 552 704 374 540 850 529 972 903 825 416 972 264 184 147 366 765 182 028 483 204 756 904 226 163 096 276 339 808 278 431 136 356 775 430 392 753 210 439 232 624 451 335 376 585 057 992 632 663 608 705 023 055 724 885 425 907 960 904 930 631 096 148 077 644 160 128 436 205 843 365 254 264 283 278 247 976 293 288 024 357 197 302 409 205 258 442 480 816 461 479 184 586 188 070 594 986 330 705 280 310 791 333 578 912 404 025 988 724 295 153 015 550 168 392 450 208 693 628 255 308 932 281 499 435 297 034 965 359 156 770 402 020 318 447 761 144 455 118 856 586 200 224 587 353 696 721 522 755 726 368 445 914 746 450 960 133 550 154 190 750 190 889 986 209 027 128 224 355 272 285 627 615 293 528 865 360 027 675 433 850 085 460 122 410 484 817 110 595 858 064 596 654 896 728 921 270 910 259 530 916 021 964 999 258 676 155 578 180 172 610 492 209 309 704 209 816 696 286 000 065 297 390 015 360 172 336 383 753 264 465 605 192 531 830 968 596 668 490 603 557 110 749 380 864 750 555 392 917 168 950 953 023 850 155 797 390 165 195 890 211 319 745 234 587 199 287 250 632 287 551 288 360 759 652 393 667 868 466 389 344 472 453 792 600 418 910 787 621 282 750 893 325 786 508 275 930 793 204 999 728 396 156 226 856 165 181 144 214 748 488 245 201 912 287 793 350 302 793 850 362 645 570 398 531 518 467 406 225 534 612 975 601 020 945 623 232 495 751 953 405 767 949 315 948 760 928 951 278 752 157 151 410 163 634 510 216 392 216 218 772 184 291 679 245 339 731 955 362 700 728 413 408 872 471 696 190 540 842 690 601 235 145 696 285 495 752 458 216 820 021 784 957 871 508 998 051 692

Que la calculatrice positionne de façon unique comme suit :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 5

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 9

(F) 8 7 1

(G) 9 4 9

(H) 7 4 9

(I) 6 8 0

2. (C), (c), (E), (e) et (F)

Puis vient le tour des 5 carrés : (C), (c), (E), (e) et (F), pour la seule réponse :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 6 5 2 3 3 6 4

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 6 9 1 2 8 0 1

(F) 8 7 4 1 4 8 3 5 6

(G) 9 4 6 9

(H) 7 4 8 9

(I) 6 8 9 0

3. (f), (G), (g) et (H)

On détermine les valeurs possibles de (f), (G), (g) et (H) en fonction de leur pdc.

valeur pdc pdc valeur pdc pdc valeur pdc pdc

(f)

723 128 167 28 224 168 723 128 617 28 224 168 723 128 746 112 896 336 723 128 176 28 224 168 723 128 647 112 896 336 723 128 761 28 224 168 723 128 237 28 224 168 723 128 671 28 224 168 723 128 764 112 896 336 723 128 273 28 224 168 723 128 674 112 896 336 723 128 769 254 016 504 723 128 327 28 224 168 723 128 679 254 016 504 723 128 783 112 896 336 723 128 372 28 224 168 723 128 697 254 016 504 723 128 796 254 016 504 723 128 378 112 896 336 723 128 716 28 224 168 723 128 837 112 896 336 723 128 387 112 896 336 723 128 723 28 224 168 723 128 873 112 896 336 723 128 467 112 896 336 723 128 732 28 224 168 723 128 967 254 016 504 723 128 476 112 896 336 723 128 738 112 896 336 723 128 976 254 016 504

valeur pdc

pdc valeur pdc

pdc valeur pdc

pdc

(G)

946 986 899 60 466 176 6 946 988 969 60 466 176 6 946 989 869 60 466 176 6 946 986 989 60 466 176 6 946 988 996 60 466 176 6 946 989 896 60 466 176 6 946 986 998 60 466 176 6 946 989 689 60 466 176 6 946 989 968 60 466 176 6 946 988 699 60 466 176 6 946 989 698 60 466 176 6 946 989 986 60 466 176 6

valeur pdc

pdc valeur pdc pdc

valeur pdc

pdc (g)

413 183 139 7 776 6 413 183 333 7 776 6 413 183 931 7 776 6 413 183 193 7 776 6 413 183 391 7 776 6

413 183 319 7 776 6 413 183 913 7 776 6

De plus, (H) est premier:

valeur pdc pdc valeur pdc pdc valeur pdc pdc

(H)

748 961 371 254 016 504 748 964 731 1 016 064 1 008 748 967 269 9 144 576 3 024 748 964 267 4 064 256 2 016 748 966 279 9 144 576 3 024 748 967 773 12 446 784 3 528 748 964 347 4 064 256 2 016 748 966 763 9 144 576 3 024 748 968 967 36 578 304 6 048 748 964 627 4 064 256 2 016 748 966 817 4 064 256 2 016 748 969 687 36 578 304 6 048 748 964 687 16 257 024 4 032 748 966 927 9 144 576 3 024 748 969 937 20 575 296 4 536

La calculatrice renvoie quatre grilles candidates :

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 6 5 2 3 3 6 4

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 6 9 1 2 8 0 1

(F) 8 7 4 1 4 8 3 5 6

(G) 9 4 6 9 8 6 9 8 9

(H) 7 4 8 9 6 1 3 7 1

(I) 6 8 9 0 4 7 1

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 6 5 2 3 3 6 4

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 6 9 1 2 8 0 1

(F) 8 7 4 1 4 8 3 5 6

(G) 9 4 6 9 8 6 9 9 8

(H) 7 4 8 9 6 1 3 7 1

(I) 6 8 9 0 4 7 1

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 6 5 2 3 3 6 4

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 6 9 1 2 8 0 1

(F) 8 7 4 1 4 8 3 5 6

(G) 9 4 6 9 8 6 9 8 9

(H) 7 4 8 9 6 4 3 4 7

(I) 6 8 9 0 4 7 1

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 6 5 2 3 3 6 4

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 6 9 1 2 8 0 1

(F) 8 7 4 1 4 8 3 5 6

(G) 9 4 6 9 8 6 9 9 8

(H) 7 4 8 9 6 4 3 4 7

(I) 6 8 9 0 4 7 1

4. (I) et (i) sont premiers

L'ensemble donne la seule réponse suivante, à partir de la grille G1:

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

(A) 1 1 5 4 4 7 4 2 4

(B) 1 3 4 3 1 2 1 5 2

(C) 8 9 6 5 2 3 3 6 4

(D) 4 0 7 6 4 1 1 3 0

(E) 5 5 6 9 1 2 8 0 1

(F) 8 7 4 1 4 8 3 5 6

(G) 9 4 6 9 8 6 9 8 9

(H) 7 4 8 9 6 1 3 7 1

(I) 6 8 9 0 4 7 1 7 1

Contrôles

grille

(A) Na1 115 447 424 A = 118 458 976 = (a)

(B) Nb1 134 312 152 B = 139 057 448 = (b)

(C) Carré 896 523 364 = 29 942

(D) Nc1 407 641 130 D = 435 691 990 = (d)

(E) Carré 556 912 801 = 23 599

(F) Carré 874 148 356 = 29 566

(G) pdc = puissance dixième non nulle 946 986 989 pdc = 60 466 176 = 6

(H) Nombre premier dont le pdc est un carré non nul

748 961 371

premier,

pdc = 254 016 = 504

(I) Nombre premier 689 047 171 premier

(a) Na2 118 458 976 a = 115 447 424 = (A)

(b) Nb2 139 057 448 b = 134 312 152 = (B)

(c) Carré 546 764 689 = 23 383

(d) Nc2 435 691 990 d = 407 641 130 = (D)

(e) Carré 412 414 864 = 20 308

(f) pdc = carré non nul 723 128 617 pdc = 28 224 = 168

(g) pdc = puissance cinquième non nulle 413 183 931 pdc = 7 776 = 6

(h) pdc = 0 256 305 877 pdc = 0

(i) Nombre premier 424 016 911 premier

=

∶ =

^{+1 − 1}

− 1

## ∶ = −