Les suites (2) Pré-requis : connaissances de 1

Les suites (2)

Pré-requis : connaissances de 1^ère sur les limites de suites I. Remarques générales avant de commencer le chapitre

On étudie les suites définies à partir d’un certain indice (appartenant à ).

1°) Étudier la limite d’une suite c’est étudier le comportement de ses termes lorsque l’indice tend vers +.

(« comportement asymptotique »)

2°) La limite d’une suite c’est forcément quand n tend vers +  (n très grand).

n est un entier naturel.

On ne peut pas le faire tendre vers autre chose.

« On ne peut pas faire tendre n vers 0 car n ne peut pas être égal à 0,1 ; 0,01 ; 0,001. »

Quand dans un énoncé on demande « déterminer la limite de la suite u », cela signifie « déterminer lim _n

n u

 ».

On va étudier les limites de suites avec la même précision que ce que l’on a fait pour les fonctions en procédant de la même manière.

II. Approche de la définition d’une limite infinie

1°) Approche graphique

(comprendre l’histoire de la barre)

Graphiquement, comment est représentée une suite

 

^u_n qui tend vers +  ? On peut obtenir l’allure suivante du nuage de points.

A

O n termes

Formulation de 1^ère :

« u_n prend des valeurs aussi grandes que l’on veut pourvu que n soit assez grand » N

➀ Si on place une barre à une valeur A (exemple : A2010)

Il existe un pallier N (valeur seuil) tel que si nN, alors u_nA (un



^{A ;} 



)

➁ Si je déplace la barre (bien montrer qu’on peut déplacer la barre), N change car ça tend vers +.

(Si on bouge l’un, on bouge l’autre).

2°) Approche numérique (étude d’un exemple avec des chiffres)

2

unn lim _n

n

u

  

n 2010

u  pour n 2010 (visualisation graphique) 201044,8330235...

Donc si n45, alors u_n2010. le pallier

III. Approche d’une limite finie

1°) Approche graphique (comprendre l’histoire du tuyau)

Graphiquement, comment est représentée une suite

 

un qui tend vers l ?

un se rapproche de l sans forcément être égal à l (notion de « tendre vers »).

N n

O I termes

l

Formulation de 1^ère :

« u_n prend des valeurs aussi proches de l que l’on veut pourvu que n soit assez grand »

➀ Si on place un tuyau ↔ un intervalle ouvert I contenant l Il existe un pallier N / si nNalors u_nI.

On a voulu enfermer les valeurs dans un « tube », dans un « tuyau » APCR, dont elles ne « sortent » plus.

➁ Si on rétrécit le tuyau ↔ on prend un intervalle ouvert I 'I contenant l, N change.

2°) Approche numérique (étude d’un exemple avec des chiffres) 1

un

n

lim _n 0

n u

 

 

I 0, 01; 0, 01 (intervalle ouvert qui contient 0) Si n > 100, alors u_nI

le pallier IV. Définitions

1°) Définitions des limites au programme à savoir par cœur

à savoir expliquer avec des mots

 

un est une suite.

Définition mathématique sous forme de phrases quantifiées lim _n

n u

  

lim _n

n u

  

On dit que la limite de

 

un est égale à pour exprimer que tout intervalle I de la forme



A ; 

 

^A



contient tous les termes u_n à partir d’un certain indice.

On dit que la limite de

 

^u_n est égale à  pour exprimer que tout intervalle I de la forme



^{; A}

 

^A



contient tous les termes u_n à partir d’un certain indice.

lim _n

n u l

 



^l



On dit que la limite de

 

un est égale à l pour exprimer que tout intervalle ouvert I contenant l contient tous les termes u_n à partir d’un certain indice.

2°) Définition d’une suite convergente – d’une suite divergente

Suite convergente Suite qui admet une limite finie

Suite divergente

Suite qui n’admet pas une limite finie (2 cas sont alors possibles :

- soit la suite admet une limite infinie - soit la suite n’admet pas de limite)

Exemples d’utilisation des termes :

 Si lim _n

n u l

  , alors on dit que la suite

 

un converge vers l.

 Si lim _n

n u

  , alors on dit que la suite

 

un diverge vers + .

 Si lim _n

n u

  , alors on dit que la suite

 

un diverge vers – .

V. Commentaires sur les définitions 1°) Phrases quantifiées

Chaque définition est exprimée sous la forme d’une phrase quantifiée (« tout intervalle … »).

2°) Utilisation des définitions

 Démontrer qu’une suite tend vers + , vers –  ou vers un réel.

 Démontrer qu’une suite ne tend pas vers +  , vers –  ou vers un réel.

 Démontrer des propriétés (cette année, pour nous, l’unicité de la limite et les théorèmes de comparaison).

3°) Notations lim _n

n u



(avec la variable)

n  doit être entièrement contenu sous le lim.

4°) Pourquoi l’intervalle doit-il être ouvert dans la définition de la limite finie ?

Si l’on remplaçait « intervalle ouvert contenant l » par « intervalle fermé contenant l » dans la définition, alors en prenant l’intervalle

 

^l (intervalle fermé de longueur 0), on obtiendrait que les valeurs de u_nseraient égales à l à partir d’une certaine valeur de n. Ce qui reviendrait à confondre les notions de « tendre vers » et

« être égal ».

5°) Exemple de suite qui n’a pas de limite en +  et en – 

On peut démontrer grâce aux définitions que la suite u définie par un 

 

¹ⁿ n’a pas de limite.

Cette suite est une suite périodique, bornée.

VI. Une autre définition d’une suite convergeant vers un réel

VII. Un exemple de mise en œuvre des définition : unicité de la limite d’un suite convergente (hors programme)

On considère une suite u telle que lim _n

n u l

  (H1) et lim _n '

n u l

  (H2).

Avec la définition donnée, on va démontrer que ll'. On raisonne par l’absurde : on suppose que ll'.

On choisit un intervalle ouvert I contenant l et un intervalle ouvert I’ contenant l’ tels que II'  (H3).

] | [ ] | [ I l I’ l’

Pour la figure, on suppose que l < l’.

D’après (H₁), comme I est un intervalle ouvert contenant l, on peut trouver un entier naturel N₁ tel que si nN₁, alors u_nI.

D’après (H2), comme I’ est un intervalle ouvert contenant l’, on peut trouver un entier naturel N₂ tel que si nN₂, alors u_nI'.

Exemple :

1 1000

N  donc u₁₀₀₀, u₁₀₀₁, u₁₀₀₂ … sont dans I.

2 1500

N  donc u₁₅₀₀, u₁₅₀₁, u₁₅₀₂ … sont dans I’.

On note N le plus grand des entiers N₁ et N₂. Si nN, alors u_nI et u_nI'.

Impossible car II'  d’après H₃.

C’est ce qu’on appelle l’unicité de la limite c’est-à-dire lorsqu’une suite admet une limite finie, celle-ci est unique.

On dit que c’est « la » limite de la suite.

VIII. Règles de base 1°) Opérations algébriques

- Mêmes règles sur les limites que pour les fonctions (admis sans démonstration)

- Mêmes F.I. que pour les fonctions («    », « 0 », « 

 », « 0

0 ») ; mêmes méthodes pour lever les FI

- En particulier, pour les suites convergentes :

 La somme de deux suites convergentes est une suite convergente et la limite est la somme de limites.

 Le produit de deux suites convergentes est une suite convergente et la limite est le produit des limites.

 Le quotient de deux suites convergentes, la suite au dénominateur ne s’annulant pas, est convergente et la limite est le quotient des limites.

 Si lim _n

n u l

  et lim _n '

n v l

  , alors



unvn



est convergente et ^lim



n n



^'

n u v l l

    .

 Si lim _n

n u l

  et lim _n '

n v l

  , alors



unvn



est convergente et ^lim



n n



^'

n u v l l

    .

 Si lim _n

n u l

  et lim _n '

n v l

 



^l'0



^{, alors n}

n

u v

 

 

 

est convergente et lim

'

n

n n

u l

v l



 

 

  .

Exemples

u est une suite convergente telle quelim _n

n u l

  .

 

lim _n 1 1

n u l

   

 

lim 2 _n 2

n u l

 

1 1

lim

n^unl



^l0



lim 1 1

n

n n

u l

u l



 

 

 

 

(l 1)

2°) Lien entre suites et fonctions (règles admises sans démonstration) :

f _.

u est la suite définie par  n unf n

 

(formule explicite).

 Si ^lim

 

x f x l

  , alors lim _n

n u l

  .

 Si ^lim

 

x f x

  , alors lim _n

n u

  .

 Si lim

 

x f x

  , alors lim _n

n u

  .

3°) Limites des suites de référence

 

lim

n n

  

 

²

lim

n n

  

 

³

lim

n n

  

 

nlim n^

   avec  0 lim

n n



 

lim !

n n

   (car !n n)

Limite d’une suite géométrique (démontrée en 1^ère)

 Si q 1, alors la suite

 

^qn n’admet pas de limite.

 Si 1 q1, alors _n^lim_

 

^{qn 0.}

 Si q1, alors _n^lim_

 

^{qn 1.}

 Si q1, alors _n^lim_

 

^{qn  .}

4°) Notion de vitesse de convergence

Les suites 1 n

 

 

 ,

2

1 n

 

 

 ,

3

1 n

 

 

  convergent vers 0 mais de plus en plus vite.

IX. Théorèmes de comparaison

1°) Théorème des gendarmes ou d’encadrement u, v, w sont trois suites.

Si

lim lim

n n n

n n n n

n u v w

u l

w l





    

 

 





alors lim _n

n v l

  .

2°) Extension du théorème des gendarmes u et v sont deux suites.

Si

lim

n n

n n

n u v

u



   

  





alors lim _n

n v

  .

Si

lim

n n

n n

n u v

v



   

  





alors lim _n

n u

  . 3°) Utilisation

Les théorèmes du 1°) et du 2°) s’appellent « théorèmes de comparaison ».

N.B. : nouvelle manière de trouver la limite d’une suite Limite finie  2 côtés (la même de chaque côté) Limite infinie  1 seul côté

Penser aux théorèmes de comparaison quand on a cosn, sinn,

 

^{1n (} n  ^{  1}

 

^{1n1 ).}

4°) Démonstrations (ROC)

 Théorème des gendarmes

Hypothèses

_{n n n}

n u v w

    (H₁) lim _n

n u l

  (H2) lim _n

n

w l

  (H₃)

But : démontrer que lim _n

n v l

  . Démonstration avec la définition On choisit un intervalle ouvert I contenant l.

D’après (H₂), comme I est un intervalle ouvert contenant l, on peut trouver un entier naturel N₁ tel que si nN₁, alors u_nI.

D’après (H₃), comme I est un intervalle ouvert contenant l, on peut trouver un entier naturel N₂ tel que si nN₂, alors w_nI.

On note N le plus grand des entiers N₁ et N₂. Si nN, alors u_nI et w_nI.

Donc d’après (H₁), si nN, alors v_nI.

Comme ceci est vrai pour tout intervalle ouvert I contenant l, on en déduit que lim _n

n v l

  .

 Extension du théorème des gendarmes ROC Hypothèses

_{n n}

n u v

   (H1) lim _n

n u

   (H2) But : démontrer quelim _n

n v

  . Démonstration avec la définition

(Il faut démontrer que tout intervalle I de la forme



^{A ; }

 

^A



contient tous les termes u_n à partir d’un certain indice.)

On pose ^I



^{A ; }

 

^A



.

D’après (H₂), on peut trouver un entier naturel N tel que si nN, alors u_nI. Il existe donc un entier naturel N tel que u_NA (1).

D’après (H₂), on peut écrire : si nN, alors v_nI.

Comme ceci est vrai pour tout intervalle I de la forme



^{A ; }

 

^A



, on en déduit que lim _n

n v

  . X. Limites et monotonie

1°) Théorème des suites monotones majorées ou minorées (admis sans démonstration)

u est une suite monotone.

 Si u est croissante et majorée, alors elle converge (vers une limite finie).

 Si u est décroissante et minorée, alors elle converge (vers une limite finie).

La limite d’une suite croissante majorée est un majorant de cette suite.

La limite d’une suite décroissante minorée est un minorant de cette suite.

2°) Mise en garde

Ce théorème est un théorème d’existence de limite ; il ne permet pas de la trouver.

Exemple de raisonnement faux

Si u est une suite décroissante et minorée par 0, alors u converge vers 0 (on n’en a aucune certitude).

Visualisation du nuage de points correspondant à une suite décroissante minorée.

3°) Complément : suites monotones non majorées ou non minorées

u est une suite monotone.

 Si u est croissante non majorée, alors u diverge vers +.

 Si u est décroissante non minorée, alors u diverge vers –.

Démonstration ROC

Hypothèses : u est croissante (H1) u est non majorée (H₂) But : démontrer que lim _n

n u

  . 0

0

Démonstration avec la définition

Il faut démontrer que tout intervalle de la forme



^{A ; }

 

^A



contient tous les termes u_n à partir d’un certain indice.

On pose ^I



^{A ; }

 

^A



^.

D’après (H2), A n’est pas un majorant de u.

A majorant signifie que   n u_nA.

Il existe donc un entier naturel N tel que u_NA (1).

0 N Or d’après (H1), u est croissante.

Donc si nN, alors u_nu_N (2).

(1) et (2) donnent : si nN, alors u_nA. si nN, alors u_nI. On en déduit que : lim _n

n u

  .

4°) Bilan sur la limite d’une suite monotone

soit convergente (si elle est majorée) Une suite croissante est

soit divergente vers (si elle n’est pas majorée)

soit convergente (si elle est minorée) Une suite décroissante est

soit divergente vers –  (si elle n’est pas minorée)

XI. Suites adjacentes 1°) Définition

On dit que deux suites u et v sont adjacentes pour exprimer que :

 u est croissante ;

 v est décroissante ;

 lim



_{n n}



0

n v u

   .

La condition lim



_{n n}



0

n v u

   est équivalente à lim



_{n n}



0

n u v

   . L’ordre dans lequel on écrit la différence n’a pas d’importance.

2°) Exemple ; contre-exemple

 u et v sont les suites définies sur ^* par 1 un

 n et 1 vn

n.

La suite u est croissante.

La suite v est décroissante.

n^* 1 1

n n

v u

n n

 

    

  2

n Donc lim



_{n n}



0

n v u

   .

Donc les suites u et v sont adjacentes.

 u et v sont les suites définies sur ^* par u_neⁿ et v_n eⁿ. La suite u est croissante.

La suite v est décroissante.

n^* v_nu_n2eⁿ

Donc lim



_{n n}



n v u

   .

Donc les suites u et v ne sont pas adjacentes.

3°) Résultat admis sans démonstration

Avec les hypothèses de la définition, on a :

 n  u_nv_n.

4°) Théorème des suites adjacentes

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

5°) Démonstration ROC (H1) : u croissante (H2) : v décroissante (H3) : lim



_{n n}



0

n v u

  

On sait alors que n  u_nv_n (H4).

1^er point : démontrons que u et v sont convergentes (H1) permet d’écrire  n  u_nu₀

(H2) permet d’écrire  n  v_nv₀.

Avec (H4), on obtient  n u₀u_nv_nv₀. D’où  n  u_nv₀

 n v_nu₀

u est croissante majorée par v₀ donc elle converge vers une limite finie l.

v est décroissante minorée par u₀ donc elle converge vers une limite l’.

2^e point : démontrons que ces limites sont égales 0 d’après (H₃)

 

lim _{n n}

n v u

  

'll (1^er point)

Par unicité de la limite, nous pouvons affirmer que ll'0. Donc 'l l.

6°) Complément

On note l la limite commune.

 n  u_n l v_n

On peut utiliser cette inégalité pour trouver des encadrements assez précis de la limite (dans le cadre de l’approximation d’un nombre).

XII. Théorème de composition suite-fonction

1°) Théorème (admis sans démonstration) identique à la composition de 2 fonctions a et b désignent

soit des réels soit + ou –

u est une suite.

f est une fonction définie sur un intervalle I telle que tous les termes de la suite u soient dans I.

 

lim Si et

lim

n n

x a

u a

f x b













 

, alors ^lim

 

n

n f u b

 

2°) Exemples Exemple 1 :

On suppose que lim _n

n u a

 



^a



^.

Déterminer lim e^un ?

n  .

lim

lim e e car la fonction exponentielle est continue

n n

x a

x a

u a





 



 

donc lim e^un e^a

n  .

Exemple 2 :

On suppose que lim _n 0

n

u

  et que  n u_n0. Déterminer lim ln _n

n u



.

0

lim 0

lim ln

n n

x

u

 x







 



  



donc lim ln _n

n

u

  .

3°) Corollaire : I

f 

 

^u_n est une suite telle que n u_nI.

lim avec I

Si et

est continue en

n un a a

f a

   









, alors ^lim

 

n

 

n f u f a

  .

^{( lim}

 

_

 

⁾

x a

b

f x f a

 

XIII. Détermination de la limite d’une suite récurrente 1°) Une situation fréquente

u est une suite définie par récurrence.

On suppose que u converge (par exemple, on a démontré que u est croissante majorée ou décroissante minorée).

On cherche sa limite.

2°) Exemple

u est la suite définie par

0

1

5

1 1

n 2 n

u

n u_ u

 



   

 

On démontre facilement par récurrence que :

 n  u_n1u_n

 n  u_n2

u est décroissante minorée donc elle converge.

On note l sa limite.

Déterminons l.

lim _n

n

u l

  donc lim _n1

n

u_ l

  (évident d’après la définition d’une suite qui converge vers un réel)

l lim _n1

n u_

 

1

2l1 (car  n  ₁ 1 2 1

n n

u_  u  )

Par unicité de la limite d’une suite, 1 2 1 l l .

Donc l2.

Conclusion : lim _n 2

n u

 

3°) Résultat général sur les suites récurrentes (théorème du point fixe)

f est une fonction définie sur un intervalle I telle que ^f

 

^{I I.}

u est une suite définie par

 

0

1

I

_{n n}

u

n u_ f u





  

  .

lim _n

n u l

  (H1)

Si lI (H₂)

lim (H1) I (H2)

est continue sur I (H3)

n un l

l f

  



 





, alors ^{l f l}

 

^.

f est continue sur I (H3)

Démonstration ROC D’après (H₁), lim _n1

n u _ l

  .

 

 

 

1 2 3

H H H











 ^lim

 

n

 

n f u f l

  .

Or  ⁿ  ^u_n1 ^{f u}

 

_n .

Donc par unicité de la limite, on a : ^{lf l}

 

^.

4°) Visualisation de la convergence ou de la divergence d’une suite récurrente avec la construction en toile d’araignée, en marche d’escalier ou en escargot (pour mémoire)

XIV. Appendice 1 : le paradoxe de Zénon d’Élée Lien maths-philo

Achille et la tortue

La flèche qui n’atteint jamais sa cible.

1°) Historique

Parménide, philosophe grec du V^e siècle avant J.-C. enseignait que « L’être est un, indivisible et immobile ».

Le « non être » = le Néant.

Pour lui, le mouvement n’est qu’une illusion. Cette thèse rencontrait des adversaires.

Zénon (environ 500 avant Jésus-Christ) l’un des disciples de Parménide a imaginé des paradoxes célèbres pour démontrer l’impossibilité du mouvement.

2°) Le paradoxe de la flèche

Pour atteindre sa cible, une flèche doit d’abord parcourir la moitié du trajet, puis la moitié de la moitié, puis encore la moitié et ceci indéfiniment… Cela permettait à Zénon de conclure que la flèche n’atteint jamais sa cible.

3°) Mathématisation du problème

somme qui tend vers 1

1 1 1

distance ...

2 4 8

 

 

   

 

 

 

 



Modélisation du problème à l’aide d’une suite

On note u la suite telle que ₁ 1 u 2, ₂ 1

u 4, ₃ 1 u 8… u est la suite géométrique

de 1^er terme ₁ 1 u 2 et de raison 1 q2

1 2 ...

n n

S u u  u ₁ 1

1 qn

u q

  



₁ 1 1

2 1 1

2

n

u

   

   

 1

1 2

 n

   

  1

1 2ⁿ

  1 S 

lim 1 0 2

n

n

 

  

 

car 1

1 1

 2 D’où lim _n 1

n S

  4°) Achille et la tortue

Achille doit rattraper une tortue. Pour cela, il doit arriver à la position où était la tortue initialement mais pendant cet intervalle, la tortue a aussi avancé. C’est pourquoi Achille ne rattrape jamais la tortue.

XV. Appendice 2 : applications des suites convergentes 1°) Schéma

probabilités

suites convergentes

périmètres, aires, volumes approximation de réels (découpage)

2°) Périmètres, aires, volumes

 Méthode d’Archimède (vers 250 avant J.-C.) (« la mesure du cercle »)

Archimède cherche à calculer le périmètre d’un cercle. Pour cela, il prend un polygone inscrit dans le cercle et calculer son périmètre.

Il obtient donc une approximation du périmètre du cercle.

2ⁿ côtés

suite de périmètres

 Méthodes d’Archimède et de Pascal (quadrature de la parabole)

3°) Approximation de réels Principe :

lim _n

n

u l

  signifie ^d



un^;l



 unl devient aussi petite que l’on veut.

On peut se servir des termes u_n pour approcher la limite l.

Exemple :

Suite de fractions qui s’approchent de  : 22 7 , 355

113… (fractions continues de ) Développement décimal d’un nombre :

Pourquoi 0,99999... 1 ? On pose a0, 999999...

10a9, 999999999...

Donc 10a a 9 Soit 9aa D’où a1

(notion de développement décimal)

Formules d’approximation du nombre e, du nombre d’or etc.

On a : 1 1 1

e lim 1

1! 2! !

n ...

n



 

      

 

Le nombre d’or est défini par 1 5 2

   .

On a :

1 1 1 ...

     et 1

1 1

1 1

1 1

1 ...

  







Ces deux dernières égalités expriment le nombre d’or comme limites de deux suites.