Index Plan Rédactionincomplète.Version0.9 Suitesderéels

Suites de réels

Rédaction incomplète. Version 0.9

Plan

I. Vocabulaire relatif aux suites. . . 1

1. Opérations . . . 1

2. Inégalités entre suites . . . 1

3. Suites monotones . . . 2

4. Suites extraites. . . 2

II. Convergence-Divergences . . . 3

1. Convergence vers 0 . . . 3

2. Convergence. . . 5

3. Opérations sur les suites convergentes. . . 7

4. Divergences . . . 8

5. Méthodes . . . 9

1.Pour démontrer qu'une suite converge . . . 9

2.Pour démontrer qu'une suite diverge. . . 9

III. Théorèmes d'existence de limites . . . 9

1. Suites monotones . . . 9

2. Suites bornées . . . 10

IV. Compléments . . . 11

1. Traduction séquentielle de certaines propriétés . . . 11

2. Suites complexes . . . 12

3. Suites particulières . . . 13

1.Suites arithmétiques. . . 13

2.Suites géométriques . . . 13

3.Suites arithmético-géométriques . . . 13

4.Suites vériant une relation de récurrence linéaire homogène d'ordre 2. . . 13

5.Exemples de suites vériant une relation de récurrence non linéaire. . . 14

Index

archimédien,3

caractérisation séquentielle de la densité,11 convergence d'une suite,3

convergence de l'hésitant fatigué,9

limite supérieure et inférieure d'une suite bor- née,9

majorant d'une suite,1 minorant d'une suite,1

opérations sur les suites convergentes,7 partie dense,11

passage à la limite dans une inégalité (PLI),5 question de cours

opérations sur les suites convergentes,4,7 passage à la limite dans une inégalité,5 théorème d'encadrement,5

raisonnement à la Cauchy,5 série harmonique,9

suite convergente,5 suite divergente,5 suite extraite,2

suite inverse d'une suite convergente,7 suite majorée,1

suite minorée,1 suites adjacentes,10 terme croisé,7

théorème d'encadrement,5

théorème de Bolzano Weirstrass pour les suites complexes,12

théorème de Bolzano-Weirstrass, 10

théorème de convergence des suites monotones, théorème des segments emboités,9 9

unicité de la limite,5

Remarque générale.

Quand on débute en analyse, il est conseillé de rédiger sans utiliser la notationlim_nx_n. En eet, l'erreur la plus fréquente est de croire que toutes les suites convergent (ou tendent vers+ou−l'inni) et que le problème est de calculer une limite. Ce n'est pas du tout le cas ; le premier problème est de prouver la convergence. On peut parler

de la limite seulement après cette convergence assurée. Utiliser trop tôtlimnxn revient le plus souvent à supposer la convergence. Pour éviter cette erreur, le plus simple est de ne pas utiliser la notationlimnxn.

I. Vocabulaire relatif aux suites

Une suite est une fonction dénie sur une partie innie de Nnotée d'une manière particulière. Dans tout ce chapitre, on désignera parI une partie innie deN.

Présentons dans un tableau les correspondances

Notation fonctionnelle f t∈I, f(t): image Notation séquentielle (xn)_n∈I k∈ I, xk : terme

1. Opérations

Par analogie avec les ensemblesRⁿ den-uplets de nombres réels, on noteR^Il'ensemble des suites de nombres réels dénies sur une partie innieIdeN. On dénit plusieurs opérations surR^Iqui en font unR-espace vectoriel¹. Soitu= (u_n)_n∈I etv= (v_n)_n∈I dansR^I et λ∈R, les suitesu+v,uvetλu sont dénies par :

u+v= (un+vn)_n∈I, uv= (unvn)_n∈I, λu= (λun)_n∈I On dénit aussisup(u, v)etinf(u, v)par

sup(u, v) = (max(u_n, v_n))_n∈I, inf(u, v) = (min(u_n, v_n))_n∈I

Remarque. On ne peut pas notermax(u, v)car il ne s'agit pas de la plus grande des deux suites mais d'une suite plus grande que les deux. Suivant les valeurs de l'indice n, la plus grande valeur est soit un soit vn mais pas toujours la même en général.

On peut aussi introduire la suite|u|= (max(|un|))_n∈I et vérier les relations (|u−v|= sup(u, v)−inf(u, v)

u+v= sup(u, v) + inf(u, v)







sup(u, v) = 1

2((u+v) +|u−v|) inf(u, v) = 1

2((u+v)− |u−v|)

Attention ! la suite

1 + 1 2+1

3 +· · ·+ 1 n

n∈N^∗

n'est pas une somme de suites.

Une suite est dite constante lorsqu'elle ne prend qu'une seule valeur.

2. Inégalités entre suites

Relation d'ordre. Pour deux suitesuet vdénies sur I, on peut convenir que u≤v⇔ ∀k∈ I, uk≤vk

Dénition. Soitu= (u_n)_n∈I et x∈R.

xest un majorant deusi et seulement si∀n∈ I, u_n≤x. xest un minorant de usi et seulement si∀n∈ I, x≤u_n.

Une suite est majorée si et seulement si elle admet des majorants. Une suite est minorée si et seulement si elle admet des minorants. Une suite est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.

La propriété suivante est immédiate Proposition. Soitu= (un)n∈I

uest majorée si et seulement si∃M ∈Rtq∀n∈ I, u_n≤M. uest minorée si et seulement si ∃m∈R tq∀n∈ I, m≤u_n. uest bornée si et seulement si |u| est majorée.

1La dénition précise de cette structure sera étudiée plus tardhttp://back.maquisdoc.net/data/cours_nicolair/C2076.pdf.

La propriété suivante traduit la stabilité pour les opérations de l'ensemble des suites bornées.

Proposition. Soitλ∈Ret u,v des suites bornées dénies dans I, alors u+v,λu,uv,sup(u, v),inf(u, v)sont des suites bornées.

Preuve. Commeuet v sont des suites bornées, il existe des réelsU etV tels que |u_n| ≤U et|v_n| ≤V pour tous lesn∈ I. Le caractère borné des diverses suites considérées vient des inégalités

|un+vn| ≤ |un|+|vn| ≤U+V

|λun| ≤ | ≤ |λ||un| ≤λU

|unvn| ≤ |un||vn| ≤U V

|max(u_n, v_n)| ≤max(|un||vn|) ≤max(U, V)

|min(un, vn)| ≤max(|un||vn|) ≤max(U, V)

3. Suites monotones

Dénition. Soitu= (un)_n∈I.

ucroissante⇔ ∀(p, q)∈ I², p≤q⇒up≤uq

ustrictement croissante⇔ ∀(p, q)∈ I², p < q⇒u_pvu_q udécroissante⇔ ∀(p, q)∈ I², p≤q⇒uq ≤up

ucroissante⇔ ∀(p, q)∈ I², p < q⇒uq < up

On peut aussi exprimer ces dénitions en ne considérant pour q que le suivant dep c'est à dire le plus petit élément deI strictement plus grand quep. Dans le cas où I =N, ce suivant est p+ 1. Une suiteudénie dansNest croissante si et seulement si

∀k∈N, uk≤uk+1

4. Suites extraites

La notion de suite extraite est l'analogue pour les suite de la notion de restriction d'une fonction.

Dénition. SoitI une partie innie de Net u= (u_n)_n∈I une suite dénie dans I. Une suite extraite de uest une suite(un)_n∈J oùJ est une partie innie deI.

Toute partie innieI deNest bien ordonnée ². Cela entraîne qu'il existe une unique bijection strictement croissante deNdansI, on la note iciϕ. On peut donc toujours supposer que les indices décriventN.

u= (un)_n∈J = (u_ϕ(k))_k∈N

Certains cours sont présentés de cette manière, mais je trouve plus commode d'utiliser les parties innies deN.

Les deux présentations sont totalement équivalentes. Dans ce formalisme, une suite extraite deus'écrit (u_ψ◦ϕ(k))_k∈N

oùψ est l'unique bijection strictement croissante deI dansJ.

On dira qu'une propriété des termes d'une suiteuest vériée à partir d'un certain rang si et seulement si il existe un rangn₀ ∈Ntel que la propriété soit veriée pour tous les u_k aveck≥n₀. Cela revient à considérer la suite extraite associée à la partie innieJn₀,+∞J={n∈Ntqn₀≤n}.

2La construction deNn'étant pas au programme, cette notion ne sera pas précisée. Elle permet de numéroter de manière unique tous les éléments d'une partie deNen aectant le numéro0au plus petit puis1au suivant et ainsi de suite. On construit ainsi une bijection.

II. Convergence-Divergences

1. Convergence vers 0

Dénition. On dira qu'une suite de nombres réels(xn)_n∈I converge vers0lorsque :

∀ε >0,∃Nε∈Ntel que :∀n∈ I, n≥N⇒ |xn| ≤ε On notera

(xn)_n∈I→0.

Remarques. On peut remplacer les inégalités larges (saufε >0) par des inégalités strictes.

Noter l'indiceεdans la notation duN_ε pour bien marquer sa dépendance vis à vis duεcar le ∃ vient après le ∀ε >0.

L'existence de ce Nε caractérise la convergence de la suite vers0. Si le contexte contient plusieurs suites, il peut être utile de faire gurer la suite dans le nom choisi pour cet entier. Par exemple pour une suite x= (xn)_n∈I, on le notera avec un double indiceNx,ε.

Exemples. La suite constante de valeur nulle converge vers 0, une suite stationnaire nulle à partir d'un certain rang converge vers0, une suite constante de valeur non nulle ne converge pas vers 0.

La suite _n¹

n∈N^∗ converge vers0. Voir la propriété Rest archimédien deAxiomatique du corps des réels.

Proposition 1. Soit(xn)_n∈I une suite de nombres réels :

(xn)_n∈I→0⇔(|xn|)_n∈I→0.

Preuve. Immédiat car la condition de convergence porte sur la valeur absolue des termes de la suite.

Proposition 2. Soitx= (xn)n∈I et y= (yn)n∈I deux suites de nombres réels égales à partir d'un certain rang.

La convergence vers0de l'une est équivalente à la convergence vers 0 de l'autre.

Preuve. Comme les deux suites jouent des rôles symétriques, il sut de montrer que la convergence de l'une entraîne la convergence de l'autre.

Supposons que(xn)n∈I converge vers0et montrons que (yn)n∈I converge vers0.

Il s'agit de montrer que, pour toutε >0, il existe un entierNy,εcaractéristique de la convergence dey.

D'après les hypothèses, il existe un indice entiern0 à partir duquel les suitesx et y ont les mêmes valeurs et il existe un entierNx,ε caractéristique de la convergence dexvers0. Il est alors immédiat que

∀k∈ I, k≥max(n0, Nx,ε)⇒ |yk| ≤ε.

L'existence de cet entiermax(n0, Nx,ε)prouve la convergence.

Proposition 3. Toute suite de nombres réels qui converge vers 0 est bornée.

Preuve. Soitx= (x_n)_n∈I une suite qui converge vers0. Il existeN₁(entier caractéristique de la convergence avec ε= 1) tel que,

∀k∈ I, k≥N₁⇒ |x_k| ≤1.

L'ensemble de nombres réels{xk tqk∈ I etk < N1} est ni (il contient au plusN1 éléments). Il admet donc un plus grand élémentM.

Montrons quemax(M,1) est un majorant de la suite|x|. Pour tous lesk∈ I,

|xk| ≤

(M sik < N1 (dénition deM)

1 sik≥N₁ (dénition deN₁)≤max(M,1).

Proposition 4. Toute suite extraite d'une suite de nombres réels qui converge vers0 converge vers0.

Preuve. Soitx= (xn)n∈I une suite qui converge vers 0 et(xn)n∈J avecJ partie innie de I une suite extraite.

Pour tout ε >0, soit N_ε l'entier caractéristique de la convergence dex. D'après la dénition de la convergence, N_εcaractérise aussi la convergence de la suite extraite.

∀ε >0,∃Nε∈Ntel que :∀n∈ J, n≥N ⇒ |xn| ≤ε (carn∈ I).

Proposition 5. Soit k entier xé (xn)_n∈N une suite dénie dans N. La suite (xn)_n∈N converge vers 0 si et seulement si(xn+k)_n∈Nconverge vers0.

Preuve. La suite (x_n+k)_n∈

N = (x_n)_n∈

Jk,+∞J est extraite de (x_n)_n∈

N. Donc d'après la proposition 4, (x_n)_n∈

converge vers0 entraîne(x_n+k)_n∈ N

Nconverge vers0.

Réciproquement, pour toutε >0, siN_εest un entier caractéristique de la convergence de (x_n+k)_n∈

N vers0. On peut vérier queNε+k caractérise la convergence de(xn+k)_n∈

N vers0.

Proposition 6. SoitI,J,J⁰ trois parties innies deNtelles que I=J ∪ J⁰ et(xn)_n∈I une suite de nombres réels alors :

(x_n)_n∈J →0 (xn)n∈J⁰ →0 )

⇒(xn)n∈I →0.

Preuve. Pour toutε >0, notonsN_J l'entier caractéristique de la convergence de(xn)_n∈J etN_J⁰celui caractérisant la convergence de(xn)_n∈J. Considérons

Nε= max(N_J, N_J⁰).

On vérie facilement qu'il caractérise la convergence de(xn)_n∈I.

Proposition 7. Soit(xn)n∈I une suite de nombres réels etJ une partie de I dont le complémentaire dansI est ni :

(x_n)_n∈J →0⇒(x_n)_n∈I→0.

Preuve. Soit n₀ un majorant du complémentaire (ni) deJ dans I. Pour tout n ∈ I, si n > n₀ alors n n'est pas dans ce complémentaire doncn ∈ J. Pour tout ε >0. SoitN_ε l'entier caractéristique de la convergence de (x_n)_n∈J, montrons que max(N_ε, n₀) caractérise la convergence vers0 de (x_n)_n∈I. En eet, pour tout n ∈ I, si n≥max(Nε, n0)alors

n≥n0⇒n∈ J (n≥N_εet n∈ J)⇒ |xn| ≤ε.

Proposition 8. La somme de deux suites qui convergent vers0 est une suite qui converge vers 0.

Preuve. On considère deux suites convergentesuet v. Pour toutε >0, il existe des entiersNu,^ε₂ et Nv,^ε₂ carac- térisant respectivement la convergence de uet de v. Soit mε = max(Nu,^ε₂, Nv,^ε₂)et vérions qu'il caractérise la convergence de la suiteu+v.

En eet, pour toutn≥mεdansI,

|un+vn| ≤ |un|

|{z}

≤^ε₂ carn≥N_{u, ε}

2

+ |vn|

|{z}

≤^ε₂ carn≥N_{v, ε}

2

≤ε.

Proposition 9. Le produit d'une suite bornée et d'une suite qui converge vers0 converge vers0.

Preuve. On considère une suite uqui converge vers 0 et une suite v bornée. Il existe alors V >0 majorant en valeur absolue de|v|. . Pour toutε >0, notonsmε=Nu,_V^ε avec les notations habituelles des entiers caractérisant la convergence de la suite|u|et vérions qu'il caractérise la convergence de la suiteuv.

En eet, pour toutn≥mεdansI,

|unvn| ≤ |un| |vn| ≤ ε v V ≤ε.

Remarque. On déduit des propositions précédentes que le produit de deux suites qui convergent vers 0 est une suite qui converge vers0.

2. Convergence

Dénition (Convergence vers un réel l). Une suite (x_n)_n∈I converge vers un réel l si et seulement si la suite (xn−l)_n∈I converge vers 0. On note

(xn)_n∈I→l.

Remarques. On peut formuler cette dénition de diverses manières équivalentes.

la diérence avec la suite constante de valeurl converge vers 0.

(avec desε)

(xn)n∈I→l⇔ ∀ε >0, ∃Nε∈Ntel que :∀n∈ I, n≥Nε⇒ |xn−l| ≤ε

⇔ ∀ε >0, ∃Nε∈Ntel que :∀n∈ I, n≥Nε⇒l−ε≤xn≤l+ε

⇔ ∀u < l,∀v > l, ∃Nu,v∈Ntel que :∀n∈ I, n≥Nu,v⇒u≤xn≤v Exemple. La suite ⁿ⁺¹_n

n∈N converge vers1. En eet elle est égale à (1)_n∈

N+ 1

n

n∈N

Dénition. On dira qu'une suite est convergente lorsqu'il existe un réel vers lequel elle converge. On dira qu'une suite est divergente lorsqu'elle n'est pas convergente.

Théorème 1 (Théorème de passage à la limite dans une inégalité). Soit(x_n)_n∈Iet(y_n)_n∈Ideux suites de nombres réels qui convergent respectivement versxety et telles que :

∀n∈ I :xn≤yn

alorsx≤y.

Preuve. En fait on va montrer que :

∀ε >0 :x−ε

2 ≤y+ε 2.

ou encore∀ε >0, x−y≤ε. Ceci entrainex≤y (voir raisonnement à la Cauchy dans Axiomatique du corps des réels) .

En eet, pour toutε > 0, d'après les convergences respectives, il existe des entiers N_x,^ε

2 et N_y,^ε

2 tels que, pour tous lesn∈ I :

n≥N_x,^ε

2 ⇒x−ε

2 ≤x_n

≤x+ε 2

n≥Ny,^ε₂ ⇒ x−ε

2 ≤

yn≤y+ε 2

CommeI est innie, il existe des entiersndansI et tels quen≥max(Nx,^ε₂, Ny,^ε₂). Pour de telsn, on a (en utilisant l'hypothèse d'inégalité entre les valeurs des suites) :

x−ε

2 ≤x_n ≤y_n≤y+ε 2. Ce qui démontre la propriété annoncée.

Remarque (unicité de la limite). Si(xn)_n∈I est une suite de nombres réels qui converge vers des réelslet l⁰ alors l=l⁰. En eet, il sut d'utiliser deux fois le théorème de passage à la limite dans une inégalité.

Remarque. Le théorème de passage à la limite n'assure que des inégalités larges. Exple avec0<_n¹.

En analyse, le théorème suivant (avec ses variantes pour les fonctions) est certainement le plus utilisé de tous.

Théorème 2 (Théorème d'encadrement). Soit(xn)_n∈I,(yn)_n∈I,(zn)_n∈I trois suites de nombres réels tels que :

∀n∈ I:xn≤yn ≤zn

Alors, la convergence des deux suites (xn)_n∈I et(zn)_n∈I vers le même nombre réell entraîne la convergence de (y_n)_n∈I versl.

Preuve. Le point important est que, avec les notations habituelles, le N = max(Nx,ε, Nz,ε)

convient (caractérise la convergence) et qu'il faut oublier des moitiés d'encadrement.

En eet, pour toutn∈ I, sin≥N, on a aussi

n≥Nε,x⇒ |xn−l| ≥ε ⇒l−ε≤xn

n≥Nε,z⇒ |zn−l| ≥ε ⇒zn≤l+ε xn≤yn≤zn







⇒l−ε≤yn≤l+ε⇒ |y−n−l| ≤ε

Proposition 10. Si une suite de nombres réels converge versx, la suite de ses valeurs absolues converge vers|x|. Preuve. Soit(xn)_n∈

Nla suite considérée. On peut écrire :||xn| − |x|| ≤ |xn−x|ce qui entraine le résultat avec le théorème d'encadrement.

Proposition 11. Soit (x_n)_n∈I et (y_n)_n∈I deux suites de nombres réels égales à partir d'un certain rang. La convergence vers un réell de l'une est équivalente à la convergence vers l de l'autre.

Preuve. Notonsxety les deux suites, elles jouent des rôles symétriques. Supposons que(xn)_n∈I converge versl. On peut alors écrirey−lcomme une somme

y−l= (y−x) + (x−l)

La suitey−xest stationnaire nulle donc elle converge vers 0et la suite x−l converge vers0 par hypothèse. La somme converge donc vers0d'après la proposition8 ce qui traduit la convergence dey versl.

Proposition 12. Toute suite convergente est bornée.

Preuve. Car toute suite convergente est la somme d'une suite constante (évidemment bornée) et d'une suite qui converge vers0 (donc bornée proposition3). Elle est donc bornée d'après la proposition2..

Proposition 13. Toute suite qui converge vers un nombre réel strictement positif est, à partir d'un certain rang, minorée par un nombre strictement positif. Toute suite qui converge vers un nombre réel non nul est, à partir d'un certain rang, minorée en valeur absolue par un nombre strictement positif.

Preuve. Soit(xn)_n∈I une suite qui converge versx >0. Pour toutε >0, il existenε tel que

∀k∈N, k≥n_ε⇒x−ε < x_k< x+ε Commex >0, on peut considérerε= ^x₂. Alorsx−ε= ^x₂ et k≥n^x

2 entrainekk> ^x₂.

Si la suite converge vers unxnon nul, on se ramène au cas précédent en considérant la suite des valeurs absolues qui converge vers|x|>0(prop10).

Proposition 14. Toute suite extraite d'une suite de nombres réels qui converge vers un réell converge versl. Preuve. C'est une conséquence de la dénition et de la propriété (proposition 4) analogue pour les suites qui convergent vers0.

Proposition 15. SoitI,J,J⁰ trois parties innies deNtelles queI=J ∪ J⁰ et(x_n)_n∈I une suite de nombres réels etl un nombre réel alors :

(x_n)_n∈J →l (xn)_n∈J⁰→l )

⇒(xn)_n∈I →l

Preuve. C'est une conséquence de la dénition et de la propriété (proposition 6) analogue pour les suites qui convergent vers0.

Exemple. La suite dénie par :

∀n∈N:un =





 n+ 1

n+ 3 sinest pair n+ 5

n+ 1 sinest impair converge vers1.

Proposition 16. Soit(xn)n∈I une suite de nombres réels, J une partie deI dont le complémentaire est ni et l un nombre réel :

(x_n)_n∈J →l⇒(x_n)_n∈J →l

Preuve. C'est une conséquence de la dénition et de la propriété (proposition 7) analogue pour les suites qui convergent vers0.

3. Opérations sur les suites convergentes

Les théorèmes sont formulés avec des suites dénies dansNmais ils pourraient l'être avec des suites dénies dans une partie innie deNseulement.

Proposition 17. Soit(an)_n∈

N et(bn)_n∈

N deux suites de nombres réels qui convergent respectivement versaetb. Soitλ∈R, alors :

λ(an)_n∈

N→λa, (an+bn)_n∈

N→a+b, (anbn)_n∈

N→ab (max(a_n, b_n))_n∈

N→max(a, b), (min(a_n, b_n))_n∈

N→min(a, b)

Preuve. La propriété relative à la somme est une conséquence de la propriété sur la somme de deux suites qui convergent vers 0 (proposition8) .

La propriété relative au produit vient d'une majoration obtenue en introduisant un terme croisé.

|anbn−ab| ≤ |anbn−anb+anb−ab| ≤ |an||bn−b|+|an−a||b|

On conclut en utilisant deux fois le résultat sur le produit d'une suite bornée par une suite qui converge vers0 (proposition9) puis celui sur la somme (proposition 8).

Pour les deux dernières opérations, on se ramène aux opérations précédentes et à la suite des valeurs absolues à l'aide de :

max(a_n, b_n) = 1

2(a_n+b_n) +1

2|an−b_n| min(a_n, b_n) =1

2(a_n+b_n)−1

2|an−b_n|

Proposition 18. Soit(an)_n∈

N une suite qui converge versl6= 0. Il existe alors un entier N tel que(an)_n≥N soit à valeurs non nulles. La suite

1 a_n

n≥N converge vers ¹_l. Preuve. On montre d'abord qu'il existeN0tel que(an)_n≥N

0 soit minorée par ^|l|₂. Il sut d'utiliser leN fourni par la dénition de la convergence avecε=^|l|₂. En eet :

|an−l| ≤ε⇒ ||an| − |l|| ≤ε⇒ |l| −ε

| {z }

=^|l|₂

≤ |an| ⇒ 1

|an| ≤ 2

|l|

La preuve repose sur l'inégalité suivante :

∀n≥N0,

1 a_n −1

l

= |an−l|

|a_n||l| ≤ 2

|l|²|an−l|

Pour toutε >0, la convergence versl fournit unN1tel que |an−l| ≤ ^|l|₂²εdès quen≥N1. L'inégalité du dessus justie que :

∀n∈N, n≥max(N0, N1)⇒

1 an

−1 l

= |an−l|

|an||l| ≤ 2

|l|²|an−l| ≤ε

La proposition précédente est un cas particulier d'un théorème que nous citons ici sans le démontrer car il repose sur la notion de fonction continue que nous n'avons pas encore précisée.

Théorème. SoitI un intervalle deR etl∈I. Soitf une fonction dénie dans I et continue en l. Soit(xn)_n∈

une suite à valeurs dansI qui converge vers l. Alors la suite(f(xn))_n∈ N

Nconverge versf(x).

Pour la proposition précédente, on considère la fonction inverset7→ ¹_t dans]0,+∞[ou]− ∞,0[suivant que l est strictement positif ou négatif. Cette fonction est continue dans tout l'intervalle c'est à dire en tous les points donc en particulier enl.

4. Divergences

Rappelons qu'une suite(x_n)_n∈Idiverge si et seulement si elle ne converge pas vers un nombre réel c'est à dire :

∀l∈R, (xn)_n∈I→l faux

On dénit deux modes particuliers de divergence pour des suites qui ne sont pas bornées : la divergence vers+∞et celle vers−∞. On dit aussi qu'une suite qui diverge vers+∞admet+∞comme limite. Idem avec−∞. Attention, il s'agit de modes de divergence très particuliers. Une suite divergente en général n'admet aucine limite (ni nie ni innie).

Dénition. On dira qu'une suite(x_n)_n∈I diverge vers +∞lorsque :

∀E∈R,∃NE tel que ∀n∈ I :n≥NE⇒E < xn

On dira qu'une suite(xn)_n∈I diverge vers −∞lorsque :

∀E∈R,∃NE tel que ∀n∈ I :n≥NE⇒xn< E

On regroupe la convergence et les divergences vers+∞ou−∞sous le vocabulaire admet une limite (nie ou innie). Il s'agit de modes très particuliers de divergence. Si vous considérez une suite quelquonque, elle n'admet pas de limite.

Dans les tableaux suivant sont rassemblées de bonnes hypothèses relativement à des opérations comprenant des suites avec des limites innies.

Prop de(x_n)_n∈I Prop de(y_n)_n∈I Prop de(x_n+y_n)_n∈I

minorée →+∞ →+∞

majorée → −∞ → −∞

Prop de(xn)_n∈I Prop de(yn)_n∈I Prop de(xnyn)_n∈I

minorée à partir d'un certain rang par un nombre>0. →+∞ →+∞

majorée à partir d'un certain rang par un nombre<0 → −∞ →+∞

majorée à partir d'un certain rang par un nombre<0 →+∞ → −∞

minorée à partir d'un certain rang par un nombre>0 → −∞ → −∞

Preuve. Montrons seulement les premières lignes de chaque tableau.

Supposons(xn)_n∈I minorée,(yn)_n∈I →+∞et montrons que (xn+yn)_n∈I→+∞. Traduisons les hypothèses (∃X ∈Rtq∀n∈ I, X≤xn) (∀E∈R,∃NE tq∀n∈ I, n≥NE⇒E≤yn).

LeNX+E permet de démontrer que(yn)_n∈I→+∞.

∀n∈ I, n≥N_E−X⇒E≤xn+yn carX≤xn etE−X ≤yn.

Supposons(xn)_n∈Iminorée à partir d'un certain rangRparX >0et traduisons comme au dessus(yn)_n∈I →+∞. Lemax(R, NE

X)permet de montrer que(xnyn)_n∈I →+∞.

La démonstration des autres cas constitue un bon exercice d'imitation.

Théorème (Variante du théorème d'encadrement). Soit(x_n)_n∈

Net(y_n)_n∈

N deux suites réelles telles que :

∀n∈N, x_n≤y_n alors :

((xn)_n∈

N→+∞ ⇒(yn)_n∈

N →+∞

(y_n)_n∈

N→ −∞ ⇒(x_n)_n∈

N → −∞

Preuve. Une conséquence immédiate des dénitions.

5. Méthodes

1. Pour démontrer qu'une suite converge

Elle est le résultat d'opérations exécutées sur des suites convergentes (éventuellement à partir d'un certain rang).

Elle coïncide à partir d'un certain rang avec une suite convergente.

Elle est encadrée par deux suites convergentes de même limite (théorème d'encadrement).

On peut extraire deux suites (dont les domaines recouvrent celui de la suite donnée) et convergent vers la même limite.

Elle vérie la dénition de la convergence avec∀ε >0, ∃nε· · ·. (il est assez rare d'avoir à le faire)

Si la valeur de la limite n'est pas un objectif, onutilise souvent aussi le caractère croissant majoré ou décroissant minioré qui est l'objet du paragraphe suivant.

2. Pour démontrer qu'une suite diverge

Pour démontrer une divergence vers +∞ ou −∞, majorer ou minorer par une suite dont on connait le comportement (variante du théorème d'encadrement).

Pour les autres divergences : trouver une conséquence de la convergence qui n'est pas réalisée.

Exemples. La suite((−1)ⁿ)_n∈

Nest divergente.

En eet, on peut extraire deux suites ((−1)ⁿ)_n∈2

N et ((−1)ⁿ)_n∈2

N+1 qui sont constantes de valeurs diérentes (respectivement 1 et −1). Elles convergent vers des réels distincts en contradiction avec la conséquence de la proposition précédente.

La suite((−1)ⁿn)n∈Nest divergente car elle n'est pas bornée.

III. Théorèmes d'existence de limites

1. Suites monotones

Théorème 3 (Théorème de convergence des suites monotones). Soit I une partie innie de N et (x_n)_n∈I une suite monotone. Alors :

si(x_n)_n∈I est croissante et majorée, elle converge vers sup{x_n, n∈ I}. si(xn)_n∈I est croissante et non majorée, elle diverge vers +∞.

si(xn)_n∈I est décroissante et minorée, elle converge versinf{xn, n∈ I}. si(xn)_n∈I est décroissante et non minorée, elle diverge vers−∞. Preuve. Ce théorème a été démontré dans la présentation axiomatique deR.

Exemples. 1. Série harmonique : minorée par regroupements de somme de2^k termes. Elle diverge vers+∞. 2. Convergence de l'hésitant fatigué (Borel). On considère une suite(x_n)_n∈

Ntelle quex_n=Pn

k=0(−1)^ku_k avec (un)_n∈

N suite à valeurs positives décroissante vers 0. La suite (xn)_n∈

N converge. En eet, on montre que (xn)_n∈2

Nest décroissante et(xn)_n∈2

N+1croissante. de plus,

∀(p, q)∈N², x2p+1≤x2q

Les deux suites extraites convergent et vers la même limite carx2n+1−xn =−un qui converge vers0. 3. Majoration par _k(k−1)¹ . La suite croissante

n

X

k=1

1 k²

!

n∈N

converge. On démontrera (dans divers problèmes) que sa limite est ^π₆². 4. Limite supérieure et limite inférieure d'une suite bornée.

Soit(xn)_n∈

N une suite bornée de nombres réels. Pour chaque naturel n, l'ensemble {xk, k≥n} est borné.

On note an sa borne inférieure et bn sa borne supérieure. On dénit ainsi deux suites (an)_n∈

N et (bn)_n∈

respectivement croissante et décroissante et vériantan ≤bn. Ces suites sont convergentes. Si on noteaetN

b les limites, on a a ≤b. On dit que aest la limite inférieure et que b est la limite supérieure de la suite (xn)_n∈N.

Théorème 4 (Théorème des segments emboités). Soit(In)n∈N une suite de segments emboités. C'est à dire que :

∀n∈N: ∃(an, bn)∈R² tels queIn= [an, bn] I_n+1⊂I_n

)

⇒ ∃(a, b)∈Rtq \

n∈N

In= [a, b].

Preuve. La conditionIn+1⊂In se traduit par :

an≤an+1≤bn+1≤bn

On en déduit que, pour tous les entiersnetp(en considérantmax(n, p):an≤bq.

La suite(an)_n∈N est donc croissante et majorée par n'importe quelbq. Elle converge vers la borne supérieure de ses valeurs (notéea) aveca≤bq pour tous les entiers q.

De même la suite(bn)n∈Nest décroissante et minorée par n'importe quelaq. Elle converge vers la borne inférieure de ses valeurs (notéeb) avecaq≤b pour tous les entiersq.

Commeb est un majorant de l'ensemble des valeurs de(an)n∈N, on obtient a≤b. Cela conduit à une premiere inclusion :

∀n∈N:a_n ≤a≤b≤b_n [a, b]⊂ \

n∈N

I_n

Réciproquement, considérons unxdans l'intersection de tous lesIn. Alors, pour tous les entiersn:an≤x≤b−n doncxest un majorant de l'ensemble des valeurs de(a_n)_n∈Net un minorant de l'ensemble des valeurs de(b_n)_n∈N. On en déduita≤x≤b ce qui prouve bien l'inclusion réciproque

\

n∈N

In⊂[a, b]

Dénition (suites adjacentes). On dit que deux suites(a_n)_n∈N et(b_n)_n∈Nsont adjacentes si et seulement si (an)_n∈Ncroissante et(bn)_n∈Ndécroissante.

pour toutn∈N: an≤bn. (bn−an)_n∈Nconverge vers0.

Proposition. Soit(an)_n∈Net(bn)_n∈Ndeux suites de nombres réels. Si(an)_n∈Nest croissante,(bn)_n∈Ndécroissante et si(an−bn)_n∈Nconverge vers0 alors les suites sont adjacentes.

Preuve. Il sut de vérier que a_n ≤b_n. C'est immédiat car(a_n)_n∈Ncroissante et (b_n)_n∈N décroissante entraine (bn−an)_n∈N décroissante. Or elle converge vers0 doncbn−an ≥0.

2. Suites bornées

Théorème 5 (Théorème de Bolzano-Weirstrass). De toute suite bornée, on peut extraire une suite convergente.

On peut formuler ce résultat autrement. Soit I une partie innie de Net (xn)n∈I une suite bornée de réels.

Il existe alors une partie innieJ de I telle que (x_n)_n∈J converge. Il n'y a aucune sorte d'unicité. Il existe en général plusieurs suites extraites qui convergent et elles convergent en général vers des réels diérents.

Preuve. Principe de démonstration par dichotomie. Le détail est explicitement hors du programme de mpsi.

On construit par récurrence une suite(Ik)_k∈

N de parties innies de I emboîtées les unes dans les autres et des suites adjacentes(ak)_k∈

Net (ak)_k∈

N de nombres réels. Pour tous lesk∈Nla propriété suivante doit être vraie :

∀n∈ Ik, xn∈[ak, bk].

Pourk = 0, on prend I0 =I. Comme la suite est bornée, il existe a0 et b0 tels que a0 ≤xn ≤b0 pour tous les n∈ I0.

Expliquons le passage dekà k+ 1.

Soitck le milieu de[ak, bk]. Décomposons l'ensembleIk des indices en deux sous-ensembles. D'un côté, les indices npour lesquelsak ≤xn≤ck, de l'autre, ceux pour lesquelsck≤xn≤bk. Il est possible que certainsnsoient dans les deux sous ensembles mais ce n'est pas génant. Ce qui est important c'est que tous lesnsont dans au moins un des deux sous-ensembles. Cela entraine que au moins un des deux sous-ensembles d'indices est inni. On dénit

Ik+1 comme l'un de ces sous-ensembles innis d'indices. Si c'est le premier, on poseak+1=ak, bk+1=ck, si c'est le second, on poseak+1=ck, bk+1=bk.

Avec cette construction, la propriété requise est bien vériée et les suites sont adjacentes par construction. La suite extraite s'obtient en considérant les indices

i₀= minI₀, i₁= minI₁\ {i₀}, i₂= minI₂\ {i₀, i₁}, · · ·

IV. Compléments

1. Traduction séquentielle de certaines propriétés

La proposition suivante est admise et citée ici pour mémoire car elle est souvent utilisée avec des fonctions simples. Elle sera démontrée dans la partie sur les fonctions continues.

Proposition. Soitf une fonction à valeurs réelles dénie dans un intervalleIeta∈I. La fonctionf est continue enasi et seulement si : pour toute suite(an)_n∈Nd'éléments deIqui converge versala suite(f(an))_n∈Nconverge versf(a).

La proposition suivante est une conséquence de la précédente.

Proposition. Soitf une fonction continue dans un intervalleIet(u_n)_n∈

Nune suite d'éléments deIqui converge versa∈I en vériant

∀n∈N, u_n+1=f(u_n).

Alorsa est un point xe def c'est à dire f(a) =a. Preuve. D'après la proposition précédente, la suite(un)_n∈

N converge vers f(a). Or comme un+1 = f(un), c'est aussi la suite extraite(an)_n∈

N^∗. Elle converge donc aussi versa. Par unicité de la limite :f(a) =a.

On rappelle qu'une partieAdeRest dite dense dansRsi et seulement si, pour tout intervalleI, l'intersection A∩I est non vide.

Proposition 19. Une partie A de R est dense dans R si et seulement si tout réel est la limite d'une suite convergente d'éléments deA.

Preuve. Supposons queA est dense. Pour toutx∈Retn∈N^∗,

x− 1 n, x+ 1

n

∩A6=∅ ⇒ ∃an ∈Atqx− 1

n ≤a_n≤x+1 n. D'après le théorème d'encadrement, la suite(a_n)_n∈

N converge versx.

Réciproquement, supposons que tout réel est la limite d'une suite d'éléments de A. Considérons un intervalle ouvertI non réduit à un point mais quelconque. Soit x∈ I. Il existe alors un α >0 tel que ]x−α, x+α[ ⊂I. Par hypothèse, il existe une suite(an)_n∈

Nd'éléments deA qui converge versx. Par dénition de la convergence, il existe unN à partir duquel lesan sontα-proches dexdonc dansI ce qui prouveA∩I6=∅.

Exemple avec les nombres décimaux et les approximations par excès ou par défaut d'un réel.

Proposition 20. SoitX une partie non vide de R. Si X est majorée, il existe une suite (xn)_n∈

N d'éléments de X qui converge vers supX.

SiX n'est pas majorée, il existe une suite(xn)_n∈Nd'éléments de X qui diverge vers+∞. Preuve. SupposonsX majorée et notonss= supX.

Pour toutn∈N^∗, le réels−_n¹ n'est pas un majorant de X. En eet sest le plus petit des majorants deX ets n'est pas inférieur ou égal às−_n¹. On en déduit

∃an ∈Atqs− 1

n < an ≤s.

On en déduit que(an)_n∈N∗ converge versspar le théorème d'encadrement.

2. Suites complexes

Dans toute cette section, le symboleI désigne une partie innie deN.

Dénition. On dira qu'une partieΩdeCest bornée si et seulement si il existe un réelR >0 tel que

∀z∈Ω :|z| ≤R

Une suite à valeurs complexes est dite bornée lorsque l'ensemble de ses valeurs est une partie bornée deC.

Remarques. 1. Une partie deCest bornée lorsqu'elle est contenue dans un certain disque centré à l'origine.

2. Une suite à valeurs complexes(zn)_n∈I est bornée si et seulement si il existe un réelRtel que :

∀n∈ I:|zn| ≤R

Dénition. Une suite à valeurs complexes(zn)n∈I converge vers un nombre complexezsi et seulement si la suite réelle(|zn−z|)n∈I converge vers0. On notera

(z_n)_n∈I→z Proposition.

(z_n)_n∈I →z⇒(|z_n|)_n∈I → |z|

Toute suite convergente à valeurs complexes est bornée.

Proposition. Soit(zn)_n∈I et(z_n⁰)_n∈I deux suites à valeurs complexes qui convergent respectivement verszetz⁰. Soitλ∈C Alors :

(zn)_n∈I→z (zn+z⁰_n)_n∈I →z+z⁰ λ(zn)_n∈I→λz (znz⁰_n)_n∈I→zz⁰ Preuve. Les résultats se déduisent des propriétés des suites réelles et des relations :

|zn−z|=|zn−z|

|λzn−λz|=|z||zn−z|

|(zn+z⁰_n)−(z+z⁰)| ≤ |zn−z|+|z_n⁰ −z⁰|

|(znz_n⁰)−(zz⁰)| ≤ |z_n⁰||zn−z|+|z||z_n⁰ −z⁰|

Proposition. Soit(zn)n∈N une suite de nombres complexes qui converge versz6= 0. Il existe alors un entierN0

tel quez_n6= 0pour n≥N₀ et(_z¹

n)_n≥N0 converge vers ¹_z.

Proposition. La suite à valeurs complexes(z_n)_n∈I converge versz si et seulement si : ((Re(z_n))_n∈I→Rez

(Im(zn))_n∈I→Imz

Preuve. Si on suppose la convergence de la suite complexe, on utilise la convergence de la suite conjuguée puis les opérations pour obtenir les convergence des suites de parties réelles et imaginaires.

(Re(zn))_n∈I =1

2(zn)_n∈I+1

2(zn)_n∈I (Im(zn))_n∈I = 1

2i(zn)_n∈I− 1

2i(zn)_n∈I

Dans l'autre sens, si on suppose les convergences des suites de parties réelles et imaginaires, on obtient la suite complexe par combinaison :

(zn)_n∈I= (Re(zn))_n∈I+i(Imzn)_n∈I

Théorème (Théorème de Bolzano-Weirstass pour les suites complexes). De toute suite bornée à valeur complexe, on peut extraire une suite convergente.

Preuve. Soit(zn)n∈Iune suite bornée à valeurs complexes. Comme, pour tous lesn,|Rezn| ≤ |zn|et|Rezn| ≤ |zn|, les suites de parties réelles et imaginaires sont des suites bornées de nombres réels.

Appliquons le théorème de Bolzano-Weirstrass à la suite des parties réelles. Il existe donc une partie innieJ1de I telle que(Re(z_n))_n∈J1 converge.

La suite(Im(z_n))_n∈J1est encore une suite bornée de nombre réel. On peut appliquer une deuxième fois le théorème de Bolzano-Weirstrass. Il existe une partie innieJ₂ deJ₁ telle que(Im(z_n))_n∈J2 converge.

La suite(Re(z_n))_n∈J2 est convergente car elle est extraite de (Re(z_n))_n∈J1. Ainsi les deux suites(Re(z_n))_n∈J2 et (Im(z_n))_n∈J2 convergent ce qui assure la convergence de(z_n)_n∈J2.

Le théorème de Bolzano-Weirstrass pour les suites complexes joue un rôle capital dans la démonstration du théorème de d'Alembert.

3. Suites particulières

Pour certaines suites dénies par récurrence, on sait exprimer un terme d'indicenarbitraire.

1. Suites arithmétiques (un)_n∈

Narithmétique de raisonasi et seulement siun+1=un+apour tous lesn. p≤n⇒un= (n−p)a+up

2. Suites géométriques (un)_n∈

Ngéométrique de raisonasi et seulement siun+1=aun pour tous les n. p≤n⇒un=a^n−pup

3. Suites arithmético-géométriques Une suite (u_n)_n∈

N est dite arithmético-géométrique si et seulement si il existeaet b tels queu_n+1=au_n+b pour tous lesn.

Pour trouver une expression du terme général d'une telle suite, on se ramène une suite géométrique en soustrayant la relation caractérisant le point xec

u_n+1= au_n+b c= ac+b

)

⇒un+1−c=un−c⇒un=aⁿ(u0−c) +c

4. Suites vériant une relation de récurrence linéaire homogène d'ordre 2

Il s'agit des suites(xn)_n∈Npour lesquelles il existea,b,c dansK(égal àRouC) tels que, pour tous lesn, xn+2=axn+1+bxn

Il existe alors deux suites particulières(u_n)_n∈

N et (v_n)_n∈

N telles que, si(x_n)_n∈

Nvérie la relation de récurrence, il existeλetµtels que

(x_n)_n∈

N=λ(u_n)_n∈

N+µ(v_n)_n∈

N

Cette base de suites est donnée par le tableau suivant

Racines éq. carac. (un)_n∈

N (vn)_n∈

N

u6=v (uⁿ)_n∈N (vⁿ)_n∈N

uracine double (uⁿ)_n∈

N (nuⁿ)_n∈

N

cas réel et rac. conj. non réellesρe^±iθ (ρⁿcosnθ)_n∈

N (ρⁿsinnθ)_n∈

N

Remarque. Ce qui prouve que toute solution est une telle combinaison linéaire c'est qu'il est possible (sytème de Cramer) de résoudre le système assurant l'égalité pour les deux valeurs initiales. Comme les deux suites vérient la même relation de récurrence, l'égalité se propage et les deux suites sont égales.

Bien que le programme ne le demande pas, on peut traiter aussi des relations de récurrence avec un second membre (non homogène) par une méthode analogue à celle des équations diérentielles.

Soira,b6= 0des nombres réels ou complexes et(h_n)_n∈

Nune suite donnée. On considère les suites(x_n)_n∈

Nvériant :

∀n∈N, x_n+2+ax_n+1+bx_n=h_n (R) Lorsque (h_n)_n∈

N est l'analogue du polynôme-exponentiel des équations diérentielles c'est à dire qu'il existe un polynômeP et un nombreλtels que

∀n∈N, hn=P(n)λⁿ On peut trouver une solution particulière(un)_n∈

NdeRsous la forme

∀n∈N, un=Q(n)λⁿ

avecQde même degré que P si λn'est pas racine de l'équation caractéristiquez²+az+b = 0. Si λest racine simple il fautnQ(n)etn²Q(n)siλest racine double. On trouve cette solution particulière en formant un système d'équations linéaires. L'ensemble des solutions de(R)est obtenu en ajoutant l'ensemble des solutions de l'équation homogène à cette solution particulière.

5. Exemples de suites vériant une relation de récurrence non linéaire

Il s'agit de suites vériant une relationun+1=f(un). Des exemples seront donnés plus tardSuites dénies par récurrenceaprès les résultats sur les fonctions dérivables. Le seul point à retenir ici est

f continue enx (x_n)_n∈

N→x xn+1=f(xn)







⇒f(x) =x