2 Passage d’un aspect ` a l’autre

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Notes sur les nombres complexes et la trigonom´ etrie

Table des mati` eres

1 Trois aspects des nombres complexes 2

2 Passage d’un aspect `a l’autre 2

3 Formules de trigonométrie et propriétés deθ7→eîθ 2

4 Conjugaison complexe 3

5 Nombres complexes et vecteurs du plan 4

6 Propri´et´es du module 4

7 Propri´et´es de l’argument 4

8 Remarque sur la forme trigonom´etrique d’un produit ou d’un quotient 4

9 Formules de Moivre et formules d’Euler 5

10 Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels 5 11 Somme et produit des racines d’un trinôme du second degré 6

12 ´Equations trigonom´etriques 6

(2)

1 Trois aspects des nombres complexes

On fixe un repère (O;−→u ,−→v) du plan et on oriente le plan dans le sens direct. Un nombre complexez a trois aspects distincts (forme algébrique, forme trigonométrique, interprétation géométrique) et pourtant très liés.

Forme algébrique :Tout nombre complexez s’écrit de fa¸con unique sous la forme z=a+ib, aveca, b∈R. aest appelé partie réelle dez etb partie imaginaire dez.

Forme trigonométrique :Tout nombre complexe z non nul s’écrit de fa¸con unique sous la forme z =reîθ, oùr∈R⁺^∗etθ∈]−π;π]. eîθest défini par l’égalitéeîθ= cos(θ) +isin(θ).rest appelé module dez et est noté

|z|,θ est appel´e argument dezet est not´e arg(z).

Interprétation géométrique :A chaque point` M du plan, on fait correspondre un unique nombre complexe z, appelé affixe deM. De plus, tout nombre complexe est l’affixe d’un unique point du plan.

2 Passage d’un aspect ` a l’autre

y

x

Forme alg´ebrique:z=x+iy, avecxetyr´eels PointM d’affixez

xest l’abscisse deM yest l’ordonn´ee deM

Forme polaire:z=re^iθ,

avecrun r´eel positif etθdans ]−π;π]

Interprétation géométrique

r=OM

θ= (−→u;−−→OM) [2π]

x=rcos(θ) y=rsin(θ)

r=√ a²+b²

θest solution dans ]−π;π] de











cos(θ) = a a²+b²=a

r sin(θ) = a

a²+b² =b r

b

O −→u

−

→v

bM

r

θ

Remarque : Pour déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe donné sous forme algébrique, il est utile de bien connaˆıtre les valeurs des cosinus et sinus des angles remarquables (e.g. : π

2,π 3,π

4,π 6) ou de savoir les retrouver `a l’aide du cercle trigonom´etrique.

3 Formules de trigonom´ etrie et propri´ et´ es de θ 7→ e

^iθ

Cons´equences de la d´efinition de cosinus et sinus 1. ∀θ∈R −1≤cos(θ)≤1 et −1≤sin(θ)≤1

2. ∀θ∈R, k∈Z cos(θ+ 2kπ) = cos(θ) et sin(θ+ 2kπ) = sin(θ) 3. ∀θ∈R cos(−θ) = cos(θ) et sin(−θ) =−sin(θ)

4. ∀θ∈R cos²(θ) + sin²(θ) = 1.

Formules d’addition

1. ∀θ1, θ2∈R cos(θ1+θ2) = cos(θ1) cos(θ2)−sin(θ1) sin(θ2)

(3)

2. ∀θ1, θ2∈R cos(θ1−θ2) = cos(θ1) cos(θ2) + sin(θ1) sin(θ2) 3. ∀θ1, θ2∈R sin(θ1+θ2) = sin(θ1) cos(θ2) + cos(θ1) sin(θ2) 4. ∀θ1, θ2∈R sin(θ1−θ2) = sin(θ1) cos(θ2)−cos(θ1) sin(θ2) Formules de duplication

1. ∀θ∈R cos(2θ) = cos²(θ)−sin²(θ) 2. ∀θ∈R sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)

Les formules de duplication se d´eduisent des formules d’addition (en posantθ=θ1=θ2dans la formule ad hoc).

Transformation d’un cosinus en sinus et r´eciproquement 1. ∀θ∈R cos π

2 −θ

= sin(θ) 2. ∀θ∈R sin π

2 −θ

= cos(θ)

Ces formules de transformation peuvent se d´eduire des formules d’addition (en posant θ1= π

2 et θ2=θ dans la formule ad hoc). On peut les retrouver en utilisant le cercle trigonom´etrique.

Propriétés de θ7→eîθ

1. ∀θ1, θ2∈R eîθ¹.eîθ² =eî(θ¹^+θ²⁾. 2. ∀θ∈R, n∈Z (eîθ)ⁿ=eînθ.

Remarque :La formule 1 ci-dessus se d´eduit directement des formules d’addition.

eîθ¹.eîθ² = (cos(θ1) +isin(θ1))(cos(θ2) +isin(θ2)) (définition deeîθ¹ et eîθ²)

= [cos(θ1) cos(θ2)−sin(θ1) sin(θ2)] +i[cos(θ2) sin(θ1) + cos(θ1) sin(θ2)]

= cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2) (formules 1 et 3 de duplication)

= eⁱ⁽^θ¹⁺^θ²⁾ (d´efinition deeⁱ⁽^θ¹⁺^θ²⁾)

4 Conjugaison complexe

Définition : Soit z = a+ib un nombre complexe, avec a, b ∈ R. Le conjugué de z, noté z, est le nombre complexe défini parz=a−ib.

Propriétés algébriques de la conjugaison

1. ∀z∈C z=zsi z∈R, en particulier 0 = 0 et 1 = 1.

2. ∀z∈C z=z.

3. ∀z1, z2∈C z1=z2⇐⇒z1=z2

4. ∀z1, z2∈C z1+z2=z1+z2. 5. ∀z1, z2∈C z1.z2=z1.z2. 6. ∀z1∈C, z2∈C^∗

z1

z2

= z1

z2. 7. ∀z∈C^∗, n∈Z zⁿ= (z)ⁿ. 8. ∀θ∈R e^iθ=e^−iθ.

Caract´erisation des r´eels et des imaginaires purs 1. ∀z∈C z∈R⇐⇒z=z.

2. ∀z∈C z imaginaire pur (i.e.z=ibo`ub∈R)⇐⇒ −z=z.

Conjugaison et sym´etrie par rapport `a l’axe des abscisses

SoitM un nombre complexe d’affixez. Alors le point du plan d’affixez est le sym´etrique deM par rapport `a l’axe des abscisses.

(4)

5 Nombres complexes et vecteurs du plan

D´efinition (affixe d’un vecteur) :Soit−→w un vecteur du plan et soientAetB deux points du plan tels que

−−→AB =−→w. On note zAet zB les affixes respectives de AetB. L’affixe de−→w, not´eez⁻^→w, est le nombre complexe d´efini par

z⁻^→w =zB−zA.

Ce nombre complexe est ind´ependant du choix deAetB. On a en particulier z⁻_AB⁻^→=zB−zA.

6 Propri´ et´ es du module

Module et op´erations dans C

1. ∀z1, z2∈C |z1+z2| ≤ |z1|+|z2| (in´egalit´e triangulaire) 2. ∀z1, z2∈C |z1.z2|=|z1|.|z2|

3. ∀z1∈C,z2∈C^∗

z1

z2

=|z1|

|z2| 4. ∀z∈C^∗, n∈Z |zⁿ|=|z|ⁿ Module et longueurs

1. Soit−→w un vecteur du plan. Alors||−→w||=|z⁻^→w|.

2. Soient M1 etM2deux points du plan d’affixes respectivesz1 et z2, alorsM1M2=|| −−−−→

M1M2||=|z2−z1|.

7 Propri´ et´ es de l’argument

Exemples d’arguments 1. arg(1) = arg(8) = arg(√

2) = 0 et plus g´en´eralement arg(a) = 0 sia∈R⁺^∗ 2. arg(−3) = arg(−9) = arg(−√

13) =πet plus g´en´eralement arg(a) =πsia∈R^−∗

3. arg(i) = π

2 et arg(−i) =−π 2 Argument et op´erations dans C

1. ∀z1, z2∈C^∗ arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]

2. ∀z∈C^∗, n∈Z arg(zⁿ) =narg(z) [2π]

3. ∀z1, z2∈C^∗ arg z1

z2

= arg(z1)−arg(z2) [2π]

Argument et angles

1. Soient−w→1et−w→2deux vecteurs non nuls d’affixes respectivesz⁻w^→1etz⁻w^→2. Alors (−w→1;−w→2) = arg z⁻w^→2

z⁻w^→1

[2π].

2. Soient A, B, C des points du plan, tels que A 6= B et A 6= C, d’affixes respectives zA, zB, zC. Alors (−−→

AB;−→AC) = arg

zC−zA

zB−zA

[2π].

8 Remarque sur la forme trigonom´ etrique d’un produit ou d’un quo- tient

Siz1 et z2sont des nombres complexes non nuls ayant comme formes polairesz1=r1e^iθ¹ etz2=r2e^iθ², alors

• la forme polaire dez1z2 estr1r2e^i(θ¹^+θ²⁾,

• la forme polaire de 1 z2 est 1

r2

e^−iθ²,

• donc la forme polaire de z1

z2

est r1

r2

e^i(θ¹^−θ²⁾.

La forme polaire est bien adapt´ee aux probl`emes qui comportent des multiplications ou des divisions de nombres complexes.

(5)

9 Formules de Moivre et formules d’Euler

Formules de Moivre

1. ∀θ∈R, n∈Z (cos(θ) +isin(θ))ⁿ= cos(nθ) +isin(nθ) 2. ∀θ∈R, n∈Z (cos(θ)−isin(θ))ⁿ= cos(nθ)−isin(nθ) Formules d’Euler

1. ∀θ∈R cos(θ) =e^iθ+e^−iθ 2 2. ∀θ∈R sin(θ) = e^iθ−e^−iθ

2i

Toutes ces formules se déduisent immédiatement des relations eîθ = cos(θ) +isin(θ) et (eîθ)ⁿ = eînθ, où θ∈R, n∈Z.

Une application des formules d’Euler : la linéarisation de polynômes trigonométriques

Les formules d’Euler permettent de linéariser des produits du type cosⁿ(θ), sin^m(θ) ou cosⁿ(θ) sin^m(θ), oùθ∈R, n, m∈N, c’est-à-dire de les transformer en somme de termes du typeacos(αθ) oubsin(βθ), où a, b, α, β∈R. Ces transformations sont particulièrement précieuses dans la recherche de primitives.

Exemple de lin´earisation : cos⁴(θ) =

e^iθ+e^−iθ 2

⁴

(formule d’Euler)

= 1

2⁴(e^iθ+e^−iθ)⁴

= 1

2⁴(eⁱ⁴^θ+ 4eⁱ²^θ+ 6 + 4e⁻ⁱ²^θ+e⁻ⁱ⁴^θ) (formule du binˆome)

= 1

2⁴(eⁱ⁴^θ+e⁻ⁱ⁴^θ+ 4(eⁱ²^θ+e⁻ⁱ²^θ) + 6)

= 1

2⁴(2 cos(4θ) + 4×2 cos(2θ) + 6) (formule d’Euler)

= 1

8cos(4θ) +1

2cos(2θ) +3 8.

10 R´ esolution dans C des ´ equations du second degr´ e ` a coefficients r´ eels

Th´eor`eme (solution(s) dans Cde ax²+bx+c= 0)

Soit un trinôme du second degré à coefficients réels ax²+bx+c (avec a, b, c ∈ R et a 6= 0 donc), et soit

∆ =b²−4ac son discriminant.

• Si ∆ = 0, alors l’´equationax²+bx+c= 0 a une unique solution :− b 2a.

• Si ∆>0, alors l’´equationax²+bx+c= 0 a deux solutions r´eelles : −b−√

∆

2a et −b+√

∆ 2a .

• Si ∆ < 0, alors l’´equation ax² +bx+c = 0 a deux solutions complexes conjugu´ees : −b−i√

−∆

2a et

−b+i√

−∆

2a .

Application : L’´equationx²+x+ 1 = 0 a deux solutions dansC:j=−1 2 +i

√3 2 et j.

(6)

11 Somme et produit des racines d’un trinˆ ome du second degr´ e

Théorème :Soitax²+bx+c un trinôme du second degré à coefficients réels. On a l’équivalence : (x1 etx2sont solutions de ax²+bx+c= 0) ⇐⇒ (x1+x2=−b

a etx1x2= c a).

Deux applications

1. Connaissant une racine deax²+bx+c= 0 (par exemple une^≪évidente^≫), on en déduit l’autre, à l’aide dec eta.

Exemple : On remarque que 1 est solution de 2x²+ 43x−45 = 0. Comme le produit des racines vaut

−45

2 , on en d´eduit, sans calcul, que−45

2 est l’autre racine.

2. R´esolution de syst`emes du type

x1+x2=S

x1x2=P d’inconnue (x1, y2), oùS et P sont des réels donnés.

D’après le théorème, x1 et x2 sont solutions de

x1+x2=S

x1x2=P si et seulement six1 et x2 sont racines dex²−Sx+P. On est donc ramené à résoudre une équation du second degré à coefficients réels, ce que l’on sait faire.

Exemple :

x1+x2= 15

x1x2= 26 ⇐⇒ x1 etx2 solutions dex²−15x+ 26 = 0

⇐⇒ (x1= 2 etx2= 13) ou (x1= 13 etx2= 2).

12 Equations trigonom´ ´ etriques

Cas d’égalité de cosinus, cas d’égalité de sinus Soientxetadeux nombres réels.

1. cos(x) = cos(a) ⇐⇒







x=a [2π]

ou

x=−a [2π]

2. sin(x) = sin(a) ⇐⇒







x=a [2π]

ou

x=π−a [2π]

Ces résultats peuvent se retrouver à l’aide du cercle trigonométrique.

Etude de l’´´ equationacos(x) +bsin(x) =c, aveca, b, c∈R, avecaetb non nuls, d’inconnuexdansR.

• M´ethode

On introduit le nombre complexez=a+ibque l’on écrit sous forme trigonométrique :z=reîθ.

– En pratique, on peut souvent déterminer θ explicitement, mais pas toujours. Si on ne peut pas, on continue la résolution en gardant simplementθ, défini comme étant l’argument dez.

– On a donca=rcos(θ) etb=rsin(θ).

acos(x) +bsin(x) =c ⇐⇒ a

rcos(x) +b

rsin(x) = c r

⇐⇒ cos(θ) cos(x) + sin(θ) sin(x) = c r

⇐⇒ cos(x−θ) =c r

(7)

En pratique, c

r est souvent une valeur remarquable de cosinus et on est donc ramené à un cas d’égalité de deux cosinus, que l’on sait traiter.

• Exemple : R´esolution de √

6 cos(x) +√

2 sin(x) =√ 2.

On introduit le nombre complexez=√ 6 +i√

2 et on l’´ecrit sous forme trigonom´etrique.

|z|= 2√

2 et z= 2√

2

√3 2 + i

2

!

= 2√ 2eⁱ^π⁶.

√6 cos(x) +√

2 sin(x) =√

2 ⇐⇒

√6

|z| cos(x) +

√2

|z| sin(x) =

√2

|z|

⇐⇒ cosπ 6

cos(x) + sinπ 6

sin(x) = 1 2

⇐⇒ cos x−π

6

= cosπ 3

⇐⇒











x−π 6 = π

3 [2π]

ou

x−π 6 =−π

3 [2π]

⇐⇒











x= π 2 [2π]

ou

x=−π 6 [2π]

L’ensemble des solutions de √

6 cos(x) +√

2 sin(x) =√

2 est donc nπ

2 + 2kπ;k∈Zo

∪n

−π

6 + 2kπ;k∈Zo .