Comme f(−1)6=−f(1), la fonctionf n’est pas impaire

9.20 1) Vu que e^x > 0 pour tout x ∈ R, la fonction f est définie sur l’ensemble des nombres réels : Df =R.

2) f(1) = e¹−1

e¹ = e−1

e ≈0,632 f(−1) = e⁻¹−1

e⁻¹ =

1 e −1

1 e

= 1−e≈ −1,719

Puisque f(−1)6=f(1), la fonction f n’est pas paire.

Comme f(−1)6=−f(1), la fonctionf n’est pas impaire.

3) Grâce à l’exercice 1.6 2), on sait que e^x >x+ 1 pour toutx∈R. Par conséquent, pour tout x∈R, on ae^x > x ou encore e^x−x >0. Il en résulte quef(x)>0 pour toutx∈R.

4) lim

x→−∞

e^x−x

e^x = e^−∞−(−∞)

e^−∞ = 0 +∞ 0+

= +∞

La fonctionf ne possède pas d’asymptote horizontale à gauche.

x→−∞lim f(x)

x = lim

x→−∞

e^x−x

x e^x = lim

x→−∞

e^x

x e^x − x

x e^x = lim

x→−∞

1 x − 1

e^x

= 1

−∞ − 1

e^−∞ = 0−− 1 0+

= 0−−(+∞) = −∞

La fonctionf n’a donc pas d’asymptote oblique à gauche.

x→+∞lim

e^x−x

e^x = e^+∞−(+∞)

e^+∞ = +∞ − ∞

+∞ : indéterminé

x→+∞lim

e^x−x

e^x = lim

x→+∞

(e^x−x)^′

(e^x)^′ = lim

x→+∞

e^x−1

e^x = e^+∞−1 e^+∞

= +∞ −1

+∞ = +∞

+∞ : indéterminé

x→+∞lim

e^x−x

e^x = lim

x→+∞

(e^x−1)^′

(e^x)^′ = lim

x→+∞

e^x

e^x = lim

x→+∞1 = 1

La fonctionf admet y= 1 comme asymptote horizontale à droite.

5) f^′(x) =

e^x−x e^x

^′

= (e^x−x)^′e^x−(e^x−x) (e^x)^′ (e^x)²

= (e^x−1)e^x−(e^x−x)e^x e^2x

= e^x (e^x−1)−(e^x−x) e^2x

= e^x(x−1) e^2x

Analyse : fonctions exponentielles et logarithmiques Corrigé 9.20

= x−1 e^x

1

x−1 − +

e^x + +

f^′ − +

f ց ր

0

0

min

On a déjà calculé f(1) = ^e−1_e .

Ainsi le point(1 ;^e−1_e )est le minimum absolu de la fonction f.

6) f^′′(x) =

x−1

e^{x ′}

= (x−1)^′e^x−(x−1) (e^x)^′ (e^x)²

= 1·e^x−(x−1)e^x e^2x

= e^x 1−(x−1) e^2x

= e^x(2−x) e^2x

= 2−x e^x

2

2−x + −

e^x + +

f^′′ + −

f ⌣ ⌢

0

0

infl

f(2) = ^e2_e⁻²2

Le point(2 ;^e2_e⁻²2 ) est un point d’inflexion.

7)

Analyse : fonctions exponentielles et logarithmiques Corrigé 9.20