TS Limites de fonctions (1) Pré-requis : connaissances de 1

(1)

TS Limites de fonctions (1)

Pré-requis : connaissances de 1^ère sur les limites de fonctions (notions intuitives) et de suites.

I. Approche de la définition d’une limite infinie en + ou en –

1°) Approche graphique (comprendre l’histoire de la barre) Graphiquement

Comment est représentée une fonction f définie sur  qui tend vers +  en +  ?

A

B En 1^ère

« ^{f x}

 

prend des valeurs aussi grandes que l’on veut pourvu que x soit assez grand ».

➀ Si on place une barre à une valeur A (exemple : A = 2011)

Il existe un palier B (valeur seuil) telle que si xB, alors ^{f x}

 

^A (ce qui équivaut à ^{f x}

 

^



^{A ;}^{ }



⁾

➁ Si je déplace la barre

(bien montrer qu’on peut déplacer la barre) B change car ça tend vers +.

(Si on bouge l’un, on bouge l’autre)

2°) Approche numérique (étude d’un exemple avec des « chiffres »)

 

²

f x x

 

lim

x f x



 

 

²⁰⁰⁹

f x  pour x 2009 (visualisation graphique)

II. Approche de la définition d’une limite finie en +  ou en – 

1°) Approche graphique (comprendre l’histoire du tuyau) Graphiquement

Comment est représentée une fonction f définie sur  qui tend vers l en + ?

 

f x se rapproche de l sans forcément être égal à l (notion de « tendre vers »).

I

A l

A : palier

« 1^ère valeur » de x à partir duquel la courbe passe dans le tuyau En 1^ère

« ^{f x}

 

prend des valeurs aussi proches de l que l’on veut pourvu que x soit assez grand ».

➀ Si on place une barre à un tuyau ↔ un intervalle ouvert I contenant l Il existe un palier A tel que si xA alors ^{f x}

 

^^I^.

On peut aussi dire que l’on utilise 2 barres.

Les valeurs ne sortent plus Enfermer les valeurs

On veut enfermer les valeurs dans un « tube », dans un « tuyau » APCR et ils ne sortent plus

➁ Si on rétrécit le tuyau ↔ on prend un intervalle ouvert I 'I contenant l A change

2°) Approche numérique (étude d’un exemple avec des chiffres)

 

¹

f x x

 

lim 0

x f x

 

 

I 0, 01 ; 0, 01(intervalle ouvert qui contient 0) Si x100, alors ^{f x}

 

^I.

le palier

(2)

III. Définitions des limites en +  ou en –  au programme à savoir par cœur

à savoir expliquer avec des mots f est une fonction définie sur un intervalle J.

Condition supplémentaire sur

l’intervalle J

Définition mathématique sous forme de phrases quantifiées

 

lim

x f x

  

 

lim

x f x

  

 

lim

x f x

  

 

xlim f x

  

Borne droite de J : +

Borne gauche de J : – 

On dit que la limite de ^{f x}

 

lorsque x tend vers + est égale à + pour exprimer que tout intervalle de la forme



^{A ;}^{ }



contient toutes les valeurs de ^{f x}

 

pour x assez grand.

 

lorsque x tend vers + est égale à –  pour exprimer que tout intervalle de la forme



^^{; A}



contient toutes les valeurs de f x

 

pour x assez grand.

 

lorsque x tend vers –  est égale à + pour exprimer que tout intervalle de la forme



^{A ;}^{ }



 

pour x assez petit.

 

lorsque x tend vers –  est égale à –  pour exprimer que tout intervalle de la forme



^^{; A}



 

pour x assez petit.

 

lim

x f x l

 



^l^^



 

lim

x f x l

 

Borne droite de J : +

Borne gauche de J : – 

 

lorsque x tend vers + est égale à l pour exprimer que tout intervalle ouvert I contenant l contient toutes les valeurs de ^{f x}

 

pour x assez grand.

 

lorsque x tend vers –  est égale à l pour exprimer que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de ^{f x}

 

pour x assez petit.

Définitions

Une définition ça se comprend mais ça ne se discute pas ! Une définition c’est posé par des mathématiciens.

Une définition ça peut être plus ou moins clair.

IV. Commentaires sur les définitions 1°) Phrases quantifiées

Chaque définition est exprimée sous la forme d’une phrase quantifiée (« tout intervalle … »).

2°) Utilisation des définitions

 Démontrer qu’une fonction tend vers +∞, vers – ∞ ou vers un réel quand x tend vers +∞ ou – ∞.

 Démontrer qu’une fonction ne tend pas vers +∞, vers – ∞ ou vers un réel quand x tend vers +∞ ou – ∞.

 Démontrer des propriétés (cette année, pour nous, les théorèmes de comparaison) 3°) Notations

 

lim

x f x



(avec la variable) ou limf



(sans la variable) x  + doit être entièrement contenu sous le lim.

 : flèche « tend vers » sans talon (différente de la flèche  « a pour image »)

4°) Pourquoi l’intervalle doit-il être ouvert dans la définition de la limite finie ?

Si l’on remplaçait « intervalle ouvert contenant l » par « intervalle fermé contenant l » dans la définition, alors en prenant l’intervalle { l } (intervalle fermé de longueur 0), on obtiendrait que les valeurs de ^{f x}

 

seraient égales à l à partir d’une certaine valeur de x. Ce qui reviendrait à confondre les notions de « tendre vers » et « être égal ».

5°) Fonctions qui n’ont pas de limite en +  et en – 

On peut démontrer grâce aux définitions que les fonction cosinus et sinus n’ont pas de limites en + et en – .

(Ces deux fonctions sont bornées sur , leurs courbes représentatives qui sont des sinusoïdes n’ont pas d’asymptotes mais possèdent des tangentes horizontales.)

V. Autre définition équivalente d’une fonction qui admet une limite finie en +ou en – 

1°) Approche intuitive Autre point de vue (plus naturel)

 

_x

f x l

 sig ?

 

f x se rapproche de l sans pour autant être égal à l quand x prend des valeurs de + en + grandes.

   

d f x ;l devient très petite

aussi petite que l’on veut pour x assez grand T.M. :

Cette distance devient < 0,1 APCR < 0,01 APCR < 0,001 APCR

(3)

2°) Définition (HP)

 

_x

f x l



Phrase quantifiée

« Pour tout réel  > 0, il existe un réel A tel que si A

f

x x D

 

 



alors ^d



^{f x}

 

^;^l



^{ }^{. »}

3°) Rappels sur la VA

 Distance de 2 réels (définition) ^d



^{x y}^;



 ^x^y  ^y^x

(Exemple : ^d



^{f x}

 

^;^l



^ ^{f x}

^{ }

^^l ⁾

 x a    a  xa 

(Exemple : ^{f x}

 

^l    ^l^{  }^{f x}

 

^{  }^l ⁾

 varie → ^{f x}

 

se rapproche de l Plus  est petit, plus ^{f x}

 

est proche de l.

4°) Utilisation

 Nous n’utiliserons pas cette définition cette année.

 Mais cette définition permet de démontrer dans le supérieur des propriétés des limites avec les propriétés des inégalités (majorer, minorer) et des valeurs absolues.

VI. Limite en un réel

1°) Notion de « x tend vers un réel a »

« x tend vers a » signifie « x se rapproche de plus en plus de a sans jamais être égal à a ».

(différence entre « tendre vers » et « être égal » ; on écrit parfois

xx a_a).

Intérêt des limites : étudier le comportement d’une fonction en un réel où elle n’est pas définie.

« x tend vers a par valeurs supérieures » signifie « x se rapproche de plus en plus de a sans jamais être égal à a, en restant strictement supérieur à a ».

« x tend vers a par valeurs inférieures » signifie « x se rapproche de plus en plus de a sans jamais être égal à a, en restant strictement inférieur à a ».

Notations :

x a

x a

 ou xa^ ;

x a

x a

 ou xa^ (il s’agit de notations purement symboliques).

2°) Rappels des différents cas (pour mémoire)

 

lim

x af x

   ; lim

 

x af x

   ; lim

 

x af x l

 

De même, avec les limites à droite, limites à gauche en a.

3°) Commentaire

Aucune définition ne sera donnée sur ces limites cette année.

4°) Résultat admis

Nous admettrons provisoirement que pour une fonction f de référence ou fonction usuelle, si aD_f, alors ^lim

   

x af x f a

  .

On dit que f est continue en a.

Cette notion sera retravaillée dans le chapitre sur la continuité (1).

(Exemple : ^lim_x_₁



^x²^²^x



^³⁾

5°) Exemples de limites à droite et limite à gauche

Exemple 1 Exemple 2

f est la fonction définie sur  par

 

1 si 4 3 si 4

f x x

  



 



(il s’agit d’une même fonction définie par 2 expressions différentes suivant les valeurs de x).

f est la fonction définie sur  par

 

3 si 4

4 5

f x x

f

  



 



C

4 3

O _i^ j

C

4 3

O i^ j

4

 

4

lim 3

x x

 f x





 

4 4

lim 1

x x

 f x



 La fonction f n’a pas de limite en 4.

(Il y a discontinuité de la fonction en 4 ; pour la courbe, il y a un arrêt et un redémarrage).

4

 

4

lim 3

x x

 f x





 

4 4

lim 3

x x

 f x



 La fonction f a pour limite 3 en 4.

4

 

4

lim 3

x x

 f x





(4)

N.B. : Il est toujours un peu perturbant de voir une fonction qui n’est pas définie par une expression unique.

VII. Asymptotes

1°) Tableau des asymptotes

Lorsque La courbe Cf admet la droite  d’équation

Asymptote horizontale

 

lim

x f x a

 

ou

 

lim

x f x a

 

y = a pour asymptote horizontale en +  ou en – 

Asymptote verticale

 

lim

x af x

  

ou

 

lim

x af x

  

x = a pour asymptote verticale

Asymptote oblique

   

lim 0

x f x ax b

    ou

   

lim 0

x f x ax b

   

y = ax + b



^a^⁰



pour asymptote oblique en +  ou en – 

N.B. : on peut avoir une asymptote oblique en +  ou en –  ou les deux.

2°) Courbes asymptotes (définition)

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I dont la borne de droite est + .

On dit que les courbes représentatives Cf et Cg de f et g dans un repère sont asymptotes en +  pour exprimer

que lim

   

0

x f x g x

   .

Définition analogue pour des courbes asymptotes en – .

Cette année, nous rencontrerons surtout des paraboles asymptotes.

N.B. : Attention à la formulation.

Lorsque l’on parle d’« asymptote » on sous-entend qu’il s’agit bien d’une « droite asymptote ».

Sinon, on spécifie bien « courbe asymptote » (par exemple, en précisant « parabole asymptote »).

3°) Reconnaissance d’asymptote oblique

Lorsque l’on peut écrire ^{f x}

 

^{ax b}  

 

^x avec où a et b sont deux réels tels que a  0 et  est une fonction telle que ^lim

 

⁰

x x

  , alors la courbe Cf admet la droite  d’équation yax b pour asymptote oblique en

+ .

Idem en – .

4°) Reconnaissance de courbes asymptotes

Lorsque l’on peut écrire ^{f x}

 

^{g x}

 

 

 

^x où  est une fonction telle que lim

 

0

x x

  , alors les courbes représentatives Cf et Cg sont asymptotes en + .

Idem en – .

On rencontre fréquemment des paraboles asymptotes.

5°) Tracé des branches infinies

Pour les tracés de courbes, on trace les asymptotes (droites asymptotes) et les courbes asymptotes.

(N.B. : courbes asymptotes toujours en + ou en – ).

VIII. Limites de référence n est un entier naturel non nul.

1°) Groupe 1 2°) Groupe 2 3°) Groupe 3 4°) Groupe 4

 

lim ⁿ

x x

  

 

lim ⁿ

x x

   si n est pair

 

lim ⁿ

x x

   si n est impair

xlim x

  

lim 1_n 0

x^ x

 

 

  lim 1_n 0

x^x 

lim 1 0

x^ x

lim ln

x x

  

0

lim ln

x

 x

  

limln 0

x

x x

  *

 

0

lim ln 0

x

x x

  *

 

0

limln 1 1

x

x x



  *

lim e^x

x  

lim e^x 0

x 

lime

x

x^ x  *

 

lim e^x 0

x x

  *

0

e 1

lim 1

x

x^ x

  *

N.B. : parmi ces limites, celles marquées par un * sont des F.I. (voir paragraphe suivant) dont on utilisera directement les résultats.

IX. Opérations algébriques

(Règles opératoires admises sans démonstration) 1°) Somme de deux fonctions

Si f a pour limite m m m   

Si g a pour limite n     

Alors fg a pour limite mn     F.I.

(5)

2°) Produit de deux fonctions

Si f a pour limite m m0 m0 m0 m0    0

Si g a pour limite n         ou

Alors fg a pour limite m n        F.I.

3°) Quotient de deux fonctions Si f a

pour limite

m m    

0 m

ou



0 m

ou



0 m

ou



0 m

ou





ou



0 Si g a

pour limite

0 n



ou



0

n n0 n0 n0 0 en restant positif

0 en restant négatif

0 en restant positif

0 en restant négatif



ou



0 Alors

f g a pour limite

m

n 0         F.I. F.I.

X. Application des règles opératoires aux calculs de limites 1°) Méthode (pour mémoire)

 On utilise les limites de référence et les règles opératoires sur les limites.

Présentation et rédaction : voir exercices.

« Par limite d’une somme / par limite d’un produit / par limite d’un quotient »

 Exemple de présentation des calculs

On utilise des accolades de groupement.

lim 2

lim 3

x

x x



  

 

donc par limite d’une somme _x^lim_



^x²^³^x



^{ }^.

 Technique en entourant les termes 2°) Formes indéterminées

Cette année, nous rencontrerons 4 types de F.I. qu’on écrit symboliquement :

«    », « 0 », « 

 », « 0 0 ».

Attention : «    » n’est pas une F.I. !

Pour apprendre à lever ces cas d’indétermination, voir le chapitre suivant (transformations d’écriture).

On observera que parmi les limites de référence pour le logarithme népérien et l’exponentielle, certaines sont à priori des F.I. dont on utilisera le résultat directement en exercice.

3°) Remarque sur la F.I. « 0   »

On a appris que « 0 fois n’importe quoi, ça fait 0 ».

Seulement, le n’importe quoi en question doit être un nombre, et non + ou –.

Exemple :

lim 1 0

x^ x

 

 

  et ^lim

 

x x

  ; en revanche, comme  x ^* 1 1

x x , on a ^lim ¹ ^{lim 1}

 

¹

x x x

x

 

 

  

 

  .

4°) Les formes « 0

 » et « 0

 »

 La forme « 0

 »

Important à dire : ce n’est pas une F.I.

Il s’agit d’une règle sur les limites qui est peu mise en application en 1^ère (on peut dire pas du tout) donc pas évidente pour les élèves en T^ale.

Cette règle est utilisée en T^ale. Rappel de la règle

D’après le tableau si une fonction f admet une limite en a égale à  et si une fonction g admet une limite en a égale à 0, alors la fonction f

g admet une limite en a égale à  .

Le signe du résultat de la limite est déterminé en fonction des deux signes : celui de l’infini et celui du zéro.

D’où vient cette limite ? 1

f f g  g

lim

a f   et 1

lima g .

Or on sait que le produit de deux fonctions qui tendent vers  tend vers , le signe étant déterminé en fonction des signes de chacune des deux limites.

lim 1

a f

g

 

  

 

 

Exemples :

Déterminer

0

limln

x

x x



.

(6)

0

lim ln lim 0

x

x x









 



 

donc par limite d’un quotient,

0

limln

x

x x

  .

 Un cas peu étudié en 1^ère : La forme « 0

 »

f et g sont deux fonctions définies sur  telles que ^lim

 

⁰

x f x

  et ^lim

 

x g x

  .

On a :

 

lim

 

0

x

f x g x

  (d’après le tableau).

XI. Limite des fonctions polynômes et rationnelles en + ou en –  1°) Règle sur les monômes de plus haut degré

 La limite d’une fonction polynôme non nulle en + ou en – est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.

 La limite d’une fonction rationnelle non nulle en + ou en –  est égale à la limite du quotient simplifié de ses monômes de plus haut degré.

2°) Démonstration Pour une fonction polynôme

 

_n ⁿ _n1 ⁿ¹ ... 1 0

f x a x a_x^  a x a



^a_n⁰



. x *

 

 

n ⁿ ¹ ⁿ¹ ¹ ^... ¹ ¹n₁ ⁰ ¹n

n n n

a a a

f x a x

a x a x a x



 

         

 

 En +  :

1 1 0

1

1 1 1

lim 1 ⁿ ... 1

n n

x n n n

a a a

a x a x a x



 

 

       

 

 

Donc ^lim

 

^lim



n ⁿ



x f x x a x

   .

 En –  : idem.

Pour une fonction rationnelle : même méthode 3°) Attention

La règle ne s’applique que pour des fonctions polynômes et rationnelles non nulles en + ou en – , (pas pour des fonctions avec des racines carrées, des valeurs absolues, des cosinus, des sinus, des logarithmes, des exponentielles qui ne font pas partie de la famille des fonction polynômes et fonctions rationnelles).

Exemple :



²

  

²

lim 5 3 1 lim 5

x x

x x x

 

    

XII. Limite d’une fonction composée Digression sur les composées en Terminale.

1°) Théorème (admis sans démonstration)

f et g sont deux fonctions.

x^f _f x

 

X



^X^g^{g X}

 

g o f

a, b, c désignent

soit des réels soit soit



  

  

 Si ^lim

 

a

x f x b

 

et ^lim

 

b

x g x c

  ,

alors ^lim



^o

 

a

x g f x c

  .

On parle parfois de théorème de « croisement ».

2°) Exemples

 Exemple 1 :

f : x  x²4 Df =

(f est définie au voisinage de +  et – .) Déterminer limf

 .

² 4 u x x

X

 

v X X

²

lim 4

lim

x X

X X

x









  

 



 

 





 

 



donc par limite d’une composée, ^lim

 

x f x



 

(7)

 Exemple 2 : changement de variable f : x 

e2^x

x Df ^*

(f est définie au voisinage de + ) Déterminer limf

 . But : se ramener à e

lim

X

X^X   (pour utiliser l’une des limites de référence à « l’état pur »).

2

X x  2 X x



x 







X 



Réécriture de ^{f x}

 

suivant en fonction de X.

 

^e

2

X

f x  X

 

²^e

X

f x  X

lim e

X

X^X  

Donc ^lim

 

x f x

  

Autre méthode :

On utilise la réécriture :

 

e ^e

x

f x x

 x

lim e

lime (limite de référence)

x x

x

x x



  



  



donc par limite d’un produit, ^lim

 

x f x

  

Retenir les 2 utilisations d’un X : - changement de variable ; - limite d’une composée.

XIII. Limites et relation d’ordre

1°) Le théorème « des gendarmes » ou théorème d’encadrement

I est un intervalle dont la borne de droite est +.

f, g, h sont trois fonctions définies sur I telles que  x I ^{f x}

 

^^{g x}

 

^^{h x}

 

^.

Si ^lim

 

^lim

 

x f x x h x l

   



^l^



^{, alors}^lim

 

x g x l

  .

2°) Extension du théorème des gendarmes (un seul gendarme)

I est un intervalle dont la borne de droite est +.

f et g sont deux fonctions définies sur I telles que  x I ^{f x}

 

^^{g x}

 

^.

 Si ^lim

 

x f x

  , alors ^lim

 

x g x

  .

 Si ^lim

 

x g x

  , alors ^lim

 

x f x

  . 3°) N.B.

 Le résultat de la limite est fini → 2 côtés (la même limite des deux côtés).

 Le résultat de la limite est infini → 1 seul côté.

Penser au théorème des gendarmes ou à son extension quand on a des fonctions cosinus, sinus.

Le théorème des gendarmes et son extension restent valables lorsque x tend vers –  ou vers un réel.

4°) Exemples

 Exemple 1 :

: sinx

f x x Df ^*

Déterminer limf

 . Attention : lim sin

x x

 n’existe pas.

 x  1 sin  x1 x *_

  1 sinx 1

x x x

  

: x



^x^⁰



On pose u x

 

¹

 x et v x

 

¹

x. x *

  ^{u x}

 

 ^{f x}

 

^{v x}

 

(8)

 

   

lim 0

donc d'après le théorème des gendarmes lim 0

lim 0

x

x x

u x

f x v x





 

 

 

 Exemple 2 :

: sin

f xx x Df 

Déterminer limf

 et limf

 .

 x  1 sin  x1

 x  1 x x sinx 1 x

+ x

On pose ^{u x}

 

^x¹ et ^{v x}

 

 ^x ¹.

 x ^{u x}

 

^{f x}

 

^{v x}

 

Limite en +  Le côté minorant suffit.

   

 

donc d'après l'extension du théorème des gendarmes lim lim

x

x u x f x

u x ^ f





   

  

  



.

Limite en –  Le côté majorant suffit.

   

 

lim

x

x f x v x

v x





   

  



donc d’après l’extension du théorème des gendarmes limf

  . 5°) Point–méthode

 Théorème des gendarmes : on utilise les deux côtés.

 Extension : on utilise un seul côté.

Attention sur les inégalités : quand on multiplie par un réel négatif, on change de sens.

6°) Démonstration (ROC)

f, g, h sont trois fonctions définies sur un intervalle I dont la borne droite est +.

H₁ x I ^{f x}

 

^{g x}

 

^{h x}

 

H2 limf l

  H3 limh l

 

Conclusion : limg l

  . Démonstration :

Il faut démontrer que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de g x

 

pour x assez grand.

J est un intervalle ouvert contenant l.

H2 On sait que l’on peut trouver un réel A1 tel que si xA₁ et xI, alors ^{f x}

 

^^J^.

H₃ On sait que l’on peut trouver un réel A₂ tel que si xA₂ et xI, alors ^{h x}

 

^^J^.

On choisit un réel A supérieur à A₁ et à A₂ tel que si xA et xI, alors

 

J J f x h x

 



 



.

J

^{f x}

 

^{g x}

 

^{h x}

 

H1 Si xA et xI, alors ^{g x}

 

^J.

Comme ceci est vrai pour tout intervalle ouvert J contenant l, on en déduit que limg l

  .

J

A₂ l

A₁

bande Ch

Cg

Cf