Ce problème illustre la complexité du comportement des suites dénies par récurrence dans le cas où la fonction n'est pas monotone. Il introduit à un résultat connu comme

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Problème

Ce problème illustre la complexité du comportement des suites dénies par récurrence dans le cas où la fonction n'est pas monotone. Il introduit à un résultat connu comme

Période 3 implique chaos.

−1

1

(1, −1)

m b

a

a

Fig. 1: Graphe de f

Partie I. La fonction.

1. Déterminer les réels a , b , c tels que la fonction polynomiale f dénie par

∀ x ∈ R , f (x) = ax

+ bx + c

vérie f ( − 1) = 0 , f (0) = 1 , f(1) = − 1 .

2. Justier avec un tableau de variations que le graphe présenté en gure 1 est celui de f . Préciser les valeurs de a , m , a

, b . On ne demande pas de vérier les inégalités suivantes visibles sur le graphe mais on pourra les utiliser dans la suite.

f (x) − x

( < 0 si x / ∈ [a, a

]

> 0 si x ∈ ]a, a

[ , a < f (b) < − 1 < m < 0 < a

< 1 < b 3. Avec des éléments de la chaîne d'inégalités du dessus, exprimer

f (] −∞ , a]), f ([a, m]), f ([m, b]).

En déduire f ([a, b]) ⊂ [a, b] . 4. On dénit une suite (x

)

par :

x

∈ R , ∀ n ∈ N , x

= f (x

) Étudier cette suite dans les cas suivants

x

< a, x

= a, x

= − 1, x

= 0, x

= a

, x

= 1.

Partie II. Les outils.

1. Pour u < v réels, soit J = [u, v] et g ∈ C (J, R ) telle que J ⊂ g(J) . Montrer que g admet un point xe dans J c'est à dire qu'il existe x ∈ J tel que g(x) = x (on pourra considérer z et t dans J tels que g(z) = u et g(t) = v ).

2. Soit I un segment de R, f ∈ C (I, R ) et K = [v, V ] ⊂ f (I) avec v < V . On veut montrer qu'il existe α et β dans I tels que K = f ([α, β]) .

Comme [v, V ] ⊂ f (I) , il existe a et b dans I tels que v = f (a) et V = f (b) . On suppose a < b dans les questions a., b., c..

a. Soit A = { x ∈ [a, b] tq f (x) = v }. Montrer que A admet un plus grand élément (noté α ). Montrer que α < b et que

α < x ≤ b ⇒ v < f (x)

b. Soit B = { x ∈ [α, b] tq f (x) = V }. Montrer que B admet un plus petit élément (noté β ). Montrer que α < β et que

α ≤ x < β ⇒ f (x) < V c. Montrer que [v, V ] = f ([α, β]) .

d. Comment faire dans le cas b < a ?

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Partie III. Existence de suites périodiques.

On se replace dans le contexte de la première partie en notant I

= [ − 1, 0] et I

= [0, 1] . On veut montrer qu'il existe un c ∈ I

tel que

f ◦ f ◦ f ◦ f (c) = c avec f (c) 6 = c, f ◦ f (c) 6 = c, f ◦ f ◦ f (c) 6 = c On pourra noter f

= f ◦ f ◦ · · · ◦ f

| {z }

ifois

.

1. Préciser f (I

) et f (I

) avec a , f (b) , m , a

et b . En déduire I

⊂ f (I

), I

⊂ f (I

), I

⊂ f (I

) 2. a. Montrer qu'il existe des segments K

, K

, K

, K

tels que

(K

⊂ I

et f (K

) = I

) , (K

⊂ K

⊂ I

et f (K

) = K

) ,

(K

⊂ I

et f (K

) = K

) , (K

⊂ I

et f (K

) = K

) b. Reproduire sur votre copie la gure 1 et présenter les segments K

, K

, K

, K

estimés graphiquement.

3. Montrer qu'il existe c ∈ K

tel que f

(c) = c .

4. Pour le c déni dans la question précédente, montrer que

(c = f (c) ⇒ c = 0) , (c = f ◦ f (c) ⇒ f (c) = 0) , c = f

(c) ⇒ c = 0 Conclure.

5. Montrer qu'il existe c

∈ I

tel que f (c

) 6 = c

et f ◦ f (c

) = c

.

6. Montrer que, pour tout entier n ≥ 3 , il existe c

∈ I

tel que la suite dénie par récurrence avec la condition initiale c

soit périodique de plus petite période n .

Exercice

1. Soit f une fonction de classe C

dans un intervalle [a, b] telle que f

soit dérivable dans ]a, b[ . Montrer qu'il existe d dans ]a, b[ tel que

f (b) − f (a) − (b − a)f

(a) = (b − a)

2 f

(d) On considèrera obligatoirement une fonction ϕ de la forme :

ϕ(t) = f (t) − f(a) − (t − a)f

(a) − K(t − a)

pour un réel K bien choisi.

2. Soit G une fonction de classe C

dans [0, + ∞ [ . On dénit une fonction g par

∀ x ∈ [0, + ∞ [: g(x) =







− G

(0) si x = 0 1

x G(x

) − G(x)

si x 6 = 0 a. Les fonctions dénies dans ]0, + ∞ [

x 7→ G(x) − G(0)

x , x 7→ G(x

) − G(0) x admettent elles des limites en 0 ?

b. Montrer que g est continue dans [0, + ∞ [ .

c. Comment se traduit le résultat de la question 1 appliqué à la fonction G avec a = 0 et b = x ? Et avec a = 0 et b = x

?

d. Montrer que g est de classe C

dans [0, + ∞ [ et préciser g

(0) .

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