Généralités sur les fonctions. Fonctions de référence

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Les savoir-faire Notion de fonction Courbe représentative d’une fonction

Fonction paire et fonction impaire Les fonctions de référence Signe d’une fonction

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Fonctions de référence

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Les savoir-faire

Notion de fonction Courbe représentative d’une fonction

Fonction paire et fonction impaire Les fonctions de référence Signe d’une fonction

Les savoir-faire

020. Exploiter l’équation y = f(x) d’une courbe.

021. Résoudre graphiquement une équation.

022. Résoudre graphiquement une inéquation.

023. Dresser un tableau de signes à partir d’un graphique.

024. Connaître et utiliser les fonctions de référence.

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Définition

Fonction et ensemble de définition Soit D un ensemble de nombres réels.

Définir une fonction f sur D revient à associer à chaque réel x de D un réel et un seul, appelé image de x.

D est l’ensemble de définition de la fonction : c’est l’ensemble

des nombres pour lesquels il existe une image par la fonction.

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Fonction paire et fonction impaire Les fonctions de référence Signe d’une fonction

Définition

Fonction et ensemble de définition Soit D un ensemble de nombres réels.

Définir une fonction f sur D revient à associer à chaque réel x de D un réel et un seul, appelé image de x.

D est l’ensemble de définition de la fonction : c’est l’ensemble des nombres pour lesquels il existe une image par la fonction.

Expression algébrique d’une fonction

Soit f une fonction, D son ensemble de définition et x ∈ D.

L’expression algébrique d’une fonction donne directement

f (x) en fonction de la variable x.

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Définition

Fonction et ensemble de définition Soit D un ensemble de nombres réels.

Définir une fonction f sur D revient à associer à chaque réel x de D un réel et un seul, appelé image de x.

D est l’ensemble de définition de la fonction : c’est l’ensemble des nombres pour lesquels il existe une image par la fonction.

Expression algébrique d’une fonction

Soit f une fonction, D son ensemble de définition et x ∈ D.

L’expression algébrique d’une fonction donne directement f (x) en fonction de la variable x.

Exemple :

La fonction g est définie sur R par g(x) = x ² + 6x.

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Exemples

Exemple : image d’un nombre

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x

+ 3.

Calculer l’image de 5 par la fonction f. Vidéo

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Exemples

Exemple : image d’un nombre

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x

+ 3.

Calculer l’image de 5 par la fonction f. Vidéo

Exemple : Antécédent d’un nombre

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x

+ 1.

Trouver un antécédent de 10 par la fonction f. Vidéo

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Courbe représentative

Définition : courbe représentative

Soient f une fonction, D son ensemble de définition et x appartenant à D.

La représentation graphique (ou courbe représentative, notée

C _f ) de la fonction f est

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Courbe représentative

Définition : courbe représentative

Soient f une fonction, D son ensemble de définition et x appartenant à D.

La représentation graphique (ou courbe représentative, notée

C _f ) de la fonction f est l’ensemble des points de coordonnées

(x ; f (x)).

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Courbe représentative

Définition : courbe représentative

Soient f une fonction, D son ensemble de définition et x appartenant à D.

La représentation graphique (ou courbe représentative, notée C _f ) de la fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).

− 1 1 2 3

−4

−2 2 0 C

x

y = f(x) M (x ; y)

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Courbe représentative

Définition : courbe représentative

Soient f une fonction, D son ensemble de définition et x appartenant à D.

La représentation graphique (ou courbe représentative, notée C _f ) de la fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).

− 1 1 2 3

−4

−2 2 0 C

x

y = f(x) M (x ; y)

M ¹ (x ; y ¹ )

y

> f (x)

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Courbe représentative

Définition : courbe représentative

Soient f une fonction, D son ensemble de définition et x appartenant à D.

La représentation graphique (ou courbe représentative, notée C _f ) de la fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).

− 1 1 2 3

−4

−2 2 0 C

x

y = f(x) M (x ; y)

M ¹ (x ; y ¹ ) y

> f (x)

M ² (x ; y ² )

y

< f (x)

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Fonction paire et fonction impaire

Les fonctions de référence Signe d’une fonction

Intervalles symétriques par rapport à 0

Définition : ensemble symétrique par rapport à 0

Un ensemble de R est dit symétrique par rapport à 0 si,

pour tout nombre de l’ensemble, son opposé appartient à

l’ensemble.

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Intervalles symétriques par rapport à 0

Définition : ensemble symétrique par rapport à 0

Un ensemble de R est dit symétrique par rapport à 0 si, pour tout nombre de l’ensemble, son opposé appartient à l’ensemble.

Exemples :

L’intervalle [ − 5 ; 5] est symétrique par rapport à 0.

L’intervalle [ − 4 ; 3] n’est pas symétrique par rapport à 0.

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Fonction paire

Définition : fonction paire

Une fonction f , définie sur un ensemble de définition D sy-

métrique par rapport à 0, est dite paire si, pour tout réel x

de D, on a f ( − x) = f (x).

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Fonction paire

Définition : fonction paire

Une fonction f , définie sur un ensemble de définition D sy- métrique par rapport à 0, est dite paire si, pour tout réel x de D, on a f ( − x) = f (x).

Propriété : symétrie de la courbe

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique

par rapport à l’axe des ordonnées.

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Fonction paire

Définition : fonction paire

Une fonction f , définie sur un ensemble de définition D sy- métrique par rapport à 0, est dite paire si, pour tout réel x de D, on a f ( − x) = f (x).

Propriété : symétrie de la courbe

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

0 x

f(−x) = f (x)

−x

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Fonction paire et fonction impaire

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Fonction impaire

Définition : fonction impaire

Une fonction f , définie sur un ensemble de définition D sy-

métrique par rapport à 0, est dite impaire si, pour tout réel

x de D, on a f ( − x) = − f (x).

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Fonction impaire

Définition : fonction impaire

Une fonction f , définie sur un ensemble de définition D sy- métrique par rapport à 0, est dite impaire si, pour tout réel x de D, on a f ( − x) = − f (x).

Propriété : symétrie de la courbe

La courbe représentative d’une fonction impaire est symé-

trique par rapport à l’origine du repère.

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Fonction impaire

Définition : fonction impaire

Une fonction f , définie sur un ensemble de définition D sy- métrique par rapport à 0, est dite impaire si, pour tout réel x de D, on a f ( − x) = − f (x).

Propriété : symétrie de la courbe

La courbe représentative d’une fonction impaire est symé- trique par rapport à l’origine du repère.

0

x f (−x)

f(x)

−x

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Fonctions affines

Voir les fiches méthodes consacrées à ces fonctions.

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La fonction carré

Définition : fonction carré

On appelle fonction carré, la fonction qui à un nombre réel associe son carré. En d’autres termes, la fonction carré est la fonction f définie sur R par :

f (x) =

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La fonction carré

Définition : fonction carré

On appelle fonction carré, la fonction qui à un nombre réel associe son carré. En d’autres termes, la fonction carré est la fonction f définie sur R par :

f (x) = x ²

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La fonction carré

Définition : fonction carré

On appelle fonction carré, la fonction qui à un nombre réel associe son carré. En d’autres termes, la fonction carré est la fonction f définie sur R par :

f (x) = x ² La courbe représentative de la fonction carré est une para- bole ; son équation est y = x ² . Si le repère est orthogonal, la parabole représentant la fonc- tion carré admet l’axe des or- données comme axe de symé- trie. La fonction carré est paire.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2

− 1

− 2 0

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La fonction racine carrée

Définition : fonction racine carrée

La fonction racine carrée est la fonction f définie sur par :

f (x) =

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La fonction racine carrée

Définition : fonction racine carrée

La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [ par :

f (x) = √

x

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La fonction racine carrée

Définition : fonction racine carrée

La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [ par :

f (x) = √ x

0 I

J

y = √

x

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La fonction inverse

Définition : fonction inverse

On appelle fonction inverse, la fonction qui à un nombre réel associe son inverse. En d’autres termes, la fonction inverse est la fonction f définie sur par :

f (x) =

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La fonction inverse

Définition : fonction inverse

On appelle fonction inverse, la fonction qui à un nombre réel associe son inverse. En d’autres termes, la fonction inverse est la fonction f définie sur R ^∗ par :

f (x) =

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La fonction inverse

Définition : fonction inverse

On appelle fonction inverse, la fonction qui à un nombre réel associe son inverse. En d’autres termes, la fonction inverse est la fonction f définie sur R ^∗ par :

f (x) = 1 x La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole ; son équation est y = 1

x .

Si le repère est orthogo- nal, l’hyperbole représentant la fonction inverse admet l’origine comme centre de symétrie.

La fonction inverse est impaire.

− 1

− 2

− 3 1 2 3

1 2

− 1

− 2 0

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La fonction cube

Définition : fonction cube

On appelle fonction cube, la fonction qui à un nombre réel associe son cube. En d’autres termes, la fonction cube est la fonction f définie sur par :

f (x) =

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La fonction cube

Définition : fonction cube

On appelle fonction cube, la fonction qui à un nombre réel associe son cube. En d’autres termes, la fonction cube est la fonction f définie sur R par :

f (x) =

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La fonction cube

Définition : fonction cube

On appelle fonction cube, la fonction qui à un nombre réel associe son cube. En d’autres termes, la fonction cube est la fonction f définie sur R par :

f (x) = x ³ La courbe représentative de la fonction cube a pour équation y = x ³ .

Si le repère est orthogonal, la courbe représentant la fonction cube admet l’origine comme centre de symétrie.

La fonction cube est impaire.

− 1

− 2

− 3 1 2 3

− 1 0 1

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Définition

Définition : signe d’une fonction

On dit qu’une fonction f est positive (resp négative) sur un ensemble D si, pour tout réel x ∈ D, on a f (x) > 0 (resp f (x) 6 0).

Etudier le signe d’une fonction consiste à déterminer les va-

leurs de x sur lesquelles f (x) est strictement positif, stricte-

ment négatif ou nul.

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Tableau de signe

Exemple :

− 1

− 2 1 2 3

1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3 0

f (x) = 0 f(x) > 0

f (x) < 0 f(x) < 0

+

+

+

+

-

-

-

-

x

Signe de f (x)

−∞ − 2 3 + ∞

− 0 + 0 −

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Exemple

Exemple

Lire graphiquement le signe de la fonction f définie sur [−6 ; 7].

−1

−2

−3 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

0

C

Vidéo