Généralités sur les fonctions.
Fonctions de référence
Les savoir-faire
020. Exploiter l’équationy=f(x) d’une courbe.
021. Résoudre graphiquement une équation.
022. Résoudre graphiquement une inéquation.
023. Dresser un tableau de signes à partir d’un graphique.
024. Connaître et utiliser les fonctions de référence.
I. Notion de fonction
SoitD un ensemble de nombres réels.
Définir une fonctionf surD revient à associer à chaque réelxdeD un réel et un seul, appelé image dex.
D est l’ensemble de définition de la fonction : c’est l’ensemble des nombres pour lesquels il existe une image par la fonction.
Fonction et ensemble de définition
Soitf une fonction,D son ensemble de définition etx∈D.
L’expression algébrique d’une fonction donne directementf(x) en fonction de la variablex.
Expression algébrique d’une fonction
Exemple :
La fonctiongest définie surRparg(x) =x2+ 6x.
Exemple : image d’un nombre.
On considère la fonctionf définie surRpar :f(x) =x2+ 3.
Calculer l’image de 5 par la fonctionf.Vidéo Exemple : Antécédent d’un nombre.
On considère la fonctionf définie surRpar :f(x) =x2+ 1.
Trouver un antécédent de 10 par la fonctionf.Vidéo
II. Courbe représentative d’une fonction
Soient f une fonction,Dson ensemble de définition etxappartenant àD.
La représentation graphique (ou courbe représentative, notéeCf) de la fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x; f(x)).
Définition : courbe représentative
−1 1 2 3
−8
−6
−4
−2 2
0
x
y=f(x)
Cf
M(x; y) Le pointM appartient à Cf, il est sur la courbe.
M1(x; y1) Le pointM1n’appartient pas à Cf, il est au dessus de la courbe.
y1 > f(x)
M2(x; y2)
y2 < f(x) Le pointM2n’appartient pas à Cf,
il est en dessous de la courbe.
III. Fonction paire et fonction impaire
1. Intervalles symétriques par rapport à 0
Un ensemble deRest dit symétrique par rapport à 0 si, pour tout nombre de l’ensemble, son opposé appartient à l’ensemble.
Définition : ensemble symétrique par rapport à 0
Exemples :
L’intervalle [−5 ; 5] est symétrique par rapport à 0. L’intervalle [−4 ; 3] n’est pas symétrique par rapport à 0.
2. Fonction paire
Une fonctionf, définie sur un ensemble de définitionD symétrique par rapport à 0, est dite paire si, pour tout réel xdeD, on af(−x) =f(x).
Définition : fonction paire
La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété : symétrie de la courbe
0 x
f(−x) =f(x)
−x
tout réelxdeD, on a f(−x) =−f(x).
La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Propriété : symétrie de la courbe
0
x f(−x)
f(x)
−x
IV. Les fonctions de référence
1. Fonctions affines
Voir la fiche méthode.
2. La fonction carré
On appellefonction carré, la fonction qui à un nombre réel associe son carré. En d’autres termes, la fonction carré est la fonctionf définie sur Rpar :
f(x) =x2 Définition : fonction carré
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole ; son équation esty=x2.
Si le repère est orthogonal, la parabole représentant la fonction carré admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie. La fonction carré est paire.
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2
−1
−2 0
3. La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est la fonctionf définie sur [0 ; +∞[ par : f(x) =√
x Définition : fonction racine carrée
0 I
J
y=√ x
4. La fonction inverse
On appelle fonction inverse, la fonction qui à un nombre réel associe son inverse. En d’autres termes, la fonction inverse est la fonctionf définie sur R∗ par :
f(x) = 1 x
Définition : fonction inverse
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole ; son équation esty= 1
x.
Si le repère est orthogonal, l’hyperbole représentant la fonction inverse admet l’origine comme centre de symétrie.
La fonction inverse est impaire.
−1
−2
−3 1 2 3
1 2
−1
−2 0
5. La fonction cube
On appelle fonction cube, la fonction qui à un nombre réel associe son cube. En d’autres termes, la fonction cube est la fonctionf définie sur Rpar :
f(x) =x3
Définition : fonction cube
équationy=x .
Si le repère est orthogonal, la courbe représentant la fonction cube admet l’origine comme centre de sy- métrie.
La fonction cube est impaire.
−1
−2
−3
−1 0 1
V. Signe d’une fonction
1. Définition
On dit qu’une fonctionf est positive (resp négative) sur un ensembleDsi, pour tout réelx∈D, on af(x)>0 (respf(x)60).
Etudier le signe d’une fonction consiste à déterminer les valeurs dexsur lesquellesf(x) est strictement positif, strictement négatif ou nul.
Définition : signe d’une fonction
2. Tableau de signe
Exemple :
−1
−2 1 2 3
1 2 3 4 5
−1
−2
−3 0
f(x) = 0
f(x)>0
f(x)<0 f(x)<0
+ +
+
+
-
- -
-
x
Signe def(x)
−∞ −2 3 +∞
− 0 + 0 −
Exemple :
Lire graphiquement le signe de la fonctionf définie sur [−6 ; 7].
−1
−2
−3 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5 0
Cf
Vidéo
