Plan de Travail : Fonctions usuelles Fonction carré :
Activité introduction :
1. Découverte avec le logiciel Géogébra :
On considère la fonction carré f définie sur R par f(x)=x2.
a. Déterminer les variations def surR b. Déterminer les extremums def surR
c. Recopier et complèter le tableau de valeurs sui- vant :
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
d. En déduire une symétrie pour la représentation de la fonctionf
2. Démonstrations :
a. Soitaetbdeux réels tels que : 0<a<b Démontrer quea2<b2.
En déduire le sens de variations de la fonction carré surR+observé au 1.
b. En procédant de manière similaire, déterminer le sens de variations de la fonction carré surR− c. Soita∈R. Comparerf(a) etf(−a). Démontrer
la propriété graphique observée au 1.
La fonction carré
EXERCICE 1*
Répondre par lecture graphique,
1. Si 2<x<3 donner un encadrement dex2? 2. Si−3<x< −1 donner un encadrement dex2? 3. Si−2<x<3 donner un encadrement dex2? EXERCICE 2**
Répondre à partir des variations de la fonction carré : 1. Six>3, que peut-on dire dex2?
2. Six< −2, que peut-on dire dex2? 3. Six>2, que peut-on dire de 3x2? 4. Six< −1, que peut-on dire de−2x2?
5. Six>2, que peut-on dire de 5x2−4?
EXERCICE 3**
Déterminer les variations de la fonctionf définie surRpar f(x)=x2−3 et donner son extremum.
EXERCICE 4**
Déterminer les variations de la fonctionf définie surRpar f(x)= −2x2+1 et donner son extremum.
EXERCICE 5**
1. Six2>4, que peut-on dire dex? 2. Six2<5, que peut-on dire dex? 3. Si 1<x2<5, que peut-on dire dex? 4. Six2< −16, que peut-on dire dex? Forme canonique :
EXERCICE 6
Soitf la fonction définie surRpar : f(x)=x2+4x−5.
1. Forme canonique :**
a. Développer (x+2)2, pour toutxdeR.
b. Compléter alors la relation suivante : x2+4x=(x+2)2− · · ·.
c. En déduire les valeurs manquantes de la relation suivante :
f(x)=(x+2)2− · · ·.
On dit que f est alors mise sous formecano- nique.
2. Variations def :***
a. Soita∈[−2;+∞[ etb∈[−2;+∞[ tels quea<b.
En utilisant la forme canonique, comparerf(a) etf(b).
En déduire les variations def sur [−2;+∞[ b. A partir d’une démonstration similaire, détermi-
ner le sens de variations def sur ]−∞;−2[
c. En déduire que la fonction f admet un mini- mum que l’on déterminera.
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EXERCICE 7**
On considère la fonction définie surRpar : f(x)=(x+1)2−4.
1. Développer f(x).
2. Factoriserf(x).
3. Calculer l’image des trois nombres suivants en choi- sissant l’expression def(x) la plus appropriée.
a. 0; b. −1+p
2; c. −3.
4. a. *** étudier les variations def sur chacun des in- tervalles [−∞;−1[ et [−1;+∞[.
b. En déduire que la fonction f admet un mini- mum que l’on déterminera.
EXERCICE 8**
On considère la fonction définie surRpar : f(x)=2(x−5)2−8.
1. Développer f(x).
2. Factoriserf(x).
3. Calculer l’image des trois nombres suivants en choi- sissant l’expression def(x) la plus appropriée.
a. 0; b. 5; c. 5+p
3.
4. Déterminer, s’ils existent, le ou les antécédents des quatre nombres suivants en choisissant l’expression def(x) la plus appropriée.
a. 0; b. −5; c. −8; d. −10.
5. a. *** étudier les variations def sur chacun des in- tervalles [−∞;5[ et [5;+∞[.
b. En déduire que la fonction f admet un mini- mum que l’on déterminera.
EXERCICE 9**
On considère la fonction définie surRpar : f(x)=(x+1)2−1.
1. a. Etudier le sens de variation def sur chacun des intervalles ]− ∞;−1[ et ]−1;+∞[.
b. Etablir le tableau de variation def.
c. Vérifier que cette fonction possède un mini- mum surR.
2. Recopier et complèter le tableau de valeurs suivant :
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
3. a. Tracer la courbe représentative def dans un re- père orthogonal .
b. Quelle propriété géométrique semble posséder la courbe ?
4. a. Développerf(x).
b. Factoriserf(x).
5. En utilisant l’expression def(x) la plus appropriée : a. déterminer, s’ils existent, le ou les antécédents
de
i. 0, ii. −1, iii. 4;
b. déterminer l’image de i. −1+p
7, ii. p
2.
EXERCICE 10**
Soitf la fonction définie surRpar : f(x)=x2+3x+2 1. Vérifier que, pour toutxdeR:
f(x)= Ã
x+ 3 2
!2
− 1 4 2. Factoriserf(x).
3. Répondre aux questions suivantes, en utilisant l’ex- pression def la mieux adaptée.
a. Calculer l’image de 0 parf. b. Résoudre l’équationf(x)=0.
c. Résoudre l’inéquationf(x)<3 4.
EXERCICE 11*** Dans chacun des cas suivants, déterminer la forme développée, puis la forme canonique des fonctions données.
1. f(x)=(x−1)(x+3) ;
2. f(x)=(3x−1)(2x−4) ;
3. f(x)=3(x−1
3)(2x−4) ; 4. f(x)=6(x−1
3)(x−2).
EXERCICE 12** Soit la fonction définie surRpar : f(x)= −3x2−6x+9.
1. Montrer que, pour tout réelx: f(x)= −3(x+1)2+12.
2. Factoriserf(x).
3. Répondre aux questions suivantes, en utilisant l’ex- pression def la mieux adaptée.
a. Calculer l’image de 0 parf. b. Résoudre l’équationf(x)=0.
c. Résoudre l’inéquationf(x)<0.
4. a. *** Étudier les variations def sur chacun des in- tervalles ]−∞;−1[ et [−1;+∞[.
b. En déduire que la fonction f admet un maxi- mum que l’on précisera.
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La fonction inverse
EXERCICE 13*
1. Donner un encadrement de 1
x dans chacun des cas suivants : a)−0,5<x< −0,4; b)2
3<x<1; c)x>1 5; d)x6−p2
2. Dans chaque cas, trouver les réels xqui satisfont la condition donnée : a) 1
x 63
4; b)1
x>2; c)
−2<1 x6−1
5; d)−1
361 x63 EXERCICE 14***
1. Soitxun réel tel que 1<x62 a. Montrer que (x−1)36(x−1)2
b. Que peut-on en déduire pour 1 (x−1)3 et 1
(x−1)2?
2. La proposition « Pour tout réel x > 1, 1 (x−1)3 >
1
(x−1)2» est-elle vraie ou fausse ?
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