Formules d’addition Formules de duplication

(1)

Formulaire de trigonométrie circulaire

A 1 B

x M H

K

cos(x) sin(x)

tan(x) cotan(x)

cos(x) = abscisse deM sin(x) =ordonnée deM tan(x) =AH

cotan(x) =BK e^ix=zM

b b b

b b

Pourx /∈ π

2 +πZ, tan(x) = sin(x)

cos(x) et pourx /∈πZ, cotan(x) = cos(x)

sin(x). Enfin pourx /∈ π

2Z, cotan(x) = 1 tan(x). Valeurs usuelles.

xen^◦ 0 30 45 60 90

xen rd 0 π

6

π 4

π 3

π 2

sin(x) 0 1

2

√1 2 =

√2 2

√3

2 1

cos(x) 1

√3 2

√1 2 =

√2 2

1

2 0

tan(x) 0 1

√3 1 √

3 ∞

cotan(x) ∞ √

3 1 1

√3 0

∀x∈R, cos²x+sin²x=1

∀x /∈ π

2 +πZ,1+tan²x= 1 cos²x.

∀x /∈πZ,1+cotan²x= 1 sin²x.

addition d’un tour addition d’un demi-tour angle opposé angle supplémentaire cos(x+2π) =cosx cos(x+π) = −cosx cos(−x) =cosx cos(π−x) = −cosx sin(x+2π) =sinx sin(x+π) = −sinx sin(−x) = −sinx sin(π−x) =sinx tan(x+2π) =tanx tan(x+π) =tanx tan(−x) = −tanx tan(π−x) = −tanx cotan(x+2π) =cotanx cotan(x+π) =cotanx cotan(−x) = −cotanx cotan(π−x) = −cotanx angle complémentaire quart de tour direct quart de tour indirect

cos(π

2 −x) =sinx cos(x+π

2) = −sinx cos(x−π

2) =sinx sin(π

2 −x) =cosx sin(x+ π

2) =cosx sin(x−π

2) = −cosx tan(π

2 −x) =cotanx tan(x+π

2) = −cotanx tan(x− π

2) = −cotanx cotan(π

2 −x) =tanx cotan(x+π

2) = −tanx cotan(x− π

2) = −tanx

(2)

Formules d’addition Formules de duplication

cos(a+b) =cosacosb−sinasinb cos(2a) =cos²a−sin²a cos(a−b) =cosacosb+sinasinb =2cos²a−1 sin(a+b) =sinacosb+sinbcosa =1−2sin²a sin(a−b) =sinacosb−sinbcosa sin(2a) =2sinacosa

tan(a+b) = tana+tanb

1−tanatanb tan(2a) = 2tana 1−tan²a tan(a−b) = tana−tanb

1+tanatanb

Formules de linéarisation

cosacosb= 1

2(cos(a−b) +cos(a+b)) cos²a= 1+cos(2a) 2 sinasinb= 1

2(cos(a−b) −cos(a+b)) sin²a= 1−cos(2a) 2 sinacosb= 1

2(sin(a+b) +sin(a−b))

Formules de factorisation cos x, sin x et tan x Divers en fonction de t=tan(x/2)

cosp+cosq=2cosp+q

2 cosp−q

2 cosx= 1−t²

1+t² 1+cosx=2cos²x 2 cosp−cosq= −2sinp+q

2 sinp−q

2 sinx= 2t

1+t² 1−cosx=2sin²x 2 sinp+sinq=2sinp+q

2 cosp−q

2 tanx= 2t

1−t² cos(3x) =4cos³x−3cosx

sinp−sinq=2sinp−q

2 cosp+q

2 sin(3x) =3sinx−4sin³x

Résolution d’équations

cosx=cosa⇔ sinx=sina⇔ tanx=tana⇔

∃k∈Z/ x=a+2kπ ∃k∈Z/ x=a+2kπ ∃k∈Z/ x=a+kπ

ou ou

∃k∈Z/ x= −a+2kπ ∃k∈Z/ x=π−a+2kπ

Exponentielle complexe

∀x∈R,e^ix=cosx+isinx.

Valeurs usuelles e⁰=1,e^iπ/2=i,e^iπ= −1, e^−iπ/2= −i,e^2iπ/3=j= −1

2 +i

√3 2 ,√

2e^iπ/4=1+i.

Propriétés algébriques

∀x∈R,|e^ix|=1.

∀(x, y)∈R²,eîx×eîy=eî(x+y), eîx

e^iy =e^i(x−y), 1

e^ix =e^−ix=e^ix Formules d’Euler

∀x∈R, cosx= e^ix+e^−ix

2 ete^ix+e^−ix=2cosx.

∀x∈R, sinx= e^ix−e^−ix

2i et e^ix−e^−ix=2isinx.

Formule de Moivre

∀x∈R,∀n∈Z,(e^ix)ⁿ=e^inx.