F9 – Fonctions de référence (exercice corrigé)
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1 FONCTIONS DE REFERENCE
L’objectif de cet exercice est d'étudier la fonction 𝑓 définie sur ] − 5 ; +∞ [ par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 9𝑥 − 6
𝑥 + 5
On appelle 𝐶 sa courbe représentative.
1. Déterminer les points d’intersection de 𝐶 avec chacun des axes de coordonnées.
2. On considère la fonction 𝑔 définie sur ] − 5 ; +∞ [ par : 𝑔(𝑥) = − 1
𝑥 + 5
Etudier les variations de 𝑔 en justifiant soigneusement.
3. Montrer que pour tout 𝑥 ∈ ] − 5 ; +∞ [ ∶ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 − 1
𝑥 + 5
4. Déduire des questions 2 et 3 les variations de 𝑓 sur ] − 5 ; +∞ [ .
5. La droite 𝐷 est équation 𝑦 = 2𝑥 − 1. Étudier les positions relatives de 𝐷 et 𝐶 sur ] − 5 ; +∞ [ .
Corrigé
1. Avec l'axe des ordonnées d'équation 𝑥 = 0 On résout :
∀ 𝑥 ∈ ] − 5 ; +∞ [ {𝑦 =2𝑥² + 9𝑥 − 6
𝑥 + 5 𝑥 = 0
⇔ {𝑦 =2 × 0² + 9 × 0 − 6 0 + 5 𝑥 = 0
⇔ {𝑦 =
−6 𝑥 = 05 Le point d’intersection de 𝐶 avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (𝟎;𝟔
𝟓).
Avec l'axe des abscisses d'équation 𝑦 = 0 On résout :
∀ 𝑥 ∈ ] − 5 ; +∞ [ {𝑦 =
2𝑥² + 9𝑥 − 6 𝑥 + 5 𝑦 = 0
⇔ {2𝑥² + 9𝑥 − 6 𝑥 + 5 = 0
𝑥 = 0 Résolution de 2𝑥2+ 9𝑥 − 6 = 0
∆ = 129 > 0 donc l'équation admet deux solutions distinctes 𝑥1=−9 − √129
4 ≈ −5,08 et 𝑥2=−9 + √129
4 ≈ 0,6 Or 𝑥 ∈ ] − 5 ; +∞ [ donc on ne retient que 𝑥2 ≈ 0,6
Le point d’intersection de 𝐶 avec l'axe des abscisses a pour coordonnées (−𝟗+√𝟏𝟐𝟗
𝟒 ; 𝟎)
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2
2.
𝑔(𝑥) = − 1 𝑥 + 5 𝐷𝑔 = ] − 5 ; +∞ [ Soit :
−5 < 𝑎 < 𝑏
⇔ 0 < 𝑎 + 5 < 𝑏 + 5
⇔ 0 > 1
𝑎 + 5> 1 𝑎 + 5
⇔ 0 < − 1
𝑎 + 5< − 1 𝑎 + 5
⇔ 0 < 𝑔(𝑎) < 𝑔(𝑏)
Sur ] − 5 ; +∞ [ , 𝑔(𝑥) est strictement 𝐜𝐫𝐨𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭𝐞.
3.
2𝑥 − 1 − 1 𝑥 + 5
⇔(2𝑥 − 1)(𝑥 + 5)
𝑥 + 5 − 1
𝑥 + 5 ⇔2𝑥2+ 10𝑥 − 𝑥 − 5 − 1
𝑥 + 5 ⇔2𝑥² + 9𝑥 − 6
𝑥 + 5 = 𝒇(𝒙)
4. ∀ 𝑥 ∈ ] − 5 ; +∞ [ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 − 1
𝑥 + 5 ⇔ 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1) + 𝑔(𝑥) Déterminons les variations de la fonction 𝑥 ⟼ 2𝑥 − 1
La fonction 𝑥 ⟼ 2𝑥 − 1 est une fonction affine. Le coefficient directeur 2 est positif donc sur ] − 5 ; +∞ [. La fonction 𝑥 ⟼ 2𝑥 − 1 est strictement croissante.
De plus, on a démontré à la question 2 que sur] − 5 ; +∞ [ , 𝑔(𝑥) strictement croissante.
Or si 𝒖 et 𝒗 sont croissantes sur I, alors leur somme 𝒖 + 𝒗 est croissante sur I.
Donc on peut conclure que 𝒇(𝒙) est strictement croissante sur ] − 𝟓 ; +∞ [.
5. ∀ 𝑥 ∈ ] − 5 ; +∞ [ 𝑓(𝑥) − 𝑦 = 2𝑥 − 1 − 1
𝑥 + 5− (2𝑥 − 1) = − 1 𝑥 + 5 𝑥 −5 +∞
−1 −
𝑥 + 5 +
𝑓(𝑥) − 𝑦 −
Sur ] − 5 ; +∞ [ , 𝑓(𝑥) − 𝑦 < 0 ⇔ 𝑓(𝑥) < 𝑦 Donc 𝑪 est en dessous de 𝑫.
