Sur les formules asymptotiques le long des Z

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Sur les formules asymptotiques le long des Z

^`

-extensions

^∗

par

Jean-François Jaulent, Christian Maire& Guillaume Perbet

Résumé.SoitK∞uneZ`-extension d’un corps de nombresK. Dans ce travail, nous précisons les formules asymptotiques données par Jaulent-Maire dans [5] pour les ordres des quotients d’exposant`ⁿdes`-groupes deT-classes S-infinitésimalesC`^S_T(Kn)des étages finisKnde la tourK∞/K, en fonction des invariants structurelsρ^S_T,µ^S_Tetλ^S_T du module d’IwasawaX_T^S:= lim←−C`^S_T(Kn). Nous montrons en particulier que le paramètre lambda de ces quotients peut différer sensiblement de l’invariant structurelλ^S_T et nous illustrons ces résultats par des exemples explicites dans lesquels il peut être rendu arbitrairement grand ou même arbitrairement négatif.

Abstract.LetK∞be aZ`-extension of a number fieldK. In this paper we clarify some asymptotic formulas given by Jaulent-Maire in [5], relating orders of`ⁿ-quotients ofS-infinitesimalT-classes`-groupsC`^S_T(Kn)associated to finite layersKnof the towerK∞/Kto structural invariantsρ^S_T,µ^S_Tandλ^S_T of the Iwasawa moduleX_T^S:= lim←−C`^S_T(Kn).

We especially show that the lambda invariantλ˜^S_T of those quotients can sensibly differ from the structural invariant λ^S_T, and we illustrate this fact with explicit examples, where it can be made as large as desired, positive or negative.

1 Introduction

Supposons donnés un corps de nombresK, un premier` et uneZ`-extensionK_∞deK.

Le résultat emblématique de la théorie d’Iwasawa (cf. e.g.[8]) affirme que les ordres respectifs

`^x(n) des `-groupes de classes d’idéaux C`(Kn) attachés aux étages finis de la tour K_∞/K, de degrés respectifs [Kn : K] = `ⁿ sont donnés pour n assez grand par une formule explicite de la forme :

x(n) = µ`ⁿ + λn + ν,

où ν est un entier relatif (éventuellement négatif), mais où λ et µ sont des entiers naturels dé- terminés par la pseudo-décomposition de la limite projective X = lim

←−C`(Kn), regardée comme module de torsion sur l’algèbre d’IwasawaΛ =Z`[[γ−1]]construite sur un générateur topologique γ du groupe procyclique Γ = Gal(K_∞/K). Il est alors commode de réécrire l’égalité précédente sous une forme ne faisant intervenir que ces deux derniers paramètres :

x(n) ≈ µ`ⁿ + λn,

en convenant de tenir pour équivalentes deux suites d’entiers dont la différence est ultimement constante. L’identité obtenue vaut alors identiquement si l’on remplace les`-groupes C`(K_n)par leurs quotients respectifs d’exposant`ⁿ (ou`^n+k, pourkfixé), comme expliqué dans [2].

Soient maintenant S et T deux ensembles finis disjoints de places de K; et soit C`^S_T(Kn) le pro-`-groupe des T-classes S-infinitésimales de Kn. Ce pro-`-groupe correspond, par la théorie

`-adique du corps de classes (cf. [3]), à la pro-`-extension abélienne maximale de K_n qui est non-ramifiée en dehors des places divisant celles de S et totalement décomposée aux places au- dessus de celles de T; et c’est en particulier unZ`-module de type fini. Son quotient d’exposant

`ⁿ, disons ^`ⁿC`^S_T(K_n), est ainsi un`-groupe ; et on s’attend à ce que la`-valuation x^S_T(n)de son

∗Ann. Math. Quebec37(2013), 63–78

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ordre s’exprime asymptotiquement de façon simple à partir des invariants structurels du module d’Iwasawa limite projective pour les applications normes :

X_T^S := lim

←−C`^S_T(Kn).

C’est le programme initié dans [2], puis développé dans [5] et dans [4]. La formule obtenue x^S_T(n) ≈ ρ^S_Tn`ⁿ + µ^S_T`ⁿ + λ^S_Tn,

en dehors du cas spécial décrit plus loin (cf.Proposition3), fait ainsi intervenir la dimensionρ^S_T du Λ-moduleX_T^S (i.e.la dimension sur le corps des fractionsΦde l’anneauΛ du tensoriséΦ⊗_ΛX_T^S) ainsi que la `-valuation µ^S_T et le degré λ^S_T du polynôme caractéristique de son sous-module de Λ-torsionT_T^S.

Or, si cette formule est bien vérifiée dans nombre de situations (en particulier dés que le Λ- module X_T^S est de torsion), les calculs de Salle [7] font clairement apparaître qu’elle peut être en défaut, y compris dans le cas particulier des extensions cyclotomiques, par exemple lorsque l’invariantρ^S_T est non nul et l’ensembleT non vide.

Le but du présent article est de rectifier les deux corollaires erronés (1.7 & 1.8) énoncés sans démonstration dans [4] et de produire une formule exacte. Le point essentiel est que les groupes de classesC`^S_T(Kn)ne sont pas donnés de façon simple (en dehors du cas spécial) comme quotients des genres à partir de leur limite projectiveX_T^S, mais mettent en jeu non trivialement un module arithmétique, d’impact effectivement négligeable lorsque leΛ-moduleX_T^S est de torsion, mais non en général. La formule corrigée (cf.Théorème5)

x^S_T(n) ' ρ^S_Tn`ⁿ + µ^S_T`ⁿ + (λ^S_T−κ^S_T)n,

fait alors apparétre un nouvel invariantκ^S_T, qui s’interprète comme le degré d’un polynôme cyclotomique convenable. La conséquence la plus spectaculaire est que le paramètrelambdaeffectif, qui intervient dans la formulei.e.

λ˜^S_T :=λ^S_T −κ^S_T

peut être strictement négatif. Nous donnons en particulier des exemples trés simples de tours cyclotomiques dans lesquelles, par un choix convenable deS et deT, il peut être rendu arbitrairement grand ou, au contraire, arbitrairement négatif.

2 Énoncé du Théorème principal

2.1 Notations et conventions

Pour la commodité du lecteur, nous regroupons dans cette section les principales notations que nous utilisons tout au long de l’article.

— `est un nombre premier (qui peut être 2) ;

— K est un corps de nombres etK∞ uneZ`-extension arbitraire deK;

— Kn est l’unique sous-corps deK∞ de degré`ⁿ surK (on a ainsiK=K0) ;

— Γ =γ^Z^` est le groupe procycliqueGal(K_∞/K)etγ un (pro-)générateur ;

— Λ =Z`[[γ−1]]est l’algèbre d’Iwasawa associée àΓ;

— Φ =Q`((γ−1))est le corps des fractions de l’anneauΛ;

— ω_n est le polynômeγ^`ⁿ−1 de l’anneauZ`[γ−1] =Z`[γ];

— ωn,edésigne le quotientωn/ωepourn > e(lesωi+1,isont ainsi les polynômes cyclotomiques ; ils sont irréductibles dans l’anneauZ^`[γ−1]) ;

— ∇n est l’idéal de Λengendré par le polynômeωn et l’élément`ⁿ.

— S etT sont deux ensembles finis disjoints (éventuellement vides) de places deK;

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— T^td l’ensemble des places deT totalement décomposées dans la tourK_∞/K et T^{f d} celui des places deT finiment décomposées dans la tour ;

— R est l’ensemble des places ultimement ramifiées dans K∞/K (dans le cas de la tour cyclotomique, c’est l’ensemble des places deK au-dessus de`) ;

— Pour un ensemble V de places de K, on note V∞ l’ensemble des places deK∞ au-dessus de celles deV.

— C`^S_T(K_n)est le pro-`-groupe desT-classesS-infinitésimales du corpsK_n (que la théorie du corps de classes identifie au groupe de Galois de la pro-`-extension abélienne S-ramifiée T-décomposée maximale deK_n) ;

— x^S_T(n) =ν_`(|^`ⁿC`^S_T(K_n)|)est la valuation`-adique du cardinal du quotient d’exposant`ⁿ du Z^`-moduleC`^S_T(Kn);

— ρ^S_T,µ^S_T et λ˜^S_T sont les paramètres asymptotiques de la suitex^S_T(n)(voir la définition2) ;

— X_T^S, limite projective des C`^S_T(Kn) pour la norme, s’identifie au groupe de Galois de la pro-`-extension abélienneS∞-ramifiéeT∞-décomposée maximale de K∞;

— ρ^S_T,µ^S_T et λ^S_T sont les invariants d’Iwasawa duΛ-module noethérienX_T^S. Précisons enfin quelques définitions :

Définition 1. Soient(a_n)_n∈_N et(b_n)_n∈_Ndeux suites d’entiers relatifs.

(i) Nous écrivonsa_n'b_n, lorsque la différencea_n−b_n est bornée.

(ii) Nous écrivonsan≈bn lorsqu’elle est ultimement constante.

Définition 2. Nous disons qu’une suite (an)_n∈Nd’entiers relatifs est (i) paramétréepar le triplet(ρ, µ,˜λ)lorsqu’on a :an 'ρn`ⁿ+µ`ⁿ+ ˜λn; (ii) strictement paramétréepar(ρ, µ,λ)˜ lorsqu’on a :an ≈ρn`ⁿ+µ`ⁿ+ ˜λn.

Dans les deux cas, nous disons alors que ρ, µ et ˜λsont les paramètres asymptotiques de la suite (an)n∈N.

Remarque. Les conventions ci-dessus différent légèrement de celle de [5] où sont considérés les quotients de `ⁿ⁺¹-torsion, ce qui amène à écrire ρ(n+ 1)`ⁿ au lieu de ρn`ⁿ. La différence est purement technique et sans conséquence fondamentale comme expliqué plus loin (cf.Scolie7).

2.2 Codescente arithmétique

La théorie du corps de classes montre que les pro-`-groupesC`^S_T(Kn)desT-classesS-infinitési- males s’identifient aux groupes de Galois respectifs des pro-`-extensions abéliennesS-ramifiéesT- décomposées maximalesH_T^S(Kn)des corpsKn. Ce sont en particulier desZ`-modules noethériens.

Leur limite projectiveX_T^S= lim

←−C`^S_T(K_n)est unΛ-module noethérien, qui s’interprète comme groupe de Galois de la pro-`-extension abélienneS-ramifiéeT-décomposée maximaleH_T^S(K_∞)du corpsK_∞.

Le probléme classique de la codescente arithmétique consiste à exprimer les C`^S_T(Kn)à partir de la limiteX_T^S. Commençons par traiter lecas spécial où lesH_T^S(Kn)contiennentK_∞, ce qui se produit lorsque l’extensionK∞/K est S-ramifiée etT-décomposée,i.e.lorsqueT =T^tdet queS contient l’ensembleR des places ramifiées dans la tourK∞/K.

Dans ce cas,H_T^S(Kn) n’est autre que le sous-corps deH_T^S(K∞) fixé parωnX_T^S (en notations additives) ; et le schéma de corps se présente comme suit :

(4)

K Kn

K∞

Γ

Γ_n Γ^`ⁿ

H_T^S(Kn) H_T^S(K∞) X_T^S

ωnX_T^S C`^S_T(Kn)

G_T^S(K)

Proposition 3 (codescente dans le cas spécial). Lorsque la Z`-extension K_∞/K est S-ramifiée etT-décomposée, pour tout n>0on a la décomposition directe :

C`^S_T(K_n)'Γ^`ⁿ⊕ X_T^S/ω_nX_T^S.

Ce cas mis à part, les extensions H_T^S(Kn)/Kn et K∞/Kn sont linéairement disjointes pour n assez grand et les groupesC`^S_T(K_n)apparéssent naturellement comme quotients de leur limiteX_T^S. Plus précisément :

Proposition 4(codescente dans le cas générique). En dehors du cas spécial, notonsele plus petit entier tel que, dans K_∞/K_e, les places deR non contenues dansS soient totalement ramifiées et celles de T^{f d} soient non décomposées.

Il existe un Z^`-sous-module noethérien Ye de X_T^S tel que la somme Ye+ωeX_T^S soit un Λ-sous- module de X_T^S et que pour tout n>eon ait canoniquement :

C`^S_T(K_n)' X_T^S/(ω_n,eYe+ω_nX_T^S).

La preuve en est classique (voir par exemple [9], dans le casS=T =∅). Précisons néanmoins quelques points. Par un argument de projectivité, le groupe de Galois G_T^S = Gal(H_T^S(K∞)/K) s’identifie au produit semi-direct de son quotient Γ = γ^Z^` par le sous-groupe normal X_T^S = Gal(H_T^S(K∞)/K∞):

G_T^S ' X_T^SoΓ;

de sorte que tout élément deG_T^S s’écrit de façon uniqueγ^αx, avec α∈Z` et x∈ X_T^S, après avoir fait le choix d’un relèvement arbitraire deγ dansG_T^S(K).

NotonsP_∞l’ensemble fini des places deK_∞qui sont ultimement ramifiées dans la tourK_∞/K mais non dans S∞, ou encore contenues dans T_∞^{f d}. Pour chaque place de P∞, choisissons une placep∞deH_T^S(K∞)qui soit au-dessus ; puis notonsGp∞ son sous-groupe de décomposition dans G_T^S(Ke) = Gal(H_T^S(K∞)/Ke)sip∞est au-dessus deT_∞^{f d}, d’inertie sinon. Par construction, chacun de ces groupesGp∞ est procyclique et possède un générateur topologique de la formeγexp∞ avec γ_e=γ^`^e. De plus, sip^x_∞est conjuguée dep_∞, le groupeG_px

∞ est topologiquement engendré par le conjuguéx(γ_ex_p_∞)x⁻¹=γ_ex_p_∞x^γ^e⁻¹.

Il en résulte que la sous-extension maximale deH_T^S(K_∞)qui est abélienne surKeet simultané- mentS-ramifiée etT-décomposée est celle fixée parX_T^S^(γ^e⁻¹⁾et lesγexp_∞ pourp_∞∈P_∞. Fixant arbitrairement l’une p^◦_∞ des places de P_∞; posant yp∞ = xp∞/xp^◦_∞; et notant Ye le Z`-module multiplicatif engendré par lesyp∞, nous obtenons, comme attendu :

X_T^S∩Gal(H_T^S(K_∞)/H_T^S(Ke)) =X_T^S^(γ^e⁻¹⁾Ye,

(5)

ce qui, traduit en notations additives, donne bien :

C`^S_T(Ke)' X_T^S/(Ye+ωeX_T^S).

Ce point acquis, le passage deK_eàK_npourn>ese fait en prenant l’image du dénominateur par l’opérateur normeω_n,e=ω_n/ω_e et donne, comme annoncé :

C`^S_T(Kn)' X_T^S/ωn,e(Ye+ωeX_T^S) =X_T^S/(ωn,eYe+ωnX_T^S).

En résumé l’ensemble de cette discussion peut être illustré par le diagramme :

K K_n K_∞

Γ

Γ^`ⁿ

H_T^S(K_n)

K_∞H_T^S(K_n) H_T^S(K_∞) X_T^S

ωnX_T^S+ωn,eYe

C`^S_T(Kn) G_T^S(K)

2.3 Le Théorème des paramètres

Nous sommes dés lors en mesure d’énoncer le théorème principal de ce travail qui corrige les résultats de [4] et [5].

Théorème 5 (Théorème des paramètres). SoitK_∞ uneZ`-extension d’un corps de nombresK; et S et T deux ensembles finis disjoints de places de K; enfin, soit X_T^S := lim

←−C`^S_T(Kn)la limite projective (pour la norme) des pro-`groupes deT-classesS-infinitésimales des étages finisKn (de degrés respectifs`ⁿ) de la tourK_∞/K.

(i) Si l’extension K_∞/K est elle-même S-ramifiée et T-décomposée (i.e. dans le cas spécial), la suitex^S_T(n)des`-valuations des ordres des quotients d’exposant`ⁿ des groupes C`^S_T(Kn) vérifie l’estimation asymptotique :

x^S_T(n) ≈ ρ^S_Tn`ⁿ + µ^S_T`ⁿ + (λ^S_T + 1)n, oùρ^S_T,µ^S_T etλ^S_T sont les invariants structurels du module d’Iwasawa X_T^S.

(ii) Sinon, il existe un entier naturelκ^S_T 6ρ^S_T`^e, oùe est l’entier défini dans la proposition4, tel qu’on ait asymptotiquement :

x^S_T(n) ' ρ^S_Tn`ⁿ + µ^S_T`ⁿ + (λ^S_T −κ^S_T)n,

Précisons quelques situations dans lesquelles le paramètre κ^S_T est trivial : Scolie 6. En dehors du cas spécial, le paramètreκ^S_T se trouve être nul :

(i) lorsque le moduleX_T^S est deΛ-torsion (i.e. lorsqu’on a :ρ^S_T = 0) ;

(ii) et lorsque l’union de l’ensemble des places deR∞non contenues dansS∞et de l’ensemble des places deT_∞^{f d} est un singleton, cas dit trivial.

Dans ces deux cas, la suite x^S_T(n) est paramétrée par les invariants structurels ρ^S_T,µ^S_T et λ^S_T du module d’IwasawaX_T^S.

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Preuve.Comme nous le verrons plus loin, le paramètreκ^S_T provient de la contribution deYe dans la partie libre deX_T^S. Dans le cas(i), la partie libre deX_T^S est nulle tandis que dans le cas trivial, le moduleYe est nul par construction.

Concluons ce paragraphe en précisant ce qui se passe lorsqu’on remplace les quotients d’exposant`ⁿ des groupes C`^S_T(Kn)par les quotients d’exposant `^(n+k), pour un entier relatifkfixé : Scolie 7. Sous les hypothèses du Théorème, pour tout entier relatif k fixé, les `-valuations des ordres des quotients d’exposant`^(n+k)des pro-`-groupes C`^S_T(K_n)sont données asymptotiquement par la formule :

x^S_T(n, k) ≈ ρ^S_T(n+k)`ⁿ + µ^S_T`ⁿ + (λ^S_T + 1)n, dans le cas spécial ; et :

x^S_T(n, k) ' ρ^S_T(n+k)`ⁿ + µ^S_T`ⁿ + (λ^S_T −κ^S_T)n,

en dehors du cas spécial.

3 Preuve du Théorème des paramètres

Pour chaque entier naturel n, notons ∇n l’idéal de l’anneau Λ engendré par le polynômeωn

et l’élément`ⁿ. Nous allons procéder différemment suivant la nature de la codescente galoisienne dans laZ`-extensionK_∞/K.

3.1 Le cas spécial et le cas trivial

Dans le cas spécial où la Z`-extension K_∞/K est S-ramifiée etT-décomposée, la codescente est décrite par la Proposition3:

C`^S_T(Kn)'Γ^`ⁿ⊕ X_T^S/ωnX_T^S.

Lecas trivialse produit, lui, lorsque l’union de l’ensemble des places deR_∞non contenues dans S_∞ et de l’ensemble des places deT_∞^{f d}est un singleton. Le sous-moduleYe, qui intervient dans la codescente décrite dans la proposition4, est alors trivial ; de sorte que l’on a tout simplement :

C`^S_T(K_n)' X_T^S/ω_nX_T^S.

Dans les deux cas, pour évaluer asymptotiquement les ordres des quotients^`ⁿC`^S_T(Kn), il suffit donc d’estimer les indices (X_T^S : ∇nX_T^S). C’est ce qui est fait dans [2] et [4]. Pour cela, on se raméne d’abord à un module élémentaire :

Lemme 8 ([4], lemme 1.12). Soitϕ:X_T^S →E un pseudo-isomorphisme entreΛ-modules. Alors il existe des modules finisA etB tels que, pourn assez grand, on ait les suites exactes :

0→A→ X_T^S/∇nX_T^S−→^ϕ E/∇nE→B→0.

Le calcul de vp(|E/∇nE|) pour un module élémentaire E est effectué dans [4] et conduit directement aux formules asymptotiques annoncées¹ :

Théorème 9 ([4], théorème 1.4). Dans le cas spécial, il existe une constante ν_T^S ∈ Z telle que l’on ait :

x^S_T(n) =ρ^S_Tn`ⁿ+µ^S_T`ⁿ+ (λ^S_T+ 1)n+ν_T^S.

Dans le cas trivial (i.e. en dehors du cas spécial, mais lorsque le sous-module de descenteYe est trivial), il existe une constanteν_T^S∈Ztelle que l’on ait :

x^S_T(n) =ρ^S_Tn`ⁿ+µ^S_T`ⁿ+λ^S_Tn+ν_T^S.

1. Avec les différences de conventions rappelées dans la remarque en fin de section 2.1

(7)

3.2 Le cas générique

Venons en maintenant au cas général pour lequel le sous-module Ye peut être non trivial.

Comme précédemment, nous pouvons toujours nous ramener au cas élémentaire par pseudo- isomorphisme :

Lemme 10. Soitϕ:X_T^S →Eun pseudo-isomorphisme entreΛ-modules etY_eun sous-Z`-module deX_T^S. On note Y_e=ϕ(Y_e). On a :

ν_`(|X_T^S/(∇nX_T^S+ω_n,eYe)|)≈ν_`(|E/(∇nE+ω_n,eY_e)|).

Preuve.Pour chaquenassez grand, le lemme8 fournit les suites exactes : 0→A→ X_T^S/∇nX_T^S−→^ϕ E/∇nE→B→0; puis les morphismes entre quotients finis :

X_T^S/(∇nX_T^S+ω_n,eYe)−→^ϕ E/(∇nE+ω_n,eY_e),

de conoyauBet de noyauxA/(A∩ωn,eYe). Les noyaux vont croissant et sont de cardinal borné par

|A|donc stationnaire. La différence entre`-valuations des ordres est ainsi ultimement constante.

Ce point acquis, nous pouvons remplacer X_T^S par le Λ-module élémentaire E auquel il est pseudo-isomorphe, puisYe par son imageYedansE. Et nous sommes alors amenés à déterminer la`-valuation des quotients finis :

E/(∇nE+ωn,eYe), pour un module élémentaireE= Λ^ρ⊕(⊕^d_i=1Λ/Λfi), avecρ=ρ^S_T.

Pour effectuer ce calcul, il n’est pas possible de découper directement selon les facteurs directs deEà cause de la présence du sous-Z`-moduleω_n,eY_e. Pour contourner cette difficulté, nous allons estimer séparément les contributions respectives de la partie libreL = Λ^ρ et du sous-module de torsionF =⊕iΛ/Λfi, en écrivant :

E: (∇_nE+ω_n,eY_e)

= E: (F+∇_nE+ω_n,eY_e)

F :F∩(∇_nE+ω_n,eY_e) et en évaluant séparément les deux facteurs.

3.2.1 La partie libre

Il s’agit ici de calculer l’indice

E: (F+∇_nE+ω_n,eY_e)

= L: (∇_nL+ω_n,eY_e⁰) , oùY_e⁰ désigne l’image deYe dans le quotientE/F 'L.

On découpe le calcul de la façon suivante, en posant Z_e=ω_eL+Y_e⁰, ce qui donne : L: (∇nL+ωn,eY_e⁰)

= L: (`ⁿL+Ze)

Ze: (`ⁿL∩Ze+ωn,eZe) . Pour déterminer le premier indice L : (`ⁿL+Ze)

, il est commode d’introduire le pseudo- isomorphisme donné par le théorème de structure :

L/Ze∼ ⊕^r_i=1Λ/giΛ, où lesg_isont des polynômes divisant ω_e. Il vient alors :

L: (`ⁿL+Ze)

≈(Λ^r:⊕(giΛ +`ⁿΛ)),

quantité qui est paramétrée par le triplet (0,0,deg(Q

gi)). Un calcul de Z`-rangs permet alors d’obtenir l’inégalité :

ρ`^e = rg_Z_`(L/ωeL)

> rg_Z_`(L/Ze)

= rg_Z

`(⊕^r_i=1Λ/g_iΛ)

= deg (Qg_i).

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Le calcul du second indice est un peu plus technique. On se ramène au calcul des deux premiers termes de la suite exacte

(`ⁿL∩Ze+ωn,eZe)/`ⁿZe+ωn,eZe,→Ze/`ⁿZe+ωn,eZeZe/`ⁿL∩Ze+ωn,eZe

Le Λ-moduleZ_e est sans torsion de rangρ donc il existe un pseudo-isomorphismeZ_e∼Λ^ρ, qui nous informe que le terme central de la suite est paramétré par (ρ,0,−ρ`^e). Reste à voir que le noyau est stationnaire.

On a

(`ⁿL∩Ze+ωn,eZe)/(`ⁿZe+ωn,eZe)'(`ⁿL∩Ze)/(`ⁿZe+`ⁿL∩ωn,eZe).

Notons`⁻ⁿZ_e={x∈L|`ⁿx∈Z_e}, de telle sorte que la suite(`⁻ⁿZ_e)_n est une suite croissante de sous-Λ-modules de L. Cette suite est stationnaire par noethérianité donc il existe un entier αtel que l’on ait : `⁻ⁿZ_e =`^−αZ_e pour n> α. Pour de tels n, on a `ⁿL∩Z_e =`ⁿ(`^−αZ_e) et

`ⁿL∩ω_n,eZ_e=ω_n,e`ⁿ(`^−αZ_e)par factorialité deL.

Ainsi, il vient :

(`ⁿL∩Z_e)/(`ⁿZ_e+`ⁿL∩ω_n,eZ_e) = `ⁿ(`^−αZ_e)/`ⁿ(Z_e+ω_n,e(`^−αZ_e)) ' `^−αZ_e/(Z_e+ω_n,e(`^−αZ_e)), ,

le dernier isomorphisme se justifiant par l’absence de torsion. Et le noyau est stationnaire dés lors que le quotient`^−αZe/Zeest fini.

Mais L/ωeL est de type fini sur Z`, donc son sous-module `^−αZe/ωeL aussi ; et par suite, son quotient`^−αZe/Ze aussi. Ce dernier quotient étant par définition tué par`^α, il est fini.

Finalement, on obtient :

ν` E: (F+∇nE+ωn,eYe)

≈ρ^S_Tn`ⁿ−κ^S_Tn,

avecκ^S_T =ρ^S_T`^e−Pdeg(gi)compris entre0et ρ^S_T`^e. 3.2.2 La partie de torsion

Étudions maintenant le second facteur, i.e. l’indice : F :F∩(∇nE+ωn,eYe)

. C’est évidemment une fonction décroissante du module de descente Ye. Nous en obtenons donc une majoration très simple en remplaçant Ye par 0; et une minoration en remplaçant Ye par la somme directe Y_e^◦⊕Yˆe = Y_e^◦ ⊕(⊕^d_i=1Ye⁽ⁱ⁾) de ses projections sur les d+ 1 facteurs directs L et Λ/fiΛ de la décompositionE=L⊕(⊕^d_i=1Λ/fiΛ).

Dans le premier cas, nous obtenons :

F/(F∩ ∇nE) =F/∇nF=⊕^d_i=1Λ/(∇n+f_iΛ); tandis que dans le second, il vient :

F/(F∩(∇_nE+ω_n,e(Y_e^◦⊕Yˆ_e))) =F/(∇_nF+ω_n,eYˆ_e)

=⊕^d_i=1Λ/(∇n+fiΛ +ωn,eY_e⁽ⁱ⁾).

Le calcul de l’indice Λ :∇n+fΛ

est mené à bien dans [4] §1.2. On a : (i) ν` (Λ :∇n+fΛ)

≈`^m, pourf =`^m; et (ii) ν_` (Λ :∇_n+fΛ)

≈deg(P)n, sif est un polynôme distinguéP.

Et il reste à voir qu’on obtient essentiellement le même résultat, lorsqu’on remplace (∇n+fΛ) par(∇n+fΛ +ω_n,eZ), pour unZ`-module de type finiZ.

Considérons donc le quotient :C= (∇n+fΛ +ωn,eZ)/(∇n+fΛ).

(i) Pourf =`^met n>m, il vient directement :

C'ωn,eZ/(ωn,eZ∩(`^mΛ +ωnΛ))'Z/(Z∩(`^mΛ +ωeΛ)).