I – Généralités sur les fonctions

(1)

ECG-1 )

Chapitre

Fonctions usuelles

_exercices^{Cours et}

B

Le but de ce chapitre est de consolider et d’approfondir les connaissances acquises au lycée concernant les fonctions d’une variable réelle.

L’accent est volontairement mis sur les aspects pratiques (dérivation, étude de limites, etc.), les considérations plus théoriques seront étudiées plus tard dans l’année.

La partieIIIest le catalogue de fonctions usuelles au programme en ECG-1, pour le parcours « mathématiques appliquées ».

Sommaire

I Généralités sur les fonctions . . . . 1

I.1 Notion de fonction . . . . 1

I.2 Opérations sur les fonctions . . . . 4

I.3 Notion de bijection et de fonction réciproque . . . . 5

II Cas particulier des fonctions réelles d’une variable réelle . . . . 7

II.1 Propriétés éventuelles d’une fonction réelle d’une variable réelle . . . . 7

II.2 Rappels et compléments sur la dérivation . . . 10

II.3 Applications de la dérivation . . . 13

II.4 Continuité sur un intervalle . . . 13

II.5 Cas des fonction continues et strictement monotones sur un intervalle deR . . . 14

III Catalogue de fonctions usuelles . . . . 17

III.1 Fonctions puissances (exposants entiers) . . . 17

III.2 Fonction racine carrée . . . 19

III.3 Fonction valeur absolue . . . 19

III.4 Partie entière . . . 20

III.5 Polynômes et/ou fonctions polynomiales . . . 20

III.6 Fonctions rationnelles . . . 23

III.7 Fonctions exponentielle et logarithme népérien . . . 24

III.8 Fonctions puissances (exposants quelconques) . . . 25

IV Exercices additionnels . . . . 27

I – Généralités sur les fonctions

N-BLes ensembles sur lesquels nous allons travailler seront la plupart du temps des sous-ensembles deRmais la présentation est faite dans un contexte plus général.

I.1 – Notion de fonction I.1.1 – Définition (intuitive)

Soit E et F deux ensembles. Une fonction (ou application) f de E dans F est un moyen d’associerà chaque élémentxde E ununique élémentde F appelé sonimageparf et qui est notéf(x).

On dit que E est l’ensemble de départdef (ou sonensemble de définition) et que F est sonensemble d’arrivée.

(2)

Remarques

1I Très souvent, une fonction est définie à l’aide d’une formule permettant d’exprimer f(x)en fonctiondex. Par exemple, la fonctionf qui à tout réelxassocie le réelx³+1 est notée :

f : R −→ R x 7−→ x³+1

2I La donnée des ensembles de départ et d’arrivée, fait partie de la définition d’une fonction. Par exemple, les fonctions :

f : R −→ R x 7−→ x²

et g: R+ −→ R x 7−→ x² sont différentes car elles n’ont pas le même ensemble de départ.

3I ^Si^f est une fonction de E dans F et que A est une partie (ou sous-ensemble) de E, on appelle restriction def à A la fonction :

f|A: A −→ F x 7−→ f(x) La fonctionf

|A fait bien sûr « la même chose » quef. Elle n’a simplement pas le même ensemble de départ.

Cela a de l’importance car une fonction et ses restrictions peuvent avoir des propriétés globales différentes.

Dans ce qui précèdef n’est pas une fonction croissante surR, maisg=f

|R+ est une fonction croissante surR+. 4I Il est fondamental de comprendre la différence entref etf(x). La notationf(x) désigne l’élément de F résultant

de l’applicationdef àx. Alors que la notationf désigne la fonction elle même.

Une image amusante qui permet de bien fixer les idées est la suivante : sif désigne un hachoir à viande etx un morceau de viande alorsf(x) est un tas de viande hachée.Confondriez-vous un hachoir à viande et un tas de viande hachée ? ;-)

5I Il est fréquent que l’ensemble de départ ne soit pas donné lors d’un exercice et que la première question consiste à le déterminer (dans ce cas on cherche le plus grand possible).

6I L’ensemble des fonctions de E dans F est notéF(E, F) ou F^E. I.1.2 – Définition (Graphe d’une fonction)

À toute fonctionf : E→F est associée songraphe, qui est un sous-ensemble de E×F : Cf =n

¡x,f(x)¢ ,x∈Eo

Remarque –Dans le cas où E et F sont des intervalles deR, il est possible de dessiner le graphe def (on parle aussi de courbe représentative) en munissant le plan d’un repère orthonormal³

O,→−e1,−→e2

´ . Exemple –Les graphes des fonctionsf : R −→ R

x 7−→ x²

etg: R+ −→ R x 7−→ x²

sont par exemples les suivants :

-6 -6 -6-6

-6 -4-4-4-4-4 -2-2-2-2-2 22222 44444 66666

-2 -2-2 -2 -2 2 2222 4 4444 6 6666 8 8888 10 10101010 12 12121212 14 14141414 16 16161616

0 0000

y=f(x)

-6

-6-6-6-6 -4-4-4-4-4 -2-2-2-2-2 22222 44444 66666

-2 -2 -2 -2 -2 2 2222 4 4444 6 6666 8 8888 10 10101010 12 12121212 14 14141414 16 16161616

0 0000

y=g(x)

(3)

Classe préparatoire ECG-1

)

– Mathématiques appliquées 3

I.1.3 – Définition (Image et antécédent(s)) Soitf : E→F une fonction.

(i) Pour toutx∈E, l’élémentf(x) est appelél’imagedexparf.

(ii) Pour touty∈F, tout élémentxde E vérifianty=f(x) est appeléun antécédentdeyparf. Remarques

1I Par définition d’une fonction, un élémentxde E a toujours une unique image.

2I En revanche un élémentyde F peut avoir plusieurs antécédents. Précisément, pour touty∈F, l’ensemble des antécédents deyparf sont les solutions dans E de l’équationf(x)=y(d’inconnuex).

3I Un élément de F peut aussi n’avoir aucun antécédent.

B1

I.1.4 – Définition (Image et « tiré en arrière » d’une partie) Soitf : E→F une fonction.

(i) Si A est une partie de E on appelleimagede A parf l’ensemble des images de tous les éléments de A : f(A) ^déf= ©

f(x),x∈Aª

=©

y∈F,∃x∈A,y=f(x)ª

(ii) Si B est une partie de F on appelletiré en arrièrede B parf l’ensemble des antécédents des éléments de B. Autrement dit, c’est l’ensemble des éléments de E dont l’image est dans B :

f^←(B) ^déf= ©

x∈E, f(x)∈Bª o _ATTENTION

La notation officielle pourf^←(B) estf⁻¹(B) et le vocabulaire n’est pas « tiré en arrière de B parf » mais « image réciproque de B par f ». La notation et le vocabulaire officiel est, d’expérience, une source de confusions et d’erreursabsolument désastreuses. L’exposant−1 peut en effet laisser croire quef est bijective et que l’on utilise sa réciproque f⁻¹(voir ci- après). Or, ce n’est pas du tout le cas : nul besoin que la fonctionf soit bijective pour définirf⁻¹(B).

Soitf :©

1, 2, 3, 4, 5, 6ª

→©

a,b,c,d,eª

représentée par le schéma ci-après.

On pose A=©

1, 2, 3, 4ª

et B=© a,b,dª

. Déterminonsf(A) etf^←(B) :

B2

a

f

b c d e 1

2

3

4

5

6

(4)

Remarques

1I L’ensemble de toutes les valeurs possibles def, c’est à diref(E) est parfois appelée image def et est notée Im(f).

On a bien sûr Im(f)⊂F, mais il se peut que certains éléments de F ne soit pas dans Im(f) (ils ne sont pasatteints par la fonction).

2I ^Ainsi,^f^←(B) est l’ensemble des antécédents de tous les éléments de B. En particulier, pour touty∈F, l’ensemble f^←¡©

yª¢

est exactement l’ensemble des antécédents de l’élémenty.

3I En probabilité, si on a une variable aléatoire réelle X :Ω−→Ret un ensemble A⊂Ralors l’événement£ X∈A¤

est par définition X^←(A)=©

ω∈Ω, X(ω)∈Aª

. Avec la notation officielle :£ X∈A¤

=X⁻¹(A)=©

ω∈Ω, X(ω)∈Aª . I.2 – Opérations sur les fonctions

I.2.1 – Définition (Opérations algébriques)

Si F est muni d’une opération?, l’ensembleF(E, F) est naturellement muni d’une opération associée que l’on note (abusivement !) de la même manière :

f?g: E −→ F

x 7−→ f(x)?g(x)

Remarques

1I Autrement dit, pour toutx∈E on a : (f ?g)(x) ^déf= f(x)?g(x).

2I Dans le cas particulier où F est une partie deR, l’ensembleF(E, F)=F^E est donc muni d’une addition, d’une soustraction et d’une multiplication. Pour la division de deux fonctions, il y a bien sûr une condition : que la fonction, située au dénominateur ne soit jamais nulle.

I.2.2 – Définition (Composition)

Soitu: E→F et f : F→G. On appellecomposéedeuetf la fonctionf ◦udéfinie sur E par :

∀x∈E, f ◦u(x) ^déf= f¡ u(x)¢

Remarques

1I On peut représenter la composition à l’aide du schéma suivant : B3

2I ^{Pour que}^f ◦usoit bien définie, il est essentiel que l’ensemble de départ def contienne l’ensemble d’arrivée de u(dans la définition adoptée ici ces ensembles sont même égaux).

3I Il arrive assez souvent, en exercice, qu’une fonction soit donnée comme une composéeg=f ◦usans que son ensemble de définition soit précisé. Pour déterminer celui-ci on peut écrire :

g(x)=f¡ u(x)¢

est bien défini⇐⇒











xest dans l’ensemble de définition deu ET

u(x) est dans l’ensemble de définition def

Ò Exercice B1

Déterminer l’ensemble de définition de la fonctiongdéfinie par : g(x)=

r ln³ 2

1+x

´

(5)

)

– Mathématiques appliquées 5 I.3 – Notion de bijection et de fonction réciproque

I.3.1 – Définition (Fonction bijective)

Soit f : X→Y une fonction. On dit qu’elle estbijectiveou que c’est unebijectionsi tout élément de Y possède un unique antécédentparf c’est-à-dire :

∀y∈Y,∃!x∈X, f(x)=y Exemples

1I Soit f : R −→ R x 7−→ x²

dont la représentation graphiques est donnée ci-contre.

Est-elle bijective ? Pourquoi ? B4

-6

-6-6-6-6 -4-4-4-4-4 -2-2-2-2-2 22222 44444 66666

-2 -2 -2-2 -2 2 2222 4 4444 6 6666 8 8888 10 10101010 12 12121212 14 14141414 16 16161616

0 0000

y=f(x)

2I Soitg: R+ −→ R+

x 7−→ x²

dont la représentation graphiques est donnée ci-après.

-6 -6-6 -6

-6 -4-4-4-4-4 -2-2-2-2-2 22222 44444 66666

-2 -2 -2-2 -2 2 22 2 2 4 444 4 6 666 6 8 888 8 10 10101010 12 12121212 14 14141414 16 16161616

0 00 0 0

y=g(x)

3I ^Soit^u^:^©^a,^b,c,^d^ª→©

1, 2, 3, 4, 5ª

1 2 3 4 5 a

u

b

c

d

(6)

4I ^Soit^v^:^©^a^,b,^c,^d,^e^ª→©

1, 2, 3, 4ª

a v

b c d e

1 2 3 4

5I Soitw:©

a,b,c,dª

→©

1, 2, 3, 4ª

a w

1 2 3 4 b

c d

I.3.2 – Définition

Soit X un ensemble. On appellefonction identitéde X l’application : IdX: X −→ X

x 7−→ x

Exemple –Pour X=Rle graphe de Id_Rest la droite d’équationy=x(appelée première bissectrice).

I.3.3 – Définition

Soitf : X→Y une fonctionbijective. On appelleréciproquedef la fonction : f⁻¹: Y −→ X

y 7−→ « l’unique antécédent deyparf »

Exemple –Sif : R+ −→ R+

x 7−→ x²

alors la réciproque est f⁻¹: R+ −→ R+

y 7−→ py

(7)

)

I.3.4 – Proposition (Propriété d’une fonction réciproque)

Soitf : X→Y une bijection etf⁻¹: Y→X sa réciproque. On a alors : f◦f⁻¹=IdY et f⁻¹◦f =IdX

Autrement dit on a :

∀y∈Y, f³

f⁻¹(y)´

=y et ∀x∈x, f⁻¹³ f(x)´

=x

Ò Exercice B2

Démontrer la proposition précédent.

I.3.5 – Théorème (Caractérisation de la bijectivité) Soitf : X→Y.

(i) La fonctionf est bijective si et seulement s’il existeg: Y→X telle que f◦g=IdYetg◦f =IdX. (ii) Dans ce casgest unique et on ag=f⁻¹.

Ò Exercice B3

Démontrer le théorème précédent.

I.3.6 – Proposition (Bijectivité d’une réciproque)

Sif est une bijection alors f⁻¹l’est aussi et sa réciproque est :

³ f⁻¹´₋1

=f

II – Cas particulier des fonctions réelles d’une variable réelle

II.1 – Propriétés éventuelles d’une fonction réelle d’une variable réelle II.1.1 – Définition (Parité)

Soit A une partie deRsupposéesymétrique par rapport à0, c’est à dire :

∀x∈A,−x∈A (i) On dit quef : A→Restpairesi :

∀x∈A, f(−x)=f(x) (ii) On dit quef estimpairesi :

∀x∈A, f(−x)= −f(x) Remarques

1I ^Si^f est une fonction paire, alors l’axe (Oy) est axe de symétrie du graphe de f.

2I ^Si^f est une fonction impaire, alors le centre du repère O un centre de symétrie du graphe def. 3I Une fonction peut n’être ni paire, ni impaire. Exemple :

B9

4I ^Si^f est une fonction impaire définie en 0 alors on a obligatoirementf(0)=0. En effet : B10

(8)

Ò Exercice B4

Démontrer que toute fonctionf :R→Rpeut s’écrire de manière uniquef =g+havecgpaire ethimpaire.

Indication –On pourra procéder par analyse et synthèse.

II.1.2 – Définition (Monotonie) Soit A⊂Retf : A→R.

(i) On dit quef estcroissante(on précise parfoisau sens large) si :

∀(x,y)∈A², x6^y=⇒f(x)6^f^(y) (ii) On dit quef eststrictement croissantesi :

∀(x,y)∈A², x<y=⇒f(x)<f(y)

(iii) On définit de même les notions de fonctionsdécroissantesetstrictement décroissantes.

(iv) On dit qu’un fonction estmonotone(resp.strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).

Remarques

1I La somme de deux fonctions croissantes est croissantes.

2I En général, le produit de deux fonctions croissantes n’est pas une fonction croissante (c’est vrai pour des fonctions positives).

Ò Exercice B5 (Composée de deux fonctions croissantes)

Si f : A→B etg: B→C sont deux fonctions croissantes (A, B et C étant des parties deR), démontrer que la fonction composéeg◦f : A→C est également croissante.

Remarque –Plus généralement la composée de deux fonctions (strictement) monotones de même sens de variation est une fonction (strictement) croissante. De manière analogue la composée de deux fonctions (strictement) monotones de sens de variation opposé est une fonction (strictement) décroissante.

II.1.3 – Définition (Fonction minorée, majorée, bornée) Soit A⊂Retf : A→R.

(i) On dit quef estmajoréesur A s’il existe M∈Rtel que :

∀x∈A, f(x)6M Un tel réel M est appelé unmajorantdef.

(ii) On dit quef estminoréesur A s’il existem∈Rtel que :

∀x∈A,m6^f^(x) Un tel réelmest appelé unminorantdef.

(iii) On dit quef estbornéesi elle est à la fois minorée et majorée.

Remarque –D’un point de vue géométrique, f est majorée par M signifie queCf reste en dessous de la droite horizontale d’équationy=M. De même,f est minorée parmsignifie que cette courbeCf reste au dessus de la droite horizontale d’équationy=m.

(9)

)

B11

Ò Exercice B6

Soit A une partie deRetf une fonction de A dansR. Démontrer quef est bornée si et seulement si¯

¯f¯

¯est majorée.

II.1.4 – Définition (Maximum, Minimum, Extremum) Soit A⊂R,f : A→Reta∈A.

(i) On dit quef admet unmaximumenasi :

∀x∈A, f(x)6^f^(a⁾ On dit alors quef(a) estle maximumdef sur A et on note :

f(a)=max

x∈A f(x) (ii) On dit quef admet unminimumenasi :

∀x∈A, f(a)6^f^(x) On dit alors quef(a) estle minimumdef sur A et on note :

f(a)=min

x∈A f(x)

(iii) On dit quef admet unextremumenasi elle admet en ce point un maximum ou un minimum.

Remarques

1I L’étude des variations d’une fonction (résumée dans un tableau) peut permettre de repérer d’éventuels extré- mums.

2I Un extremum peut être atteint plusieurs fois.

3I Une fonctionf possède un maximum si et seulement si elle possède un majorant qui est une valeur atteinte par la fonctionf.

4I Une fonction majorée, peut ne pas avoir de maximum. De même une fonction minorée peut ne pas avoir de minimum.

Exemple –Analysons la courbe suivante :

(10)

B12

II.2 – Rappels et compléments sur la dérivation II.2.1 – Définition

Soit I un intervalle deR,aun élément de I etf une fonction définie sur I.

(i) On dit quef estdérivableenasi la fonction suivante : τa: I \ {a} −→ R

x 7−→ f(x)−f(a) x−a

(appelée taux d’accroissement au pointa) possède une limitefinieena.

(ii) Dans ce cas, cette limite finie est appelée nombre dérivé def enaet est notéef⁰(a).

(iii) On dit quef est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. Dans ce cas lafonction dérivéedef est la fonction :

f⁰: I −→ R x 7−→ f⁰(x)

.

Remarque –Nous noteronsD(I,R) l’ensemble des fonctions dérivables sur I (à valeurs dansR).

Exemple –Étudions la dérivabilité de la fonction racine carrée définie surR+. B13

(11)

)

II.2.2 – Interprétation géométrique

Si A et X sont les points de la courbeCf d’abscisse respectivesaetx, on constate queτa(x) est lapentede la droite (AX).

L’existence d’une limite pourτa(x) signifie l’existence d’uneposition limitepour la droite (AX) lorsquextend vers a. Le fait que cette limite soitfiniesignifie que cette position limite n’estpas verticale(en cas de dérivabilité). Cette droite limite (si elle existe), est appeléetangenteà la courbe def au point d’abscissea.

B14

En cas d’existence, la tangente au point d’abscisseaa pour pentef⁰(a) et comme elle passe par le point de coordon- nées¡

a,f(a)¢

elle a pour équation cartésienne :

y = f(a) + f⁰(a)¡ x−a¢

. Démonstration (pour l’équation de la tangente)

B15

Remarques

1I Si on constate l’existence d’unetangente verticaleà la courbe d’une fonction cela implique que cette fonction n’estpasdérivable au point correspondant.

2I À ce stade du chapitre, nous n’avons pas encore revue la notion decontinuité. Mais vous pouvez déjà avoir en tête que :

– intuitivement, une fonction est continue sur unintervallesi sa courbe peut être tracée, «sans lever le crayon» (autrement dit, si elle ne présente pas de « saut ») ;

– la dérivabilité implique la continuitémaisla réciproque est fausse(un des exemples les plus simples est celui de la fonction racine carrée en 0).

(12)

II.2.3 – Proposition (Opérations algébriques sur les fonctions dérivables) Soit (f,g)∈D(I,R)²etλ∈R.

(i) La fonctionλf est dérivable et on a :

¡λf¢₀

=λf⁰ (ii) La fonctionf +gest dérivable et on a :

(f+g)⁰=f⁰+g⁰ (iii) La fonctionf g est dérivable et on a :

(f g)⁰=f⁰g+f g⁰ (iv) La fonction f

g est dérivable et on a :

µf g

¶0

= f⁰g−f g⁰ g²

II.2.4 – Proposition (Dérivation composée)

Soitu∈D(I, J) etf ∈D(J,R). Alors la fonction composéef ◦uest dérivable sur I et on a :

∀x∈I, (f◦u)⁰=u⁰×f⁰◦u

Remarque –La formule de dérivation composée généralise plusieurs résultats du lycée :

¡exp(u)¢₀

=u⁰. exp(u) ¡ ln(u)¢₀

=u⁰ u

¡pu¢₀

= u⁰ 2p u

¡u²¢₀

=2u.u⁰

Ò Exercice B7

Sans se soucier de son ensemble de définition, ni même de son ensemble de dérivabilité (ce qu’il faudraitévidemment faire dans le cadre d’une étude complète) calculer la dérivée de la fonction : f :x7→ln³

x+p

x(1−x)´ .

Ò Exercice B8

Sans se soucier des ensemble de définitions, ni même des ensembles de dérivabilité, (ce qu’il faudraitévidemmentfaire dans le cadre d’études complètes), calculer les dérivées des fonctions données par :

1. f(x)= rx+1

x−1 4. ϕ(x)=p

5x²+ln(x)

2. g(x)=ln¡ 1−e^−x¢

5. ψ(x)=(2−3x)e⁻^x

2 2

II.2.5 – Définition (Dérivées successives)

Sous réserve d’existence, les dérivées successives def : I→Rsont définies par : f⁽⁰⁾=f

f⁽¹⁾=f⁰

f^(k+1)=³ f^(k)´0

pour toutk∈N

Remarque –On note généralementf⁽¹⁾=f⁰,f⁽²⁾=f⁰⁰etf⁽³⁾=f⁰⁰⁰.

(13)

)

Ò Exercice B9

Calculer les dérivées successivesf⁽ⁿ⁾(n∈N^∗) de la fonctionf définie parf(x)=ln(3−2x).

Indication –Calculer les premières dérivées, conjecturer une formule générale, puis la démonter par récurrence.

II.3 – Applications de la dérivation

II.3.1 – Théorème (Caractérisation des fonctions dérivables constantes/monotones) Soitf une fonction dérivable sur un intervalle I.

(i) La fonctionf⁰est nulle si et seulement si f est constante.

(ii) La fonctionf est croissante sur I si et seulement sif⁰est positive ou nulle sur I.

(iii) La fonctionf est décroissante sur I si et seulement sif⁰est négative ou nulle sur I.

(iv) Sif⁰>0 sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points en lesquelsf⁰s’annule, alorsf est strictement croissante sur I.

(v) Si f⁰<0 sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points en lesquels f⁰s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.

Remarques

1I Cette caractérisation des fonctions constantes n’est vrai que sur un intervalle (faux sinon).

2I Il est important de préciser dans(iv)et(v)quef⁰peut s’annuler en un nombre fini de points. L’exemple le plus simple est sans doute la fonctionf définie surRparf(x)=x³. Sa dérivéex7→3x²est strictement positive surR sauf en 0 où elle s’annule. Cette fonctionf est bien strictement croissante surRtout entier.

Méthode B.1 (Plan d’étude d’une fonction)

S’il est demandé de fairel’étude complèted’une fonction cela signifie :

– trouver son ensemble de définition en la décomposant (opérations algébriques ou composition) en fonctions plus simples ;

– réduire éventuellement l’ensemble d’étude en remarquant que la fonction est paire ou impaire ;

– se demander si elle est dérivable (par exemple si c’est une somme, produit et/ou composée de fonctions dérivables connues) ;

– faire le calcul de sa dérivée (éventuellement l’ensemble de dérivabilité peut être plus petit que l’ensemble de défini- tion) ;

– factoriser l’expression de la dérivée (mise au même dénominateur, recherche de racines évidentes,etc.) ; – dresser un tableau de variation en précisant les valeurs particulières (annulation de la dérivée) ;

– compléter le tableau de variation en précisant les valeurs ou limites aux points remarquables ; – étudier la présence d’asymptotes et préciser leur nature ;

– effectuer un tracé (une ébauche approximative sera souvent suffisante, sauf mention contraire).

Ò Exercice B10

Étudier et tracer les courbes représentatives des fonctions définies par : 1. f(x)=x³−3x+4

2. g(x)=x²+2x+7 2x+3

II.4 – Continuité sur un intervalle II.4.1 – Définition

Soit I un intervalle deRetf une fonction définie sur I.

(i) On dit quef estcontinueau pointx₀∈I sif(x)−−−−→_x

→x0

f(x₀).

(ii) On dit quef estcontinue surI si elle est continue en tout point de I.

Intuitivement, une fonction f définie sur un intervalle est continue si sa courbe peut être dessiner « sans lever le crayon » (autrement dit s’il n’y a pas de « saut »).

(14)

Onpeuttracer cette cour

be sans lever lecrayon

!

Onne

peutpas tracer cette courbe

sans lever lecrayon

!

II.4.2 – Théorème (des valeurs intermédiaires)

Soit I unintervalledeRetf une fonctioncontinuesur I. Siaetbsont deux éléments de I vérifianta<balors pour tout réelkcompris entre f(a) etf(b) il existec∈[a,b] tel quef(c)=k.

Exemple –Considérons un randonneur qui part de l’altitude 1100 m et qui veut atteindre un lac situé à l’altitude 1800 m. Alors il y a nécessairement un moment (peut-être plusieurs) où il va passer à l’altitude 1500 m. En fait cela est vraie car la progression de ce randonneur estcontinue: il ne passe pas d’un coup de 1499 à 1501 m (on suppose évidemment que le randonneur n’a pas la faculté de se téléporter !).

Remarque –Ce théorème permet d’affirmer que si f est continue, l’équationf(x)=ka toujours au moins une solu- tion dès quekest entref(a) etf(b). Bien entendu, il peut y avoirplusieurs solutions.

c2

c1 c3

k

a b

f(a) f(b)

II.5 – Cas des fonction continues et strictement monotones sur un intervalle deR II.5.1 – Théorème (Corollaire du TVI pour une fonction strictement monotone)

Soit I unintervalledeRetf une fonctioncontinueetstrictement monotonesur I. Siaetbsont deux éléments de I vérifianta<balors pour tout réelkcompris entref(a) etf(b) il existe ununiquec∈[a,b] tel quef(c)=k.

Remarque –La seule chose qui change est l’unicitédu pointc en lequel la valeur intermédiaire est atteinte. Cette unicité provient bien sûr de lastricte monotonie.

II.5.2 – Cas particulier d’une fonction strictement croissante sur un segment

Soit f une fonction continue et strictement croissante définie sur un intervalle [a,b] et notonsc=f(a) etd=f(b).

Ainsi,f est une fonction de [a,b] dans [c,d].

Alors pour touty∈[c,d] l’équation f(x)=ypossède une unique solutionx∈[a,b] (l’existence provient de la conti- nuité et du théorème des valeurs intermédiaires et l’unicité provient de lastrictemonotonie).

(15)

)

x y=f(x)

a b

c d

Autrement dit, pour touty∈[c,d], il existe un uniquex∈[a,b] tel quef(x)=y. En langage mathématique cela s’écrit : B16

Cela vous rappelle-t-il quelque chose ? Normalement oui ! Voici un théorème qui va clarifier les choses.

II.5.3 – Théorème (Dit « de la bijection » : trois hypothèses et trois conclusions) Soitf une fonctioncontinueetstrictement monotonesur unintervalleI. Alors :

(i) J=f(I) est un intervalle ; (ii) f est une bijection de I sur J ;

(iii) La bijection réciproquef⁻¹: J→I est continue et strictement monotone (de même sens quef).

Exemples

1I La fonction racine carrée R+ −→ R+

x 7−→ p

x

est la réciproque de la fonction « élévation au carré » R+ −→ R+

x 7−→ x² . 2I La fonction logarithme népérien ln :R^∗₊→Rest la réciproque de la fonction exponentielle exp :R→R^∗₊.

3I Comme évoqué dans laremarque 2 page 13la fonctionx7→x³est strictement croissante surR. Elle y est évi- demment continue (car polynomiale) et ses limites en−∞et+∞sont respectivement−∞et+∞. D’après le théorème de la bijection il s’agit donc d’une fonction bijective deRdansR. Sa réciproque est la fonctionracine cubiquex7→³p

xdeRdansR. o _ATTENTION

•NeSURTOUT PASconfondre leTVI, soncorollaire, et lethéorème de la bijection.

•Lecorollaire du TVIet lethéorème de la bijectionont les mêmes hypothèses (continuité et stricte monotonie sur un intervalle) et ont des conclusions qui se recoupent en partie.

•En revanche leTVI « classique »a une hypothèseen moins: la stricte monotonie. Et cela fait uneénorme différence: l’éventuellenon-unicitédu nombre réelcdans son énoncé.

II.5.4 – Proposition

Soitf : I→J une bijection. Alors les graphesCfetCf⁻¹sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice (droite d’équationy=x).

(16)

Exemples

1I Pour les fonctionsx7→x²etx7→p

xon a les graphes suivants :

2I Pour les fonctions exponentielle et logarithme népérien on a les graphes suivants : B17

II.5.5 – Théorème (de dérivabilité d’une réciproque, à la limite du programme)

Soitf une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et notons J=f(I). Sif est dérivable et quef⁰n’estjamais nulle, alors la réciproque f⁻¹est dérivable sur J.

Remarques

1I Dans le parcours « mathématiques approfondies », ce théorème est complété par une formule exprimant la dérivée def⁻¹en fonction de celle def.

2I Dans le théorème complet, une autre propriété est importante : sif est dérivable au pointaavecf⁰(0)=0 alors f⁻¹n’est pas dérivable enb=f(a) et la courbe def⁻¹présente enbune tangente verticale.

(17)

)

Exemples

1I Considérons les deux fonctionsf : R+ −→ R+

x 7−→ x²

etg: R+ −→ R+

x 7−→ p

x

, réciproque l’une de l’autre.

B18

2I Considérons la fonction ln, réciproque de la fonction exponentielle.

B19

III – Catalogue de fonctions usuelles

III.1 – Fonctions puissances (exposants entiers) III.1.1 – Définition (Rappel : puissances entières d’un réel)

(i) Pour toutx∈Ret toutn∈N^∗on appelle puissancen-ième du réelxle nombre : xⁿ ^déf= x× · · · ×x

| {z }

nfois

(ii) Pour toutx∈Ron pose, par convention : x⁰=1.

(iii) Pour toutx∈R^∗etn∈N^∗on pose :

x⁻ⁿ ^déf= 1 xⁿ =

µ1 x

¶n

III.1.2 – Proposition

Pour toutn∈Z, la fonctionx7→xⁿest dérivable sur son ensemble de définition (Rsin>^{0 et}R^∗sin<0) et sa dérivée est la fonctionx7→nxⁿ⁻¹

(18)

Démonstration dans le casn>¹ B20

III.1.3 – Variations et graphe dex7→xⁿ B21

npair >² ⁿ^impair >¹

B22

npair 6−2 nimpair 6−1

(19)

)

III.2 – Fonction racine carrée III.2.1 – Définition (Racine carrée)

(i) On rappelle que la racine carrée d’un nombre réelpositifx est l’unique nombre réely tel quey²=xet que l’on notey=p

x.

(ii) Lafonction racine carréeest la fonction :

R+ −→ R+

x 7−→ p

x

La fonction racine carrée est continue surR+, dérivable seulement surR^∗₊ et son graphe présente en 0 une demi-tangente verticale. Par ailleurs, sa dérivée surR^∗₊est la fonctionx7−→ 1

2p x. III.2.3 – Variations et graphe de la fonction racine carrée

La dérivée de cette fonction étant strictement positive surR^∗₊, cela permet d’affirmer qu’elle est strictement croissante surR+(d’après le théorèmeII.3.1).

Sa représentation graphique a déjà été donnée dans l’exemple1page16.

III.3 – Fonction valeur absolue

III.3.1 – Définition (Valeur absolue d’un réel)

On rappelle que pour toutx∈R: |x| =

(x six>⁰

−x sinon = max(x,−x).

Le graphe de la fonction valeur absoluex7→ |x|est le suivant : B23

La fonction valeur absolue est continue surR, dérivable surR^∗. SurR^∗₋sa dérivée est la constante−1 et surR^∗₊ c’est la constante 1.

Elle n’est pas dérivable en 0 (dérivée à droite différente de la dérivée à gauche en ce point).

(20)

III.4 – Partie entière

III.4.1 – Théorème et Définition (Partie entière d’un nombre réel)

(i) Pour toutx∈Ril existe un unique entierk∈Zvérifiantk6^x<k+1.

(ii) On dit quekest lapartie entière dexet on écritk= bxc.

Remarques

1I Attention au cas des nombres négatifs : b2, 7c =2 maisb−2, 7c = −3.

2I L’encadrement de la définition s’écrit donc : bxc6^x< bxc +1.

On en déduit facilement le deuxième encadrement suivant : x−1< bxc6x.

3I Voici le graphe de la fonctionx7−→ bxcdéfinie surR(le graphe est ici limité à l’intervalle [−2, 2]) :

Ò Exercice B11

Pour toutx∈Rmontrer que :

bxc +

¹ x+1

2 º

= b2xc

Indication –Si on note n= bxc, distinguer les cas x∈£

n,n+¹₂£ et x∈£

n+¹₂,n+1£ .

III.5 – Polynômes et/ou fonctions polynomiales III.5.1 – Définition (Fonction polynomiale)

Soitn∈N. On dit qu’une application P :R→Restpolynomiale de degréns’il existe (a₀,a₁, ...,a_n)∈Rⁿ⁺¹avec an6=0 tels que : ∀x∈R, P(x)=a0+a1x+...+anxⁿ.

Exemples

1I L’application suivante :

P : R −→ R

x 7−→ x³−3x+1 est polynomiale de degré 3. On note deg(P)=3.

2I Si P est une fonction polynomiale de degré 0 alors il existea06=0 tel que∀x∈R, P(x)=a0. Ainsi, P est une fonction constantenon nulle.

3I On convient que l’application nulle est aussi polynomiale de degré−∞: deg(0)= −∞. 4I L’application identité :

Id_R: R −→ R x 7−→ x est polynomiale de degré 1.

(21)

)

– Mathématiques appliquées 21 5I ATTENTION -La notion intuitive depolynômeest la suivante : il s’agit d’une somme (pondérée par des coeffi-

cients réels) de puissances dex. Par exemplex⁴+3x+1 est un polynôme (de degré 4).

MAISdans le programme d’ECG il est demandé de confondre polynômes et fonctions polynomiales. Ainsi, les objets «x⁴+3x+1 » et la fonction «x7−→x⁴+3x+1 » sont considérés comme identiques.

Cela vaà l’encontre absoluede la mise en garde figurant dans la remarque4page2où il est demandé de bien faire la différence entre une fonction f et sa valeur f(x) en un pointx(souvenez vous du hachoir à viande !).

Cette contradiction esttrès regrettable. Mais, en tout état de cause, compte tenu du programme, l’identification, entre P et P(x) pour une fonction polynomiale seraacceptée, mais absolument prohibéepour des fonctions non polynomiales.

6I Conséquence (assez loufoque) de la remarque précédente : pour tout polynôme P on a l’égalité P=P(x). Vous pourrez donc indifféremment noter P=x⁴+3x+1 ou P(x)=x⁴+3x+1.

III.5.2 – Définition (Notation)

(i) L’ensemble des polynômes à coefficients réels est notéR[x].

(ii) L’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ànest notéRn[x].

Exemple –Soient P=x⁷+3x⁶−x²+2, Q=x⁴−8x²+1. On a :

P∈R7[x] mais P6∈R6[x], Q∈R4[x] et Q∈R5[x]

Remarques

1I Un polynôme deRn[x] possèden+1 coefficients (éventuellement nuls). En seconde année vous verrez que

«Rn[x]est un espace vectoriel de dimension n+1 ».

2I Pour tout (n,k)∈N²vérifiantn6^kon a : Rn[x]⊂Rk[x]⊂R[x]

III.5.3 – Définition (Opérations algébriques)

Les polynômes étant (d’après l’identification imposée dans le programme) des fonctions, on peut effectuer des opérations classiques avec eux :

• addition de polynômes ;

• multiplication de polynômes ;

• et même composition de polynômes (mais en ECG nous nous en abstiendrons).

Remarques

1I Le degré d’un produit de polynôme est la somme des degrés : deg(PQ)=deg(P)+deg(Q).

2I Pour une somme de deux polynômes P et Q, le degré de P+Q vaut « souvent » max¡

deg(P), deg(Q)¢

sauf si les termes de plus haut degré se simplifient. Le résultat général est donc : deg(P+Q)6^max^¡deg(P), deg(Q)¢

. Ò Exercice B12

On considère les polynômes suivants : P=x⁵+2x⁴−3x², Q=x³−7x²−1 et R= −2x⁵+x³−2x+7.

1. Quels sont les degrés de P, Q et R ?

2. Développer, réduire et ordonner le produit PQ. Quel est son degré ? 3. Réduire et ordonner la somme P+Q. Quel est son degré ?

4. Réduire et ordonner le polynôme 2P+R. Quel est son degré ?

Les fonctions polynomiales (ou polynômes) sont continues et dérivables (une infinité de fois) surR.

(22)

Remarques

1I Notons que si P est définie par P=a0+a1x+...+anxⁿalors P⁰=a1+2a2x+ · · · +nanxⁿ⁻¹. De manière générale la dérivée d’un polynôme est un polynôme.

2I Si P est un polynôme de degréndont lecoefficient dominant(celui du terme de plus haut degré) est notéan, alors la dérivéen-ième de P est constante et vautn!a_n. Sa dérivée (n+1)-ième et toute les suivantes sont nulles.

III.5.5 – Définition (Relation de divisibilité entre polynômes) Soient (A, B)∈¡

R[x]¢2

. On dit que BdiviseA (ou que A est unmultiplede B) s’il existe Q∈R[x] tel que A=BQ.

III.5.6 – Théorème (Division euclidienne entre polynômes)

Soient A∈R[x] et B∈R[x] \ {0}. Alors il existe Q et R deux polynômes uniques vérifiant :











A=BQ+R

ET

deg(R)<deg(B)

Remarque –Sous les hypothèses précédentes, B divise A si et seulement si R=0.

Exemple –Procédons par exemple à la division euclidienne de A=x⁵+2x³+3x²+x−1 par B=x²−x+1.

B24

III.5.7 – Proposition (Factorisation à l’aide d’une racine) Soit P∈R[x] un polynôme réel.

(i) On dit quea∈Rest une racine de P si P(a)=0.

(ii) Siaest une racine de P alors il existe un polynôme Q tel que : P=(x−a)Q c’est-à-dire (en termes de fonctions) :

∀x∈R, P(x)=(x−a)Q(x)

(23)

)

– Mathématiques appliquées 23 Remarque –Si on détecte une racine « évidente »a(à chercher parmi les petits entiers relatifs) pour un polynôme P, on sait qu’il est divisible (factorisable) par (x−a). Pour trouver le quotient, il suffit de poser la division.

III.5.8 – Théorème

Un polynôme deRn[x] ayant au moinsn+1 racines distinctes est nécessairement le polynôme nul.

III.5.9 – Corollaire (Principe d’identification, version forte)

Deux polynômes deRn[x] qui coïncident en au moinsn+1 points réels distincts sont nécessairement égaux.

On peut donc identifier leurs coefficients (degré par degré).

III.5.10 – Corollaire (Principe d’identification, version faible)

Deux polynômes deRn[x] qui coïncident sur un ensemble infini (par exemple un intervalle) sont nécessaire- ment égaux. On peut donc identifier leurs coefficients (degré par degré).

III.6 – Fonctions rationnelles III.6.1 – Définition

On dit qu’une fonction estrationnellesi elle est le quotient de deux fonctions polynomiales.

Exemple –La fonction R −→ R x 7−→ 2x⁷−x³

1+x²

est une fonction rationnelle.

(i) Soit P et Q deux fonctions polynomiales. Alors la fonction rationnelle f = P

racines de Qª .

(ii) Les fonctions rationnelles sont continues et dérivables (une infinité de fois) sur leur ensemble de défini- tion.

Exemple –La fonction rationnelle donnée parf(x)=4x+3

−1, 1ª . Remarques

1I La dérivée d’une fonction rationnelle est une fonction rationnelle.

2I Les fonctions rationnelles peuvent se décomposer en «éléments simples». La théorie générale de cette décom- position est hors programme et un énoncé portant sur ce sujet comportera toujours une indication.

Ò Exercice B13

1. Montrer qu’il existe (a,b)∈R²tel que :

∀x∈R\©

−3, 2ª

, x−7

x²+x−6= a x+3+ b

x−2 2. Calculer l’intégrale suivante :

I= Z ₁

0

x−7 x²+x−6dx

(24)

III.7 – Fonctions exponentielle et logarithme népérien

III.7.1 – Généralités sur les fonctions exponentielle et logarithme népérien Voir formulaire.

III.7.2 – Proposition (Croissances comparées « élémentaires ») 1. lim

x→+∞

ln(x)

x =0 2. lim

x→0⁺xln(x)=0 3. lim

x→+∞

e^x

x = +∞ 4. lim

x→−∞xe^x=0

Démonstration de 1.

B25

III.7.3 – Proposition (D’autres limites à connaîtreabsolument) 1. lim

h→0

ln(1+h)

h =1 2. lim

x→1

ln(x)

x−1=1 3.lim

x→0

e^x−1 x =1

Démonstration (très contestable...) B26

(25)

)

III.8 – Fonctions puissances (exposants quelconques) III.8.1 – Définition (puissance d’un réel strictement positif )

Poura>0 etb∈Ron posea^b ^déf= e^b^ln(a)qui se lit «apuissanceb».

Remarques

1I Dans le cas d’un exposant entier relatifk∈Zon a e^k^ln(a)=e^ln(a^k⁾=a^k ce qui légitime la notation sous forme de puissance.

2I On a toujoursa^b>0 car il s’agit d’une valeur de la fonction exponentielle.

3I Dans le doute avec des exposant réels (non entiers), le plus sûr est de revenir à la définition sous la forme exponentielle.

III.8.2 – Proposition (Règles de calcul) Pour tout (a,b)∈¡

]0,+∞[¢2

et (c,d)∈R²on a : (i) ln¡

a^b¢

=bln(a) (ii) a^c⁺^d=a^ca^d

(iii) ¡ a^c¢d

=a^cd (iv) ¡

ab¢c

=a^cb^c

(v) a^−c= 1 a^c =³1

a

´c

Démonstration de(i)et(iii)

Toutes ces formules proviennent des propriétés algébriques déjà connues des fonctions exp et ln.

B27

Ò Exercice B14

Déterminer les variations de la fonctionf définie surR^∗₊par : f(x)=x¹^x.

III.8.3 – Définition (Fonction puissance d’exposant réel quelconque)

Soitα∈R(quelconque). On appelle fonction puissance d’exposantαl’application suivante : ϕα: R^∗₊ −→ R

x 7−→ x^α ^déf= e^α^ln(x)