Second degré S 1
Le second degré
Pour reprendre contact n°1 – 2 – 3 – 4 p 21
I. Fonctions polynômes de degré 2 Définition
On dit qu'une fonction définie sur R est une fonction polynôme de degré 2 s'il existe trois réels , et avec 0 tels que pour tout nombre réel .
Il s’agit de la forme développée de
Exercices n°13 – 14 p 34
A. Forme canonique Propriété et définition
Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur R par ( ) peut s’écrire : où
et Cette écriture est appelée la forme canonique de .
Démonstration
Pour tout nombre réel , ( ) Or (
)
donc (
)
Ainsi, [(
)
]= [(
)
] Finalement avec
et
d’après la forme canonique.
Exercices n°31 – 32 – 33 – 34 p 35 – 36
B. Variations et courbe représentative Propriété
est une fonction polynôme de degré 2 de forme canonique
Dans un repère, la courbe représentative
de est une parabole de sommet ( qui admet pour axe de symétrie la droite d’équation
Exercices n°15 – 16 – 25 – 26 – 27 – 28 p 34 - 35
Second degré S 2 II. Equations du second degré
A. Discriminant d’une fonction polynôme de degré 2 Définition
Le nombre , noté , est appelé discriminant de .
Ainsi, pour tout nombre réel ,
[
]
B. Résolution de l’équation 1er cas :
L’équation est équivalente à
C’est-à-dire √
√
=0 L’équation a deux solutions distinctes
= √
√
et = √
√
2ème cas :
L’équation s’écrit L’équation a une seule solution
3ème cas :
donc pour tout nombre réel x,
L’équation n’a pas de solution.
Propriété
Second degré S 3 Remarque et vocabulaire
Les solutions, lorsqu’elles existent, sont les abscisses des points d’intersection de la courbe représentative de f et de l’axe des abscisses.
Les solutions de l’équation f(x)=0 sont aussi appelées racines ou zéros de la fonction polynôme f.
Lorsque =0, l’unique solution x est appelée racine double de la fonction polynôme.
Exercices n°35 – 36 – 37 – 38 p 36 Exercices n°44 – 45 – 46 – 47 p 36
III. Signe d’un trinôme
Une fonction polynôme de degré 2 est aussi appelée trinôme de degré 2 ou plus simplement trinôme.
Activité n°4 p 23
A. Signe de 1er cas :
Pour tout nombre réel , où et sont les racines de la fonction polynôme f.
On obtient le signe de grâce au tableau ci-dessous (on suppose ).
Signe de Signe de Signe de
2ème cas :
Pour tout nombre réel , où est la racine double de la fonction polynôme f.
Le signe de est celui de sauf pour où s’annule.
3ème cas :
Pour tout nombre réel , [
]. Or
donc le signe de est celui de .
Propriété
Remarque
On peut retenir cette propriété, en disant que « est toujours du signe de , sauf entre les racines lorsque »
Exercices n°48 – 49 p 37
0
0 0
0
Second degré S 4 B. Inéquations du second degré
Une inéquation du second degré à une inconnue x est une inéquation qui peut s’écrire sous l’une des formes suivantes :
Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du trinôme
