Montrer queϕ est localement major´ee sur IntD(ϕ) au sens suivant: pour toutx ∈IntD(ϕ), il existe r1x, Cx ∈(0

Ecole Normale Sup´erieure 2005-2006

Examen d’Analyse Fonctionnelle et EDP Jeudi 8 juin 2006 de 9h `a 12h

Exercice 1 (Baire et Hahn-Banach). SoitE un espace de Banach etϕ:E−→]− ∞,+∞] une fonction convexe s.c.i.. On poseD(ϕ) ={x∈E / ϕ(x)<+∞}et on suppose que IntD(ϕ)6=∅.

1) - Montrer queϕ est localement major´ee sur IntD(ϕ) au sens suivant: pour toutx ∈IntD(ϕ), il existe r¹_x, Cx ∈(0,∞) tels que ϕ(y)≤Cx pour tout y ∈B(x, r¹_x). En d´eduire queϕest localement born´ee, puis localement Lipschitzienne sur IntD(ϕ) au sens suivant: pour toutx∈IntD(ϕ), il exister_x²∈(0,∞) tel que ϕest born´ee et mˆeme Lipschitzienne surB(x, r²_x).

On d´efinit le sous-diff´erentiel deϕ, not´e∂ϕ, par

(f ∈∂ϕ(x)⊂E⁰)⇐⇒(ϕ(x)∈R et hf, y−xi ≤ϕ(y)−ϕ(x),∀y∈E).

Le sous-diff´erentiel est donc une application∂ϕ:D(ϕ)→ P(E⁰) l’ensemble des parties deE⁰.

2) - Soit x∈ IntD(ϕ). Montrer que ∂ϕ(x)6=∅et que∂ϕ(x) est un ensemble convexe. Montrer que si de plus∂ϕ(x) est r´eduit `a un seul ´el´ement, alorsϕest Gˆateaux-diff´erentiable enx et∂ϕ(x) ={ϕ⁰(x)}.

Exercice 2 (Compacit´e dans H_rad¹ (R^N)). On fixeN ≥2.

1) - Montrer que l’injectionH¹(R^N)⊂L²(R^N) n’est pas compacte.

On d´esigne parH_rad¹ (R^N) le sous-espace vectoriel des fonctions radiales deH¹(R^N) que l’on d´efinit comme

´etant les fonctionsu∈H¹(R^N) telles que

hu, ϕ◦Ri=hu, ϕi ∀ϕ∈ D(R^N), ∀Rrotation.

2) - Montrer queC_rad,c¹ (R^N) est dense dans H_rad¹ (R^N), queH_rad¹ (R^N) est un ferm´e deH¹(R^N) et que pour toutu∈H_rad¹ (R^N) il existef : (0,∞)→Rmesurable telle queu(x) =f(|x|) p.p dansR^N et

kuk²_H1(R^N)=cN

Z ∞

0

(|f(r)|²+|f⁰(r)|²)r^N−1dr.

3) - Montrer que pouru∈H_rad¹ (R^N) on a

|u(x)|²≤Ckuk²_H1(R^N)

|x|^N−1 p.p.dansR^N. 4) - En d´eduire que pourp∈R₊, 2< p+ 1<2^∗, on a

∀R >0 Z

|x|≥R

|u(x)|^p+1dx≤C R⁻(p−1) (N−1)

2 ,

et que l’injection H_rad¹ (R^N)⊂L^p+1(R^N) est compacte.

1

5) - Montrer que la fonctionnelle

J(v) = Z

R^N

(|∇v(x)|²+m|v(x)|²)dx, m >0,

d´efinie surS:={v∈H_rad¹ (R^N); kvkp+1= 1}y atteint son minimum. En d´eduire l’existence d’une solution

`

a l’´equation (pr´eciser le sens)

−∆u+m u=u^p, u≥0, u6≡0 dans R^N.

Exercice 3 (Equation cin´etique). PourN ≥1, on consid`ere l’´equation

(1) f+v· ∇xf =g dans D⁰(R^2N).

1) - Montrer que sif =f(x, v)∈ S(R^2N) etg=g(x, v)∈ S(R^2N) satisfont (1) alors (2) ∀p∈[1,∞] kfk_L^p_(R^2N₎≤ kgk_L^p_(R^2N₎.

Pourψ∈ D(R^N), suppψ⊂B(0, R), on d´efinit

ρ(x) =ρf,ψ(x) :=

Z

R^N

f(x, v)ψ(v)dv,

et pourh=h(x, v), on note ˆh(ξ, v) =Fx(h(., v))(ξ) la transformation de Fourier dans la variablex.

2) - Montrer que sif =f(x, v)∈ S(R^2N) etg=g(x, v)∈ S(R^2N) satisfont (1) alors pour toutξ ∈R^N

ˆ ρ(ξ) =

Z

|v·ξ|≤1

fˆ(ξ, v)ψ(v)dv+ Z

|v·ξ|≥1

ˆ g(ξ, v)

1 +i v·ξ ψ(v)dv.

En d´eduire que pour toutξ∈R^N

|ˆρ(ξ)| ≤ CR

|ξ|^1/2kψkL^∞(kfˆ(ξ, .)kL²+kˆg(ξ, .)kL²).

3) - Montrer que pour toutg∈L²(R^2N) il existe une unique solutionf ∈L²(R^2N) `a l’´equation (1) et qu’on a la borne (2) avecp= 2. Montrer alors que pour toutg∈L¹(R^2N) il existe une unique solutionf ∈L¹(R^2N)

`

a l’´equation (1) et qu’on a la borne (2) avecp= 1.

4) - En d´eduire que pourf, g∈L²(R^2N) on a

kρk_H^1/2_(R^N₎≤C(kfkL²(R^2N)+kgkL²(R^2N)).

5) - Montrer que si (gn) est une suite de L¹(R^2N) compactes pour la topologieσ(L¹, L^∞) et si (fn) est la suite de solutions de (1) associ´ee, alors (ρfn,ψ) est une suite deL¹(R^N) compacte pour la topologie forte.

Exercice 4 (Equation de Poisson avec donn´eeL¹). Soit Ω un ouvert born´e deR^N,N ≥3, etf ∈L¹(Ω).

On cherche `a r´esoudre l’´equation

(3) −∆u=f dans Ω, u= 0 sur ∂Ω.

2

1) - Soitv∈H₀¹(Ω). Montrer que∇v⁺=1v>0∇v=1v≥0∇v. En d´eduire que pour toutk∈Ron a∇u= 0 p.p. sur {x∈Ω, u(x) =k}. En d´eduire ´egalement que siT :R→Rest une fonction Lipschitzienne et C¹ par morceaux (en nombre fini) avecT(0) = 0 on aT(v)∈H₀¹(Ω) et∇T(v) =T⁰(v)∇v.

2) - Soit une suitefε∈L²(Ω) telle quefε→f dansL¹(Ω) fort. Montrer qu’il existe une solution (en quel sens?) au probl`eme

−∆uε=fε dans Ω, u= 0 sur ∂Ω.

3) - SoitZk :R→Rla fonction impaire d´efinie parZk(s) = 0 si s∈[0,2^k],Zk(s) =s−2^k sis∈[2^k,2^k+1], Zk(s) = 2^k sis≥2^k+1 etE_ε^k :={x∈Ω, 2^k≤ |uε(x)| ≤2^k+1}. Montrer queZk(uε)∈H₀¹(Ω) et

∀ε >0, ∀k∈N Z

E^k_ε

|∇uε|²≤ kfkL¹2^k.

4) - En d´eduire d’une part que pour toutq∈]1, N/(N−1)[ on a Z

Ω

|∇uε|^q ≤ kfk^q/2_L1

X

k

2^{k q/2}mes(E_ε^k)^1−q/2.

5) - En d´eduire d’autre part que mes(E_ε^k)≤C2^−k2∗/2.

6) - Montrer enfin qu’il existe une constanteC=C(Ω,kfεkL¹) telle que

∀ε >0 Z

Ω

|∇uε|^q≤C.

7) - Conclure `a l’existence d’une solution au probl`eme (3). Pr´eciser le sens.

Exercice 5 (Espaces d’Orlicz et interpolation). Soit Λ :R₊→R₊ une fonction convexe strictement croissante de classeC² telle que Λ(0) = Λ⁰(0) = 0 et il existe une constante C2 ∈(0,∞) telle que Λ(2u)≤ C2Λ(u) pour toutu >0. Soit Ω un ouvert born´e deR^N. On d´efinit

L^Λ:={f : Ω→Rmesurable, Λ(|f|)∈L¹(Ω)}

et la norme de jauge:

∀f ∈L^Λ, kfk_L^Λ:= infn λ >0;

Z

Ω

Λ|f(x)|

λ

dx≤1o .

1) - Montrer que (L^Λ,kkL^Λ) est un espace vectoriel norm´e et queL^∞(Ω) est dense dansL^Λ(Ω).

2) - SoitT :L¹(Ω)→L¹(Ω) un op´erateur lin´eaire continu de norme d’op´erateurN1 et tel queT(L^∞(Ω))⊂ L^∞(Ω). Montrer queT :L^∞(Ω)→L^∞(Ω) est continu, on noteN∞la norme d’op´erateur associ´ee.

3) - Montrer de plus que T : L^Λ(Ω) → L^Λ(Ω) est continu et que la norme d’op´erateur associ´ee satisfait NΛ≤max(N1, N∞).

3