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R´ esum´ e Arithm´ etique

Systèmes de numération Arithmétique modulaire

Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´edicats Langage ensembliste Calcul bool´een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´esien de deux ensembles Relations binaires Applicationfd’un ensemble Edans un ensembleF

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

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2021-2022

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

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Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Base 10

En base dix, on utilise dix chiffres (0, 1, 2 . . . , 9).

2548 = 2000 + 500 + 40 + 8

= 2 × 10 ³ + 5 × 10 ² + 4 × 10 ¹ + 8

67,89 = 60 + 7 + 0,8 + 0,09

= 6 × 10 ¹ + 7 × 10 ⁰ + 8 × 10 ⁻¹ + 9 × 10 ⁻²

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Base 2

En base deux (en binaire), on utilise deux chiffres (0 et 1).

1101 _b = 1 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰

= 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1

= 13

1101 b (ou 1101 2 ou . . . ) correspond au nombre d´ ecimal 13.

Exposants n´ egatifs : en utilisant 2 ⁻¹ = ¹ ₂ = 0,5 ; 2 ⁻² = ₂ ¹ 2 = 0,25 ; 2 ⁻³ = ₂ ¹ 3 = 0,125 . . . , on peut repr´ esenter les nombres d´ ecimaux.

10,011 _b = 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ + 0 × 2 ⁻¹ + 1 × 2 ⁻² + 1 × 2 ⁻³

= 1 × 2 + 0 × 1 + 0 × 0,5 + 1 × 0,25 + 1 × 0,125

= 2,375

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Base 16 ou hexad´ ecimale

On utilise 16 symboles : 0, 1, 2, . . . , 9, A, B, C, D, E, F.

1AF 507 h = 1 × 16 ⁵ + 10 × 16 ⁴ + 15 × 16 ³ + 5 × 16 ² + 0 × 16 ¹ + 7 × 16 ⁰

= 1048576 + 655360 + 61440 + 1280

+ 0 + 7

= 1766663

Puissances de 16 : 16 ² = 256, 16 ³ = 4096, . . .

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Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

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Calcul matriciel

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Division euclidienne

Dans les entiers naturels : pour tout dividende a et tout diviseur b non nul, il existe un unique quotient q et un unique reste r tels que

a = bq + r avec 0 6 r < b Si r = 0, on dit que

I a est divisible par b ;

I b est un diviseur de a ;

I a est un multiple de b.

(9)

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Nombres premiers

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs: un et lui-mˆ eme.

Exemples: 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 sont des nombres premiers. 9 n’est pas un nombre premier (ses diviseurs sont 1 ; 3 ; 9). 0 et 1 non plus.

Test de primalit´ e : pour savoir si un nombre n est premier ou pas, on le divise par tous les nombres premiers inf´ erieurs ou ´ egaux ` a √

n.

(10)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

D´ ecomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier naturel N sup´ erieur ou ´ egal ` a 2 se d´ ecompose de mani` ere unique en produit de nombres premiers.

Exemple : 660 = 2 ² × 3 × 5 × 11. On a essay´ e de diviser 660

par les nombres premiers, en commen¸ cant par le plus petit,

jusqu’` a obtenir 1.

(11)

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Diviseurs d’un nombre

Pour trouver tous les diviseurs de 360, on le d´ ecompose en produit de facteurs premiers :

360 = 2 ³ × 3 ² × 5

Puis on prend tous les facteurs 1 par 1, 2 par 2, etc.

(12)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

PGCD de deux entiers

On obtient le PGCD de deux entiers

I soit en cherchant le plus grand entier commun dans la liste des diviseurs de chacun ;

exemple :

I les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ; I ceux de 54 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.

Le plus grand diviseur commun est 6.

I soit ` a l’aide de leurs d´ ecompositions en facteurs premiers :

I 72 = 2 ³ × 3 ² I 54 = 2 × 3 ³

PGCD(72,54) = 2 × 3 ²

(13)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Entiers premiers entre eux

Deux entiers sont dits premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.

Exemple : 20 et 33 sont premiers entre eux car leur PGCD

est 1.

(14)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

D´ efinition des congruences

Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers a et b sont dits congrus modulo n si a et b ont le mˆ eme reste dans la division euclidienne par n.

Notation : a ≡ b (n) ou a ≡ b mod n Exemples :

36 ≡ 6 (5) 125 ≡ 6 (7) 13 ≡ 3 (2)

D´ efinition ´ equivalente : deux entiers naturels a et b (avec

a > b) sont congrus modulo n si a − b est divisible par n.

(15)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Propri´ et´ es des congruences

a, b, c , d , k sont dans N et n est dans N ^∗ .

1. Transitivit´ e. Si a ≡ b (n) et b ≡ c (n), alors a ≡ c (n)

2. Somme. Si a ≡ b (n) et c ≡ d (n), alors a + c ≡ b + d (n).

3. Multiplication. Si a ≡ b (n) et c ≡ d (n), alors ac ≡ bd (n).

En particulier : Si a ≡ b (n), alors ka ≡ kb (n).

Cons´ equence : si a ≡ b (n), alors a ^p ≡ b ^p (n) pour tout p ∈ N ^∗ .

Attention : on peut ajouter, soustraire, multiplier membre ` a

membre des congruences, mais pas diviser.

(16)

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Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

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Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

N´ egation d’une proposition P

Table de v´ erit´ e :

P ¬P

1 0

0 1

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Conjonction de deux propositions P et Q

P ∧ Q se lit ”P et Q ”.

P Q P ∧ Q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

(20)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Disjonction de deux propositions P et Q

P ∨ Q se lit ”P ou Q”.

P Q P ∨ Q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

(21)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Implication

P ⇒ Q se lit P implique Q.

P Q P ⇒ Q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

NB : c’est ´ equivalent ` a (¬P ) ∨ Q

(22)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Equivalence ´

P ⇔ Q se lit ”P ´ equivaut ` a Q”.

P Q P ⇔ Q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

(23)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Propri´ et´ es des connecteurs logiques

¬(¬P ) = P (P ∨ Q ) ⇔ (Q ∨ P ) (P ∧ Q ) ⇔ (Q ∧ P ) Distributivit´ e :

P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q ) ∧ (P ∨ R)

P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q ) ∨ (P ∧ R)

(24)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Propri´ et´ es des connecteurs logiques

Elements neutres ´

V ´ etant une proposition vraie et F une proposition fausse, pour toute proposition P :

P ∨ F ⇔ P P ∧ V ⇔ P Tiers-exclu :

P ∨ ¬P ⇔ V Non-contradiction :

P ∧ ¬P ⇔ F

(25)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Propri´ et´ es de ⇒ et ⇔

(P ⇒ Q ) ⇔ (¬P ∨ Q) (P ⇔ Q) ⇔ (P ⇒ Q ) ∧ (Q ⇒ P )

(P ⇒ Q ) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P )

(26)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Arithm´ etique Syst` emes de num´ eration

Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

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Calcul matriciel

Graphes et

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Comprendre des phrases logiques contenant les

quantificateurs ∀ (pour tout), ∃ (il existe) et des pr´ edicats portant sur des variables.

I ∃x ∈ R, x > 2

Comprendre : ”il existe un r´ eel x tel que x > 2”.

I ∀x ∈ R , x > 2

Comprendre : ”pour tout r´ eel x, x > 2”.

I ∀x ∈ R , ∃y ∈ R , x + y = 5

La premi` ere proposition est vraie (x = 10 convient), la

seconde est fausse (par exemple pour x = 0). La troisi` eme

est vraie : pour tout nombre r´ eel x, il existe un nombre y tel

que x + y = 5 (y = 5 − x convient).

(28)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Arithm´ etique Syst` emes de num´ eration

Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

(29)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Langage ensembliste

E et F d´ esignent des ensembles.

E = {a,b,c ,d }, F = {c ,d }

I c ∈ E signifie que c est un ´ el´ ement de E . c ∈ F ; a ∈ E mais a ∈ / F .

I F est inclus dans E : on ´ ecrit F ⊂ E et on dit que F est un sous-ensemble de E.

F ⊂ E , F ⊂ F , ∅ ⊂ F .

a b c d

E

F

(30)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Compl´ ementaire, intersection et r´ eunion

Pour A ⊂ E et B ⊂ E.

I Le compl´ ementaire de A dans E est not´ e { E A ou A.

C’est {x ∈ E ; x ∈ / A}.

I R´ eunion : A ∪ B = { x ∈ E ; x ∈ A ∨ x ∈ B } I Intersection : A ∩ B = { x ∈ E ; x ∈ A ∧ x ∈ B }

Si A ∩ B = ∅, A et B sont disjoints.

A B E

Intersection A ∩ B

A B E

R´ eunion A ∪ B

A E

Compl´ ement { E A

(31)

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Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

(32)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Associativit´ e

a + (b + c) =

(33)

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Alg` ebres de Boole

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Associativit´ e

a + (b + c) = (a + b) + c

(34)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Associativit´ e

a.(b.c) =

(35)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Associativit´ e

a.(b.c) = (a.b).c

(36)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Commutativit´ e

a + b =

a.b =

(37)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Commutativit´ e

a + b = b + a

a.b = b.a

(38)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

El´ ´ ements neutres

a + 0 =

a.1 =

(39)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

El´ ´ ements neutres

a + 0 = a

a.1 = a

(40)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Distributivit´ e de . par rapport ` a +

a.(b + c) =

(41)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Distributivit´ e de . par rapport ` a +

a.(b + c) = a.b + a.c

(42)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Distributivit´ e de + par rapport ` a .

a + (b.c ) =

(43)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Distributivit´ e de + par rapport ` a .

a + (b.c ) = (a + b).(a + c)

(44)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Tiers-exclus

a + a =

(45)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Tiers-exclus

a + a = 1

(46)

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Non-contradiction

a.a =

(47)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Non-contradiction

a.a = 0

(48)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

1 =

0 =

a =

(49)

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Alg` ebres de Boole

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

1 = 0

0 = 1

a = a

(50)

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Alg` ebres de Boole

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Idempotence

a.a =

a + a =

(51)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Idempotence

a.a = a

a + a = a

(52)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Absorption

a + 1 =

a.0 =

(53)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Absorption

a + 1 = 1

a.0 = 0

(54)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Lois de De Morgan

a.b =

(55)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Lois de De Morgan

a.b = a + b

(56)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Lois de De Morgan

a + b =

(57)

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Alg` ebres de Boole

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Lois de De Morgan

a + b = a.b

(58)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Absorption

a + ab =

(59)

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Alg` ebres de Boole

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Absorption

a + ab = a

a absorbe son multiple.

(60)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Absorption

a(a + b) =

(61)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Absorption

a(a + b) = a

(62)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

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Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

(63)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Arithm´ etique Syst` emes de num´ eration

Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

(64)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Produit cart´ esien de deux ensembles

E × F , le produit cart´ esien de deux ensembles E et F , est l’ensemble des couples (x,y) o` u x est un ´ el´ ement de E et y est un ´ el´ ement de F .

E × F = {(x,y) ; x ∈ E , y ∈ F }

(65)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Si un ensemble E a un nombre n fini d’´ el´ ements, on appelle ce nombre le cardinal de E . On le note card(E ).

Si card(E ) = n et card(F ) = p, alors card(E × F ) = n × p.

(66)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Arithm´ etique Syst` emes de num´ eration

Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

(67)

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´ El´ ements de la th´ eorie des ensembles

Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Relation binaire

Une relation binaire R d’un ensemble E vers un ensemble F est la donn´ ee d’une partie (un sous-ensemble) not´ e G de E × F , appel´ ee le graphe de R .

Pour x ∈ E et y ∈ F , x R y signifie (x,y) ∈ G .

Souvent E = F : la relation binaire R sera d´ efinie sur un

ensemble E.

(68)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

R est une relation binaire sur E .

• R est r´ eflexive si

∀x ∈ E x R x

• R est sym´ etrique si

∀(x,y) ∈ E × E x R y ⇒ y R x

• R est antisym´ etrique si

∀(x,y) ∈ E × E (x R y) ∧ (y R x) ⇒ x = y

• R est transitive si

∀(x,y,z ) ∈ E ×E×E (x R y)∧(y R z ) ⇒ x R z

(69)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Relation d’´ equivalence

R est une relation d’´ equivalence si elle est I r´ eflexive

I sym´ etrique

I transitive.

(70)

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Calcul matriciel Graphes et ordonnancement

Relation d’ordre

Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est

I r´ eflexive I antisym´ etrique I transitive.

Exemples :

6 et > dans R ;

la relation d’inclusion est une relation d’ordre

dans P (E ) (l’ensemble des parties (ou

sous-ensembles) de E ).

(71)

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Ordre total

Une relation d’ordre R sur E est une relation d’ordre total si

∀(x,y ) ∈ E ² (x R y) ∨ (y R x )

On peut comparer tous les ´ el´ ements. Sinon l’ordre est

partiel.

(72)

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Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

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Produit cart´ esien de deux ensembles Relations binaires Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Calcul matriciel

Graphes et

ordonnancement

(73)

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Application f d’un ensemble E dans un ensemble F

Une application f associe ` a tout ´ el´ ement d’un ensemble E un ´ el´ ement unique d’un ensemble F .

Notation :

f : E −→ F x 7−→ f (x)

f (x) s’appelle l’image de x, E est l’ensemble de d´ epart, F est l’ensemble d’arriv´ ee.

f (E ) s’appelle l’image de E. Bien sˆ ur, f (E) ⊂ F .

(74)

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Exemple d’application

f est une application de E = {a,b,c ,d } vers F = {w ,x,y,z}.

a w

b x

c y

d z

f f (E ) = {w ,x,z }

L’image de a est x.

Les ant´ ec´ edents de x sont a et c .

(75)

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Injection

Une application f de E dans F est une injection si deux

´

el´ ements distincts de E ont des images distinctes :

∀x ∈ E , ∀x ⁰ ∈ E , x 6= x ⁰ ⇒ f (x) 6= f (x ⁰ ) Cela revient ` a dire : f (x) = f (x ⁰ ) ⇒ x = x ⁰ .

Ou que deux fl` eches ne pointent pas vers le mˆ eme ´ el´ ement

de F .

(76)

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Exemple d’injection

i est une injection de E = {a,b,c } vers F = {w ,x,y,z}.

a w

b x

c y

i z

(77)

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Surjection

Une application f de E dans F est une surjection si tout

´

el´ ement F admet un ant´ ec´ edent (au moins).

∀y ∈ F , ∃x ∈ E | f (x) = y

Exemple : s est une surjection de E = {a,b,c ,d } vers F = {x,y ,z }.

a x

b y

c z

d

s

(78)

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Bijection

Une application f de E dans F est une bijection si elle est injective et surjective.

Exemple : h est une bijection de E = {a,b,c,d } vers F = {w ,x,y,z}.

a w

b x

c y

d h z

(79)

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Compos´ ee de deux applications

f est une application de E vers F et g est une application de F vers G .

L’application, not´ ee g ◦ f , de E vers G , qui ` a tout x de E associe g (f (x)) est la compos´ ee de f et g .

f g

E F G

(80)

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Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

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Arithm´ etique Syst` emes de num´ eration

Arithm´ etique modulaire Alg` ebres de Boole

Calcul des propositions Calcul des pr´ edicats Langage ensembliste Calcul bool´ een

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Calcul matriciel

Graphes et

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Base 10

En base dix, on utilise dix chiffres (0, 1, 2 . . . , 9).

2548 = 2000 + 500 + 40 + 8

= 2 × 10 3 + 5 × 10 2 + 4 × 10 1 + 8

67,89 = 60 + 7 + 0,8 + 0,09

= 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 8 × 10 −1 + 9 × 10 −2

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Base 2

En base deux (en binaire), on utilise deux chiffres (0 et 1).

1101 b = 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0

= 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1

= 13

1101 b (ou 1101 2 ou . . . ) correspond au nombre d´ ecimal 13.

Exposants n´ egatifs : en utilisant 2 −1 = 1 2 = 0,5 ; 2 −2 = 2 1 2 = 0,25 ; 2 −3 = 2 1 3 = 0,125 . . . , on peut repr´ esenter les nombres d´ ecimaux.

10,011 b = 1 × 2 1 + 0 × 2 0 + 0 × 2 −1 + 1 × 2 −2 + 1 × 2 −3

= 1 × 2 + 0 × 1 + 0 × 0,5 + 1 × 0,25 + 1 × 0,125

= 2,375

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Base 16 ou hexad´ ecimale

On utilise 16 symboles : 0, 1, 2, . . . , 9, A, B, C, D, E, F.

1AF 507 h = 1 × 16 5 + 10 × 16 4 + 15 × 16 3 + 5 × 16 2 + 0 × 16 1 + 7 × 16 0

= 1048576 + 655360 + 61440 + 1280

+ 0 + 7

= 1766663

Puissances de 16 : 16 2 = 256, 16 3 = 4096, . . .

= 2 × 10 ³ + 5 × 10 ² + 4 × 10 ¹ + 8

= 6 × 10 ¹ + 7 × 10 ⁰ + 8 × 10 ⁻¹ + 9 × 10 ⁻²

1101 _b = 1 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰

Exposants n´ egatifs : en utilisant 2 ⁻¹ = ¹ ₂ = 0,5 ; 2 ⁻² = ₂ ¹ 2 = 0,25 ; 2 ⁻³ = ₂ ¹ 3 = 0,125 . . . , on peut repr´ esenter les nombres d´ ecimaux.

10,011 _b = 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ + 0 × 2 ⁻¹ + 1 × 2 ⁻² + 1 × 2 ⁻³

1AF 507 h = 1 × 16 ⁵ + 10 × 16 ⁴ + 15 × 16 ³ + 5 × 16 ² + 0 × 16 ¹ + 7 × 16 ⁰

Puissances de 16 : 16 ² = 256, 16 ³ = 4096, . . .

Exemple : 660 = 2 ² × 3 × 5 × 11. On a essay´ e de diviser 660

360 = 2 ³ × 3 ² × 5