Exercice 1
1)
0
lim
0 x
x et lim 2 3 3
0
x
x donc
x
x
x
lim 3
2 0
2) lim2 3 11
4
x
x et lim4 0
4
x
x
x 4 f(x) + -
Donc
x x
x 4
3 lim 2
4
et
x x
x 4
3 lim2
4
3)
lim x2
x donc on a une FI on factorise par le degré de x le plus haut
2 2
2 1 3
1
3 x x x
x
x et on a 3 0
1 lim
lim 2
x x x
x donc 1 3 1
1
lim 2
x x
x et
3
lim x2 x
x
4) FI car + -
4 3
1 4
3
4 3
4 4 3
3 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x x
x et on a
3 lim 4
lim x2 x2
x
x et donc 0
4 3
lim 1
2
2
x x
x
5)
3
lim x
x et donc 0
3
lim 1
x
x
6)
1
lim x
x et donc
1
lim x
x
7) Etude en :
lim x4
x donc
lim x4
x et
3 1
lim x
x donc
3 1
lim x4 x
x
Etude en + : avec la même étude que précédemment on arrive à une FI donc on va
factoriser par le degré le plus haut :
4 4 33 14
1 1
3x x x x
x . Or
1 1 1 3
lim 3 4
x x
x et
lim x4
x donc
3 1
lim x4 x
x
8) Etude en + :
x x
x
xlim4 3 lim3 donc
4 5 1
lim x3 x2
x
Etude en : FI donc factorisation :
2 3 3
3 5 1
4 1 5
4x x x x x or
1 4 4 5
lim 3
x x
x et
limx3
x donc
4 5 1
lim x3 x2
x
9) Le domaine de définition est R \
1 .
x x x x
x x
x x x
x x x
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
1 2
4 2 2
2 2
Or 1 1 1
2 lim 1 4
lim 2
x x x x
x donc
( ) lim f x
x et
( ) lim f x
x . Etudions
maintenant les limites en 1- et en 1+ . Tout d’abord : lim ² 4 2 7
1
x x
x . Etudions le signe de
x – 1 : si x > 1 , alors x – 1 > 0 donc :
( ) lim
1
x f
x
et
( ) lim
1
x f
x
. Exercice 2
1) 1 0
lim 2
x
x donc lim ( ) lim ( )2
f x g x
x x
2) Les courbes de f et de g admettent une asymptote horizontale d’équation y = 2 Exercice 3
1) On sait que 1cosx1 et de plus x² > 0 d’où l’encadrement
2) 1 0
1 lim
lim 2 2
x x x
x donc par le théorème des gendarmes , lim ( )0
f x
x
Exercice 4
1) f(x) = x² et g(x) = x 2) f(x) = - x² et g(x) = x 3) f(x) = x et g(x) = x² 4) f(x) = -3x² et g(x) = x²
Exercice 5
On choisit f(x) = sin x . La formule du nombre dérivé donne puisque f est dérivable en 2
2) ( ' 2
2) ( ) ( lim
2
f
x f x f
x
d’où : ) 0
cos(2 2
1 limsin
2
x x
x
Exercice 6
1)
2
2 1 1
² 6 2 8
2
²
6 8
² ) 2 (
x x
x x x
x x x x
f
.
De plus 2 0
1 lim
² lim lim 6
lim8 2
x x x x x x x
x . Donc 2
² 6 2 8
lim
x x
x et
2 1 1 1
lim 2
x x
x . Donc lim ( ) lim ( )2
f x f x
x
x . On en conclut que la droite d’équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe de f .
2)
2
2 1 1
² 1 2 1
2
²
1
² ) 2
(
x x
x x x
x x x x
f
.
De plus 2 0
1 lim
² lim
lim 1 2
x x x x x
x . Donc 2
² 1 2 1
lim
x x
x
et 1 2 1
1
lim
x x
x
. Donc lim ( ) lim ( )2
f x f x
x
x . On en conclut que la droite d’équation y = - 2 est asymptote horizontale à la courbe de f .
3)
x x x x
x x x x
f 1
1 4
² 1 2 1 ²
4 ) 2
( 3
3
.
De plus 1 0
² lim lim 2
lim 43
x x x x x
x . Donc 1
² 2 1 4
lim 3
x x
x et 1 1
1 lim
x
x . Or
² limx
x . Donc
( ) lim ( )
lim f x f x
x
x .
4)
3 3
3 3
1 2 2 1
2 1 2 2
1 ) 2
(
x x x
x x
x x
f .
On a : 2 0
1 lim
lim
x x x
x donc 2
1 2 2 1
lim
x x
x et 8
1 2 2 1 lim
3
x x
x . On en conclut que la droite d’équation y = - 8 est asymptote horizontale à la courbe de f .
5) f(x) x²1x .
² 1
lim x
x et
u
ulim donc
² 1
lim x
x et
x
xlim d’où
xlim f(x) = .
x x x
x x
f
1
² 1 1
² )
( en utilisant la forme conjuguée . Et par un
raisonnement semblable au précédent :
x x
xlim ² 1 donc
xlim f(x) = 0.
On en conclut que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de f 6) f(x) x²2x5x1 .
Comme dans le 5) , on peut calculer directement la limite en et on a
xlimf(x) = . 1 5
2
² 1 4 5
2
² )
(
x x
x x x
x x
f et comme dans le 5)
xlim f(x) = 0.
On en conclut que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de f
7) f(x) x²1 x²4=
4
² 1
² 3
x
x .
Or
² 1 lim ² 4
lim x x
x
x . Donc
xlim f(x) =
xlim f(x) = 0.
On en conclut que la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de f 8) f(x) x²1 .
² 1
lim x
x
9)
² 8 4 4
² 4 1 1
8 4
² 4
4 ) ²
(
x x
x x x
x x x x
f
.
² 1 4 1 1
lim
x x
x et 4 2
² 8 4 4
lim
x x
x . Donc
xlim f(x) =
xlim f(x) = 2
1 . On en conclut que la droite d’équation y =
2
1 est asymptote horizontale à la courbe de f .
10)
1 0 0 1 sin 1 sin
sin )
(
x x x x
x
f donc par définition du nombre dérivé de sin x en 0 car
1 0
lim
x
x on a
xlim f(x) =
xlim f(x) = cos 0 = 1 . On en conclut que la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe de f
11) x
x x
f( ) 2 sin
. 1
sin
1
x donc 12sinx3 et x f(x)x
3 .
Or
lim 3
lim x
x x
x et par le théorème des gendarmes
xlim f(x) = . De même ,
xlim f(x) = .
12) f(x)x²(10cosx). On encadre également : 9x² f(x)11x² et par le théorème des gendarmes :
xlim f(x) =
xlim f(x) = Exercice 7
1) ( 1)( 2)
1 2
² ) 1
(
x x
x x
x x x
f .
(x + 1 ) ( x – 2 ) < 0 sur ] – 1 ; 2 [ donc
( 1)( 2) lim( 1)( 2)0 lim
2 1
x x x
x
x x
et
( 1)( 2) lim( 1)( 2)0 lim
2 1
x x x
x
x x
de plus lim 1 2
1
x
x et lim 1 1
2
x
x donc
( ) lim
1
x f
x
,
( ) lim
1
x f
x
,
( ) lim
2 f x
x et
( ) lim
2 f x
x . On en conclut que la courbe de f admet deux asymptotes verticales les droites
d’équation x = - 1 et x = 2
2) 2 ) 3 ( 2 ) 2 )(
1 (
) 3 )(
1 ( 2 2
²
6 8
² ) 2
(
x x x
x x x x
x x x x
f donc
3 ) 4 1 ( ) (
lim1
f x f
x
3) ( 2)²( 1)
) 1
(
x x
x x
f 0 si x 1 et lim( 2)²( 1) 0
1
x x
x donc
( ) lim
1
x f
x
et
( ) lim
1
x f
x
. On en conclut que la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe de f . 4) f(x) xx312 (x1)
xx132
x132 .
320 lim
1
x
x
et
320 lim
1
x
x
d’où :
( ) lim
1 f x
x et
( ) lim
1 f x
x .
On en conclut que la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe de f .
5) f x x 1x
cos )
( . On encadre : x f(x)x et par le théorème des gendarmes 0
) ( lim
0
f x
x
6) 0
0 sin sin ) sin
(
x
x x
x x
f et par définition du nombre dérivé de la fonction sin x en 0
on a lim ( ) cos0 1
0
f x
x
7)
0 0 cos cos
0 cos 0 cos cos
) 1
( x
x x
x x
x x
f et par définition du nombre dérivé
de la fonction cos x en 0 on a lim ( ) ( sin0) 0
0
f x
x
8) x
x x x
x x
f
1 cos 1 cos )
( et par la question 7) lim ( ) 0
0
f x
x .
Exercice 8
1) Non + = 2) Non = 3) Oui /
4) Non +=
5) Non
1
1 ) 1
( 3
3
x x
x x x f
6) Non 11
