Second degré ES 1
Second degré et problèmes
Vérifier les acquis n°1 – 2 – 3 – 4 – 5 p 16
I. Fonctions polynômes de degré 2 Définition
On dit qu'une fonction définie sur R est une fonction polynôme de degré 2 s'il existe trois réels , et avec 0 tels que pour tout nombre réel .
Il s’agit de la forme développée de
Activités n°1 – 2 p 17 A. Forme canonique
Propriété et définition
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur R par ( ) peut s’écrire : où
et Cette écriture est appelée la forme canonique de .
Vérification
Pour tout nombre réel , ( ) Or (
)
donc (
)
Ainsi, [(
)
]= [(
)
] Finalement avec
et
d’après la forme canonique.
Propriété
est une fonction polynôme de degré 2 de forme canonique
Dans un repère, la courbe représentative de est une parabole de sommet ( qui admet pour axe de symétrie la droite d’équation
Exemple
et Donc la forme canonique de est
La parabole représentative de dans un repère a pour sommet
B. Forme factorisée [( ) ] Définition
Le nombre , noté , est appelé discriminant de .
Second degré ES 2 Propriété
est une fonction définie sur R par Si , alors f(x) admet pour forme factorisée :
= √
√
Démonstration [(
)
] [(
) (√
) ] car [(
√
) (
√
)] √
) √
)
Voir exercice résolu 1 p 19
Exercices n°11 à 13 – 15 – 17 à 23 p 24 - 25 Problèmes n°24 – 25 – 27 – 28 p 25
II. Equations et inéquations du second degré A. Equation avec 1er cas :
L’équation est équivalente à √
) √
) L’équation a deux solutions distinctes
= √
√
et = √
√
2ème cas :
L’équation s’écrit (
) L’équation a une seule solution
3ème cas :
donc pour tout nombre réel x, (
)
L’équation n’a pas de solution.
Remarque et vocabulaire
Les solutions de l’équation f(x)=0 sont aussi appelées racines ou zéros de l’équation .
Lorsque =0, l’unique solution x est appelée racine double de la fonction polynôme.
Exercices n°29 à 35 p 26
Second degré ES 3 B. Signe du trinôme avec
Propriété
Remarque
On peut retenir cette propriété, en disant que « est toujours du signe de , sauf entre les racines lorsque »
