Chapitre 6
Relations binaires - Ensembles de nombres
I - Relations binaires Définition 1 (Relation binaire).
Soit E un ensemble et G⊂E×E. Le couple R= (E, G) est une relation binaire sur E. Notation.
Soit(x, y)∈E×E. Si(x, y)∈G, l'élémentx est en relation avecy, notéxRy. Exercice 1.Décrire les relations binaires que vous avez rencontrées.
Définition 2 (Réflexivité, (Anti)symétrie, Transitivité).
Soit R une relation binaire sur un ensemble E. La relationR est (i). réexive si pour tout x∈E,xRx.
(ii). symétrique si pour tous x, y∈E, sixRy, alors yRx.
(iii). antisymétrique si pour tous x, y∈E, sixRy etyRx, alors x=y. (iv). transitive si pour tous x, y, z∈E, si[xRy etyRz], alors xRz.
Exercice 2.Parmi les relations binaires que vous avez listées précédemment, lesquelles sont ré- exives ? symétriques ? antisymétriques ? tranistives ?
I.1 - Relations d'équivalence Définition 3 (Relation d’équivalence).
Une relation binaire R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle est réexive, symétrique et transitive.
Exercice 3.Parmi les relations binaires listées précédemment, lesquelles sont des relations d'équi- valences ?
Définition 4 (Classe d’équivalence).
Soient R une relation d'équivalence sur un ensemble E et x ∈E. La classe d'équivalence de l'élémentx, notéex oucl(x), est l'ensemble {y∈E ; xRy}.
Exercice 4.Deux réels x et y sont en relation, noté xRy, si xey =yex. Montrer que R est une relation d'équivalence, puis, pour tout réel x, déterminer le nombre d'éléments dans la classe d'équivalence dex.
Proposition 1 (Partition).
SoitR une relation d'équivalence sur un ensembleE. L'ensemble des classes d'équivalence de R forme une partition de E.
Définition 5 (Congruences). Soit (z, p)∈R×Z.
(i). Deux réels x ety sont congrus moduloz, notéx≡y [z], s'il existe un entierk tel que x=y+kz.
(ii). Deux entiers m etn sont congrus modulo p, notén≡m [p], s'il existe un entierk tel quen=m+kp.
Les congruences sont des relations d'équivalence.
Propriété 2 (Congruence & Opérations). Soienta, a0, b, b0 ∈Zetm, n∈N?.
(i). Si a≡b [n]eta0≡b0 [n], alors a+a0 ≡b+b0 [n]. (ii). Si a≡b [n]eta0≡b0 [n], alors aa0 ≡bb0 [n]. (iii). Si a≡b [n]etm∈Z, alors am≡bm [nm]. I.2 - Relations d'ordre
Définition 6 (Relation d’ordre).
Une relation binaire R sur un ensemble E est une relation d'ordre sur E si elle est réexive, antisymétrique, transitive.
Exercice 5.Donner des exemples de relations d'ordre.
Notation.
4désigne une relation d'ordre surE,A⊂E etx∈E. Définition 7 (Ordre total / partiel).
Si, pour tout (x, y)∈E2,x4y ou y 4x, la relation4 est une relation d'ordre total. Sinon, 4est une relation d'ordre partiel.
Exercice 6.Parmi les exemples précédents, lesquels sont des relations d'ordre total ? partiel ? Définition 8 (Majorant, Minorant).
(i). L'élément x est un majorant deA si∀ a∈A, a4x. La partie A est majorée.
(ii). L'élément x est un minorant deAsi ∀a∈A, x4a. La partie A est minorée.
(iii). Si A possède un majorant et un minorant, la partieA est bornée.
Exercice 7.Donner, lorsqu'il y en a, des majorants et minorants des ensembles suivants : 1. Sur(R,6):A1=]− ∞,3].
2. Sur(R,6):A2=]−1,1].
3. Sur (R,6) :A3 =1
n, n∈N? .
Définition 9 (Plus grand / petit élément).
(i). L'élément x est le plus grand élément deA si∀ a∈A, a4x etx∈A. (ii). L'élément x est le plus petit élément deAsi ∀a∈A, x4aet x∈A.
Exercice 8.Reprendre l'exercice précédent.
Théorème 1 (Maximum, Minimum).
(i). SiApossède un plus grand élément, il est unique. C'est le maximum deA, notémax(A). (ii). SiApossède un plus petit élément, il est unique. C'est le minimum deA, notémin(A).
Définition 10 (Borne supérieure / inférieure).
(i). L'élémentx est la borne supérieure deA si c'est le plus petit élément de l'ensemble des majorants de A. Il est notésup(A).
(ii). L'élémentxest la borne inférieure deAsi c'est le plus grand élément de l'ensemble des minorants deA. Il est noté inf(A).
Exercice 9.
1. Reprendre l'exercice précédent.
2.SoientA etB deux ensembles possédant des bornes supérieures tels queA⊂B. Montrer que supAsupB.
Théorème 2 (Comparaison max / sup).
(i). Si A possède un plus grand élément, alors A possède une borne supérieure. De plus, sup(A) = max(A).
(ii). Si A possède un plus petit élément, alors A possède une borne inférieure. De plus, inf(A) = min(A).
Exercice 10.Reprendre les exemples précédents.
II - Ensemble des entiers naturels II.1 - Axiomatique, Relation d'ordre Définition 11 (Axiomatique dePeano, H.P.).
Il existe un triplet(0,N, s), où N est un ensemble,0un élement de Net sune application de NdansN vériant les axiomes
(i). Application successeur.sest injective, (ii). s(N) =N\{0},
(iii). Axiome de récurrence. SiA⊂Nest telle que 0∈AetA est stable pars, alors A=N.
Notations.
Pour tout entier natureln, on note s(n) =n+ 1.
Cette dénition permet de dénir successivement l'addition parn+0 =netn+s(m) =s(n+m).
Le prédécesseur d'un entier natureln non nul est notén−1. Propriété 3 (Relation d’ordre surN).
Soit (m, n)∈N2. S'il existe un entier ktel quem =n+k, l'entier m est supérieur àn, noté n6m. La relation6 dénit un ordre total surN.
II.2 - Raisonnement par récurrence Théorème 3 (Récurrence faible).
Soient n0 un entier naturel etP une propriété dénie sur l'ensemble des entiers plus grands quen0. Si
(i). P(n0) est vraie,
(ii). ∀n>n0, siP(n) est vraie, alorsP(n+ 1)est vraie, alors, pour tout entier naturel n>n0,P(n)est vraie.
Théorème 4 (Récurrence forte).
Soientn0 un entier naturel etP un prédicat déni sur les entiers plus grands quen0. Si (i). P(n0) est vraie,
(ii). ∀n>n0, si∀ k∈Jn0, nK,P(k) est vraie, alorsP(n+ 1)est vraie, alors, pour tout entier naturel n>n0,P(n)est vraie.
Exercice 11.Soit(un)la suite dénie paru0 = 2, u1= 3et pour toutn∈N,un+2= 3un+1−2un. Montrer que pour toutn∈N,un= 2n+ 1.
II.3 - Éléments minimaux / maximaux Théorème 5 (Théorème de l’élément minimal).
Toute partie non vide de Npossède un plus petit élément.
Exercice 12.Montrer que toute suite strictement décroissante d'entiers naturels est nie.
Théorème 6.
Toute partie non vide et majorée de Npossède un plus grand élément.
III - Corps des nombres réels III.1 - Relation d'ordre
L'ensemble des réels, notéR, est muni d'une structure de corps(R,+,·)et d'une relation d'ordre total notée6.
Notations.
Pour tout (x, y)∈R2,
x < y six6y etx6=y.
x>y siy6x.
x > y siy6xetx6=y.
Propriété 4 (Relation d’ordre & Opérations (admis)).
Pour tout (x, y, z)∈R3,
(i). Si x6y, alors x+z6y+z.
(ii). Si x>0 ety>0, alors xy >0.
Exercice 13.Soientx, y, z∈Rtels quez>0. Montrer que six>y, alors xz>yz. Théorème 7 (Caractérisation des bornes sup / inf).
Soit Aune partie de Retm∈R.
(i). On suppose que Aadmet une borne inférieure. Alors,m= inf(A) si et seulement si
∗ ∀ x∈A,x>m,
∗ ∀ ε >0,∃x∈A ; m6x < m+ε.
(ii). On suppose que Aadmet une borne supérieure. Alors, M = sup(A) si et seulement si
∗ ∀ x∈A,x6M,
∗ ∀ ε >0,∃x∈A ; M−ε < x6M.
Exercice 14.Déterminer les bornes supérieures et inférieures deA= n
(−1)n+n+11 , n∈N o. Théorème 8 (Théorème de la borne supérieure (admis)).
Toute partie deR non vide et majorée admet une borne supérieure.
Théorème 9 (Théorème de la borne inférieure).
Toute partie deR non vide et minorée admet une borne inférieure.
Propriété 5 (Caractérisation des intervalles deR).
I est un intervalle deRsi et seulement si ∀(a, b)∈I2 tel que a6b,[a, b]⊂I. III.2 - Droite numérique achevée
Définition 12 (Droite numérique achevée).
La droite numérique achevée, notée R, est l'ensemble R=R∪ {−∞,+∞}. On prolonge la relation d'ordre 6surR, en posant∀ x∈R, x6+∞ et−∞6x.
On prolonge les opérations surRselon les tables
+ −∞ y∈R +∞
−∞ −∞ −∞ n.d.
x∈R −∞ x+y +∞
+∞ n.d. +∞ +∞
× −∞ y∈R?− 0 y ∈R?+ +∞
−∞ +∞ +∞ n.d. −∞ −∞
x∈R?− +∞ xy 0 xy −∞
0 n.d. 0 0 0 n.d.
x∈R?+ −∞ xy 0 xy +∞
+∞ −∞ −∞ n.d. +∞ +∞
Définition 13 (Voisinage).
Soit a∈R. L'ensemble W est un voisinage dealorsque (i). sia∈R,W est un intervalle ouvert centré ena. (ii). sia= +∞, il existe un réelc tel que W =]c,+∞[. (iii). sia=−∞, il existe un réelc tel que W =]− ∞, c[.
Exercice 15.Soit a∈R etV(a) l'ensemble des voisinages de a. Montrer que V(a) est non vide, stable pas intersections nies et réunions quelconques.
III.3 - N,Q,D
Théorème 10 (Rest archimédien).
Rest archimédien, i.e. pour tout x∈R?+, pour touty ∈R, il existen∈Ntel que nx>y. Exercice 16.Soit x∈R. Montrer qu'il existe un unique entier natureln tel quen6x < n+ 1.
Définition 14 (Partie entière).
Soit x∈R. L'unique entiernvériant n6x < n+ 1est la partie entière dex, notébxc. Théorème 11 (Densité).
(i). Qest dense dans R, i.e. pour tout (x, y)∈R2 tel que x < y,]x, y[∩Q6=∅.
(ii). R\Qest dense dans R, i.e. pour tout (x, y)∈R2 tel que x < y,]x, y[∩(R\Q)6=∅. Définition 15 (Nombre décimal).
Soit x ∈R. Le réel x est un nombre décimal s'il existe un entier naturel n tel que10nx ∈Z.
L'ensemble des nombres décimaux est notéD.
Exercice 17.Montrer que l'ensemble des nombres décimaux est dense dansR.
Définition 16 (Valeur décimale approchée).
Soient x un réel, n un entier naturel et a un entier relatif. Le réel a·10−n est une valeur décimale approchée dex à10−n près si|x−a·10−n|<10−n.
Sia·10−n6x, c'est une valeur approchée par défaut. Sinon, c'est une valeur approchée par excès.
Exercice 18.Soitx∈R. Donner une valeur décimale approchée dexpar défaut, puis par excès.
