:(les suites) On a :suite définie par : 1. vérifions que : 2. On a : Montrons par récurrence que : (I)

(1)

:(les suites) On a : suite définie par :

1. vérifions que :

2. On a :

Montrons par récurrence que : (I)

 Pour n=0 on a :

donc la proposition(I) est vérifiée.

 Supposons que pour la proposition(I) est vérifiée, et montrons qu’elle l’est aussi pour (n+1).

On a :

Et comme donc :

D’où donc :

Alors la proposition(I) est vérifiée pour (n+1).

Conclusion :

On a montré par récurrence que :

2. une suite définie par : ¹

 

3

n n

n

v u n IN

u

   



a) Montrons que une suite géométrique. on a :

 un 0

1

2 3 5

n n

n

u u u

 u

 

 

 

 





^{ }ⁿ ^IN



 

1

4 3

3 2 3

n n

n

u u

 u

  

 

 

   

 

1

3 3 5

3 3 3=

5 5

3 15 3 4 12

= =

2 3 2 3

4 3

=

2 3

n n

n n n

n n

u u

u u u

u u



  

   

 

   



 

 



 n IN un ³



0 2 3

u  



ⁿ^^IN



 

1

4 3

3 2 3

n n

n

u u

 u

  

 



un ^{3 0}



⁴



un  ³



^{0 2}et  



³ un



⁰



u_n_1 3 0

 

u_n_13



 



 n IN un ³



  v

n

 vn

   

1

3 5 2 1

3 3 5 2 2

1 1= = = =

5 5 5 5 5

n n n

n n n n

n

n n n n n

u u u

u u u u

u ^ u u u u u

   

    

   

    

D’où :

 

1

4 3

3 2 3

n n

n

u u

 u

  

  ^{ }ⁿ ^IN

     

1

3 5 3 4 3

3 12 4

3 3 = = =

5 5 5 5

n n n

n n

n

n n n n

u u u

u u

u

u u u u



   

 

  

   



(2)

D’où :

Conclusion : une suite géométrique de raison est de premier terme .

On en déduit : a) Montrons que

Ecrivons en fonction de n.

On a : donc :

c) Déterminons la limite de . On a :

(Et comme car alors :

(la géométrie dans l’espace)

On considère les points A(2,1,3), B(3,1,1) et C(2,2,1).

1. a) Montrons que On a ;^AB



^{1,0, 2}^



^et^AC



^{0,1, 2}^



Donc :

D’où :

 

1

2 1 5 1

5 4 3 = 2

n n

u u

v v

u u



   

 

 

  

1 q  2

0 0

0

1=1 3

v u

u

 



 

¹

2

n

n IN vn

  

   

    

 

 

1 3 1

n n

n

u v n IN

v

   



un

 

¹

2

n

n IN vn

  

   

   

     

1 3 1

2 1 1

2

n

n n

u n IN

    

  

    

 un  

1 3 1 2 1 1

2

n

n n

u n IN

   

    

   

 

lim 1 0

2

n

n  

  

1 1 1 )

  2 _n 1

nlim u

 

2 2

AB AC i jk

     

0 1 1 0 1 0

2 2 2 2 0 1

0 2 2 0 1 0

AB AC i j k

  

 

    

     

2

AB AC  i



j



k

On a:

 

1 3 1

3

3 1

1 3

1

n

n n n n

n

n n n n

n n

n

v u

v u u

u

v v u u

u v u v

u v

v

     



   

   

  



  ^{1 3}

: 1

n n

n

n IN v

u v

   

conclusion 

(3)

b) est un vecteur normale au plan et en

déduit que est une équation cartésienne

du Plan (ABC) et On a A(2,1,3) appartient au plan (ABC) donc ce qui l’équation cartésienne du plan (ABC) : . 2. a) Montrons que est le centre de(S) et que son rayon est r = 6.

L’équation de (S) est x² y² z² 2x2y340 Donc :



^x^¹

 

² ^ ^y^¹

 

² ^ ^z^⁰



²^³⁶^⁰



^x^¹

 

² ^ ^y^¹

 

²^ ^z^⁰



² ^⁶²

Ce qui montre que (S) a pour centre et rayon r = 6.

b) Montrons que

On a :

on en déduit que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (T) car .

3. a) est la droite qui passe par et qui est perpendiculaire au plan (ABC),donc est un vecteur directeur de(∆) , Ω un point qui lui appartient, une représentation paramétrique est :

b) Déterminons les coordonnées du point intersection du plan (ABC) et la droite ,ces coordonnées vérifient le système :

En remplaçant x , y et z par leurs valeurs en fonction de t on obtient Donc

Conclusion : le point d’intersection de (P) et est bien le point B(3,1,1) est qui est le centre du cercle (T).

(les nombres complexes)



^{2, 2,1}



AB AC

n 

2x2y  z d 0 2 2 2 1 3      d 0 d 9

2x2y  z 9 0

^{1, 1, 0}

 

^{1, 1, 0}

 

 



^, ^ABC



³

d  

 

  ^{ } ^{   }

2 2 2

, 2 1 2 1 0 9

2 2 1

= 9 3 9

d  ABC      

  

 

 



^, ^ABC



^{3 6}

d   

 

^ ^



^{2, 2,1}



n

 

1 2 1 2

x t

y t t IR

z t

 

   







 

^

 

1 2 1 2 t 2 2 9 0

x t

y t IR

z t x y z

  

    

 

    



   

2 1 2 t   2 1 2t   t 9 0

9t 9 0 donc =1t

 ^

(4)

1. Soit l’équation :

On a donc l’équation admet deux solutions complexes :

D’où 2. a) ↝ on a :

D’où :

b) On a :

On a : ^b û ârg ^b ârg û

 

²

a u a u

  

 

        

     

^arg

 

²

4 4

b a

   



    

      

^arg

 

²

2 b

a

  



  

   

D’où :

d) d’après ce qui précède, on a :

Ce qui veut dire :

2 4 29 0

z  z 

 ²

2 4 4 4 1 29

=16 116 = 100

: b  ac    

 

Le discriminant

 0

1 2 5 2 2 5

2 2

b i b i

z i z i

a a

     

     



^{2 5 , 2 5}



S   i  i

   

= 5 8 2 5

=3+3i u b

i i



 

  

3 3 u  i

 

^{ }

^{ }  

^{ }²

2 : arg u 4

arg u  arg u     

donc : d'o ù



⁵ ²

 

² ⁵



=

:a i i

3 3i



    

 c On a)

 

²

2 arg b

a

  



   

  

 

 

2

2 A B arg b

a

 

    



 

 

 

et

  ^{ }

, 2

A B A B  2

   et   

↝ on a :

Et (posons un argument de u)

2 2

3 3 3 2

u   



3 2

cos 2

3 2

sin 2

u



  



  



   ²

arg u  4

D’où : Et on a :

donc :

a  u

et

B b  u A a  u u

        

A B

  

(5)

et puisque R est une rotation de centre et d’angle alors R(A)=B.

Conclusion : B est l’image de A par la rotation R.

(la probabilité)

 On tire 2 boules simultanément 1.

A ‘’les 2 boules tirées sont rouges’’

2

4 6 2

( ) 45 45 15

P A C  

2. a)

Cas possibles Valeurs de X

RR 2

VV 4

RV 3

Donc l’ensemble des valeurs prises par X est . b) : On tire une boule rouge et une boule verte .Donc :

Pour déterminer la loi de probabilité de X on calcule ^^{P x}



^²



^^{P A}

 

^₁₅²

 

⁶²

3 8 15

15 5

4 45 45 15

P x P x C

  

    

D’où :

2 3 4

(Etude de fonction) Partie I :

1. a) Donc :

b) Pour tout réel x on a :

 2



2

10 45

Card C 



^{2,3, 4}



^X ^³

 ³ ⁴¹ ⁶¹ ²⁴ ⁸

45 45 15

C C

p X     



i



p X x

xi

 i

p Xx

2 15

8 15

5 15

( ) 2 2 2^x 4 ^x f x  x e  e



² ²



^, ²^x ⁰ ²^x ⁰

x x x

lim x lim e et lim e

        ( )

x

lim f x

  

 

²



²



( ) 2 2 ^x 4 ^x ^x 4 ^x 0

x

f x x e e et lim e e

      

 

3

1

i 1

i

p X x



 



(6)

D’où

donc la droite (D) d’équation est une asymptote oblique à la courbe

 

^C^f au voisinage de -∞ . 2. a) on a :

( )

Donc : b) on a :

donc :

D’où la courbe admet une branche parabolique au voisinage de +∞ de direction l’axe des ordonnées.

b) On en déduit que :

Donc f est strictement croissante surIR . x -∞ 0 +∞

+ 0 +

f(x)

+∞

-5 -∞

c) ¬

donc : (car ¬

donc : (car )

on a : f continue et strictement croissante sur l’intervalle et

donc d’âpres le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel unique α appartenant à l’intervalle qui vérifie l’équation f(x)=0

4. a) on a : donc

est du même signe que ( car ) on a :

 



^{( )} ² ²



⁰

x

f x x

lim   

2 2

y  x



 ^{x IR}



f x

 

= x 2 + e - 4² 

 

^x e^x



² ²



^, ²^x ²^x

x x x

lim x lim e et lim e

         

( )

x

lim f x

  



^x ^IR^*



^{f x}^{ }^{= 2 -}²^{+ e - 4}



^x



^e^x

x x x

 

 

2, ^x

x x

lim 2 - 2 lim e - 4

 x    

 

 

x

lim e x

  

et ( )

x

lim f x

 x  

 ^C^f

 

2

( ) 2 2 4

= 2 2 1

2 1

x x

x

x IR f x e e

e e

e

     

 

 

3. ) a



^{ }^x ^IR^



^f^^{( )}^x ^^{0 (0)}^{et f} ^⁰

( ) f x

 

(1) e2 4 4

f   ee e (1) 0

f  e4

 

2ln 4 ln 4 ln16

(ln 4) 2 ln 4 2 4 2 ln 4 2 4 4

=2 ln 4 1

f   e  e   e  

 (ln 4) 0

f  ln 4 1 ln  e



^1;ln4



^f⁽¹⁾^ ^f^{(ln 4)}^⁰

^1;ln4



 ^x ^IR



f(x) - 2x - 2

 

e^x



e^x⁴



f(x)- 2x - 2

 



^e^x^⁴



^e^x ^⁰

(7)

(la fonction exponentielle est strictement croissante) x -∞ ln4 +∞

f(x)-(2x-2)

-

0 +

Conclusion : est au-dessous de la droite (D) sur l’intervalle et au-dessus de la droite (D) sur l’intervalle

dressons un tableau de signe pour :

x -∞ 0



^e^x ^¹



+∞

-

0 +

¬ s’annule en 0 en changeant de signe et f(0)=-5 donc

le point A(0,-5)est un point d’inflexion unique pour la courbe .

b) on a :

x -∞ ln4 +∞

f(x)-(2x-2) - 0 +

4 0 ln 4

x x

e x

    

    



 

Cf ^^{;ln 4}



^{ln 4;}



 

  ^ ^{ } ^

 

( ) 2 1 2 2 2 1 1

= 1

x x x

x x

f x e e e

4e e

 

      

 b)

f

( ) f x

f 

 

Cf

 

² ^{ln 4}

ln 4 2 0

0

2ln 4 2 0

ln 4 0

4 4

2

4 4

2 2

:

x

x x e x

e e dx e

e e



 

   

 

   

     

   



5. a on a)

= 9

 2

 



0^{ln 4} ( ) 2 2



u.a A



f x  x dx c)construction de

¬ f strictement croissante sur IR

¬ x=ln4 asymptote verticale (+∞)

¬ y=2x-2 asymptote oblique(-∞)

¬

¬ A(0,-5) point d’inflexion

¬

 Cf

 

 

( ) 0 x ln 4;

( ) 0 x ; ln 4

f x

   

   

 

⁰ ⁰

f 

(8)

   

 

:

x x

Donc : A x f x dx cm

dx cm cm

D'où A cm

  

 

   

 





ln 4 2

0

ln 4 2 2

0

2 2

4

9

2 4,5

e e

Partie II :

1. a) (E)

L’équation caractéristique de (E) est :

Les solutions sont :

Donc les solutions de (E) sont de la forme :

b) On vérifiant les conditions initiales sont solutions du système :

D’où 2.

a) • h est dérivable sur est

D’où h est croissante sur

3 2 0

y y y

2 2

3 2 ; 3 4 1 2 1

r   r o      

1 1 2 2 r  et r 

^{ }^x ÎR^{( )}^{g x} ^^ê²^x ^^ê^x



^{ }^, ^^IR²



 et 

(0) 2 2 2 1

(0) 3 3 4

g g

  

  

       

  

         

  



^{ }^x ^IR



^{g( ) = e}^x ²^x^⁴^e^x



²

 ^ ^ ^ ^

( ) ln ^x ^x ln 4;

h x  e e  x 



^{ln 4;}



 

 

ln 4 e 4 2

: e 2 0 e 4 0 ln 4; ( ) 0

x

x x

x

et

x h x

   

   

    

donc

^{ln 4;}^

 

2 2

4 2 4

( )

4 4

2 2

=

4

x x x x

x x

e e e e

h x

e e e e

e e

  

  

 



( u .a1cm² )

La solution général de (E) est de la forme

où

1 2

r x r x

ye e

^{ }^, ^^IR²

(9)

•h continue et croissante sur donc admet une fonction réciproque définie sur et

Donc :

Conclusion : h admet une fonction réciproque définie sur IR.

Donc :

• et comme

donc

^{ln 4;} ^h^¹

 



^{ln 4;}



h    _{ln 4}

x ln 4

ln 4; lim ; lim ( )

x x

h _ h(x) h x





  

 

 

 

 

 ^{ln 4;} 



^;



h ^    IR

h^1

  ^ ^

2ln 5 ln 5 ln 5 ln 5

) 4 4 5 5 4 5

b  e  e e e    

 

^{ln 5} ^{ln 5}

h 

 

^h^¹ ^

^{ }

^ln⁵ ^^{h h}^



^¹¹^{(ln 5)}



^h

^{ }

^{ln 5} ^^{ln 5}

 

1 ln 5 ln 5

h^ 

 

¹ ^ ^ _ _



^{ln 5}



ln 5

1 1 1

5 =

: 5

2 2 6

4

h ln

h ln e

e

   

 

 D'où

Et

 



²



ln 4

lim 4 0

lim ( )

x x

x

e e

h x







 

 





D’où :

 



²



ln 4

lim 4 0

lim ( )

x x

x

e e

h x







 

 





 

ln 4

lim ( )

x

h x h x

 

 

 

 







alors on a :

 

¹

^{ }

⁵ ¹

h^  ln  6

:(les suites) On a :suite définie par : 1. vérifions que : 2. On a : Montrons par récurrence que : (I)

 





 









 

 















 



 





  v

   

 

 

     









 

 

 

 

 

     

2





 



 

 





 

 











       





 





 

 

 

   

 

 

 





   

 

   



 



 

 

   





  ^{ } ^{   }

^{ }  

  ^{ }

  ^ ^{ } ^