Généralités sur les fonctions

Classe de première S

GENERALITES SUR LES FONCTIONS I Rappels :

1) Définition : Soit D et A deux partie de , on appelle fonction de l’ensemble D dans l’ensemble A toute application qui à tout élément x de D associe un unique élément de A tel que : y= f x( ).

x est appelé antécédent de y, y est l’image de x par f.

L’ensemble D est le domaine de définition de f, c’est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

Exemple : ( )f x = x f x existe si x( ) ≥0, donc D_f =[0;+∞[.

2) Courbe représentative :Le plan P est rapporté à un repère ( ; ; )O i j .

On appelle courbe représentative d’une fonction f sur un intervalle I, notée C_f , l’ensemble des points M x y( ; )tels que pour x∈I: ( )y= f x .

x est appelé abscisse du point M y est appelé ordonnée du point M 3) Egalité de deux fonctions :

Soit f et g deux fonctions d’ensemble de définition respectifs D_f et D_g. F et g sont égale si on a : D_f =D_g et ( )f x =g x( ).

Exemple : f x( )=x²- 4x+2 et g t( )= −(t 2)²−2.

4) Parité - Périodicité : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C_f sa courbe dans un repère.

a) f est une fonction paire si et seulement si : I, - I et (- ) ( )

x∈ x∈ f x = f x

Sa courbe C_f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

b) f est une fonction impaire si et seulement si : I, - I et ( ) ( )

x∈ x∈ f − = −x f x

Sa courbe C_f dans ce cas est symétrique par rapport à l’origine du repère.

c) La fonction f est dite périodique de période T, où T est un nombre réel si et seulement si : x∈I x T, + ∈I et f x T( + )= f x( )

La courbe C_f est invariante par la translation de vecteur : T i Exemple :

Autres exemple : les fonctions sinus et cosinus sont périodique de période 2π

Classe de première S

Exemples : Les fonctions x² ; x ; cos( )x sont paires Les fonctions : x³ ; ; sin( )x x sont impaires.

II. Sens De variation d’une fonction 1) Fonction croissante, décroissante

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et b deux réels de I.

On dit que f est croissante sur I si : pour a≤b on a f a, ( )≤ f b)( . f est dite décroissante sur I si : poura≤b on a f a, ( )≥ f b( ).

) )

F est dite strictement croissante (respectivement strictement décroissante) si on a a≤b on a f a, ( )≺ f b( respectivement : a≤b on a f a, ( ) f b(

Une fonction f est dite monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.

2) Etude des variations : méthode élémentaires

a) Lecture graphique : si on dispose de la courbe de la fonction f on peut lire directement les variations sur le graphe.

b) Méthode de comparaison : on utilise les relations d’ordre

( ) 1 1 s u r l'in te rv a lle ]0 ; [ f x

= −x + ∞

Exemple :

Soit deux réels a et b de IR^*+ tel que 0≺a≤b ^{1 1 1 1} 1 ^{1 1} f a( ) f b( ) a ≥ ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔b a b a b ≤ Donc f est croissante sur ]0;+∞[.

c) Etude de signe de la différence :

Variation de ( )f x x 1 ; sur l'intervalle ]0; [

= + x +∞ Soit deux réels a et b de IR^*+ tel que 0≺a≤b Exemple :

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 1 1

( ) ( ) 1

1

b a ab

f a f b a b a b a b a b a b

a b a b ab ab ab

a b ab ab

− ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞

− = + − − = − + − = − + = − ⎜⎝ − ⎟⎠= − ⎜⎝ ⎟⎠

= − −

comme alors 0 , 0.Donc 0.

Le signe de ( ) ( ) dépend donc de celui de 1, donc de la position de et par rapport à 1.

Si 1 et 1 alors 1 et donc ( ) ( ) 0.Ainsi ( ) ( ) a b a b ab a b

ab

f a f b ab a b

a b ab f a f b f a f b

≤ − ≤ − ≤

− −

≥ ≥ ≥ − ≤ ≤ et est croissante.

Si 1 et 1 alors 1 et donc ( ) ( ) 0.Ainsi ( ) ( ) et est décroissante.

Conclusion; est croissante sur ]0;1] et décroissante sur [1;+ [.

f

a b ab f a f b f a f b f

f

≤ ≤ ≤ − ≥ ≥

∞ 3) Extremums : maximum, minimum

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I.

Si f x( )₀ est la plus grande valeur de f sur I :f x( )≤ f x( )₀ pour tout x de I.On dit que f admet un maximum en x0.

Si f x( )₀ est la plus petite valeur de f sur I :f x( )≤ f x( )₀ pour tout x de I.On dit que f admet un minimum en x₀.

Classe de première S II. Opération sur les fonctions

1) Opérations algébriques

Soit f et g deux fonctions numériques définies respectivement sur I et J, k un nombre réel.

Opération Notation Définition Enesemble de définition

Somme de la fonction f et du réel k ( )( ) ( ) I

Produit de la fonction f par le réel k ( )( ) ( ) I

Somme des fonctions f et g ( )( ) (

f k f k x f x k

k f kf x k f x

f g f g x f

+ + = +

× = ×

+ + = ) ( )

Produit des fonctions f et g ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

Fonction inverse de la fonction f ( ) ( ) 0

( )

Quotient de la fonction f par g ( ) ( ) ( ) 0

( ) Différence

x g x I J

f g fg x f x g x I J

x I et f x

f f f x

f f f x

x I J et g x

g g g x

+ ∩

× = × ∩

⎛ ⎞ = ≠

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ = ∩

⎜ ⎟⎝ ⎠ ≠

des fonctions f et g f -g ( - )( )f g x = f x( ) - ( )g x I∩J 2) Théorème : sens de variation

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et k un réel donné.

• Les fonctions f et f +k possèdent le même sens de variation.

• Les fonctions f et f ×k possèdent le même sens de variation sur I si k est positif.

• Les fonctions f et f ×k possèdent des sens de variation contraire sur I si k est négatif

• La fonction f +g est croissante sur I si f et g sont toute les deux croissantes sur I.

• La fonction f +g est décroissante sur I si f et g sont toute les deux décroissantes sur I.

• La fonction f² varie comme la fonction f si f est positive et en sens contraire si f est négative.

• Si f garde le même signe sur I et f x( )≠0, alors 1

f et f varient en sens contraire sur I.

Démonstration :

Soit a et b deux réels de I avec . supposons que f est croissante sur I: ( ) ( ) 0

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

est croissante, ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) donc la fonction

a b f a f b

f k a f k b f a k f b k f a f b

Comme f f a f b f k a f k b

f

≤ − ≤

• + − + = + − − = −

≤ ⇒ + ≤ +

[ ]

[ ]

[ ]

est croissante.

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

Si 0 alors ( ) ( ) 0, donc la fonction est croissante.

Si 0 alors ( ) ( ) 0, donc la fonction est décroissante.

( )( ) ( )( ) ( )

k

k f a k f b k f a f b

k k f a f b k f

k k f a f b k f

f g a f g b f a

+

• × − × = −

≥ − ≤ ×

≤ − ≥ ×

• + − + =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Si f et g sont croissantes sur I, alors on a: ( ) ( ) 0 et ( ) ( ) 0 d'où ( ) ( ) ( ) ( ) 0 donc la fonction est croissante sur I.

Si f et g sont toutes le

g a f b g b f a f b g a g b

f a f b g a g b

f a f b g a g b f g

+ − −

= − + −

− ≤ − ≤

− + − ≤ +

( ) ( )

( )( )

2 2

s deux décroissantes, alors ( ) ( ) 0 et ( ) ( ) 0 d'où ( ) ( ) ( ) ( ) 0 donc la fonction est décroissante sur I.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Si est positive sur I, alors ( ) ( ) 0,

f a f b g a g b

f a f b g a g b f g

f a f b f a f b f a f b

f f a f b

− ≥ − ≥

− + − ≥ +

• − = − +

+ ≥ ^{2 2}

2

donc ( ) ( ) est du meme signe que ( ) ( ).

Donc et possèdent les memes variations sur I.

f a f b f a f b

f f

− −

Classe de première S

( )

Soit la fonction 1 avec ( ) 0 sur I.

1 1 ( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Si garde le meme signe sur I, alors ( ) ( ) est positif sur I, ainsi on a ( ) ( ) est du signe

h f x

f

f b f a

h a h b f a f b

f a f b f a f b f a f b

f f a f b

h a h b

• = ≠

− −

− = − = = × −

− contraire de ( )f a − f b( ). Donc et varient en sens contraire sur I.h f 3) a) Composée de fonctions :

Soit une fonction définie sur I et une fonctions définie sur J tel que pour tout on a ( ) . On appelle composée de g suivie de , notée (on lit " "), la fonction définie par:

( )

f g x

f f g f rond g

f g x

∈J g x ∈I

( )

2

2

2 2

2

( ( )).

( ) ( ( ))

1 1

Exemple: ( ) ; ( ) . ( ) ( ( ))

4 ( ) 4

Soit ( ) 1 .

4

1 1

( ) ( ( ) ( ) .

4 ( 4)

On remarque que ( ) ( ).

g f

f g x

x g x f g x

f x g x x f g x f g x

x g x

f g x x

g f x g f x f x

x x

f g x g f x

=

⎯⎯→ ⎯⎯→

= = = =

− −

= −

⎛ ⎞

= = =⎜⎝ − ⎟⎠ = −

≠

b) Théorème sur les variations de : f g

Si et ont le meme sens de variation sur I, alors est croissante sur I.

Si et ont des variations contraire sur I, alors est décroissante sur I.

f g f g

f g f g

Démonstration :

Soit une fonction définie sur I et une fonctions définie sur J tel que pour tout on a ( ) . Soit et deux réels de J tels que ( ) et ( ) avec

Posons ( ) ( ). on a : ( ) ( (

f g x

a b g a I g b I a b

h x f g x h a f g

∈ ∈

∈ ∈ ≤

= = )) et ( ) ( ( )).

Supposons que et sont toutes les deux croissantes respectivement sur I et sur J.

comme et g croissante sur J, on a : ( ) ( ) Si on applique la fonction on obtient, puisq

a h b f g b f g

a b g a g b

f

=

•

≤ ≤

ue est croissante: ( ( )) ( ( )) ainsi on a ( ) ( ). La fonction est donc croissante sur I.

Supposons que est croissante sur I et décroissante sur J.

Donc pour , On a ( ) ( ) ( ( ))

f f g a f g b

h a h b h

f g

a b g a g b f g a f

≤

≤

•

≤ ≥ ⇒ ≥ ( ( )) soit ( ) ( ).

La fonction est donc décroissante sur I.

g b h a h b

h

≥

J g x I