de Math´ematiques F

Universit´e Paris Diderot 14 avril 2010 U.F.R. de Math´ematiques F. Lascar, L. Merel, ´E. Toubiana

Licence de Math´ematiques : Fonctions analytiques TEST N^o 3

NOM : Pr´enom :

1) La suite (f_n)n≥0 de fonctions enti`eres donn´ee par f_n(z) = z²+z/n converge- t-elle vers une fonction holomorphe ?

2) La fonction z7→e^z−z est-elle injective au voisinage de 0 ?

3) L’image par cette fonction de la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 est-elle ouverte ?

4) La fonction z7→1/(e^z−1) est-elle m´eromorphe sur C? 5) La fonction z7→sin(1/z) est-elle m´eromorphe sur C ? 6) Quel est le r´esidu enz = 0 de la fonction z 7→1/(e^z−1) ? 7) D´eterminer ^R_C(0,7)(_z−1¹ +_z+1¹ )dz.

R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.