Corrélateur courant-courant dans le domaine temporel d’une jonction tunnel mesuré par spectroscopie micro-onde

temporel d’une jonction tunnel mesur´ e par spectroscopie micro-onde.

par

Karl Thibault

M´emoire pr´esent´e au d´epartement de physique en vue de l’obtention du grade de maˆıtre `es sciences (M.Sc.)

FACULT ´E des SCIENCES UNIVERSIT ´E de SHERBROOKE

Sherbrooke, Qu´ebec, Canada, 19 juin 2014

le jury a accept´e le m´emoire de M. Karl Thibault dans sa version finale.

Membres du jury

Professeur Bertrand Reulet Directeur de Recherche D´epartement de physique

Professeur Ren´e C ˆot´e Membre interne D´epartement de physique

Professeur Denis Morris Pr´esident rapporteur D´epartement de physique

A ma belle, mes parents et mes amis`

Ce m´emoire rapporte les premi`eres mesures de fluctuations de courant ´emises par une jonction tunnel sur une large bande passante, de 0.3 `a 13 GHz, `a une temp´erature tr`es basse de 35 mK. Cela nous a permis de r´ealiser la spectroscopie (i.e.

mesurer la d´ependance en fr´equence) du bruit thermique (tension de polarisation nulle, temp´erature variable), bruit de grenaille (basse temp´erature, tension de biais variable) et bruit photo-assist´e (tension de polarisation AC). Gr ˆace `a la large bande passante de nos mesures, nous pouvons calculer le corr´elateur courant-courant dans le domaine temporel. Nous observons le d´eclin thermique de ce corr´elateur ainsi que ses oscillations de p´eriodeh/eV, une cons´equence directe du principe de Pauli sur le transport quantique.

This thesis reports the first measurements of the current fluctuations emitted by a tunnel junction with a very wide bandwidth, from 0.3 to 13 GHz, down to very low temperatureT=₃₅mK. This allowed us to perform the spectroscopy (i.e., measure the frequency dependence) of thermal noise (no dc bias, variable temperature), shot noise (low temperature, variable dc voltage bias) and photon-assisted noise (ac bias). Thanks to the very wide bandwidth of our measurement, we can deduce the current-current correlator in time domain. We observe the thermal decay of this correlator as well as its oscillations with a periodh/eV, a direct consequence of the effect of the Pauli principle in quantum transport.

iii

Je tiens d’abord `a remercier mon directeur de recherche Bertrand Reulet pour son soutien durant les deux derni`eres ann´ees. J’ai toujours cru qu’un bon directeur de recherche en physique se devait d’ˆetre un mentor pour ses ´etudiants, en leur apprenant une m´ethode de recherche scientifique. Bertrand a su remplir ce r ˆole pour moi et je le remercie pour toutes les connaissances que j’ai acquises durant ma maˆıtrise. Je veux aussi remercier l’assistant de recherche Christian Lupien, une source de conseils et d’informations in´epuisables sur le fonctionnement des appareils dans le laboratoire. Je tiens `a souligner le travail des techniciens en salle blanche du D´epartement de physique qui font un excellent travail pour garder tous les appareils en bon ´etat de fonctionnement, tout sp´ecialement Christian Sarra-Bournet qui m’a aid´e dans le d´eveloppement de la recette de fabrication des jonctions tunnel. Merci aussi `a tous mes coll`egues pour les nombreuses discussions pertinentes (ou pas !) qui m’en ont tellement appris. Finalement, je tiens `a remercier mes parents qui m’ont toujours encourag´e `a poursuivre mes ´etudes. Je ne me serais pas rendu ici sans leur soutien inconditionnel.

iv

Sommaire ii

Introduction 1

0.1 Probl´ematique . . . 2

0.2 La jonction tunnel . . . 5

1 Th´eorie des fluctuations 6 1.1 Repr´esentation math´ematique dans le domaine temporel . . . 6

1.2 Diagrammes d’´energie . . . 8

1.3 Domaine fr´equentiel . . . 12

1.4 Op´erateur Courant . . . 14

1.5 Densit´e spectrale des fluctuations de courant . . . 17

1.5.1 Densit´e spectrale `a l’´equilibre . . . 18

1.5.2 Densit´e spectrale hors ´equilibre . . . 19

1.5.3 Densit´e spectrale des fluctuations photo-assist´ees . . . 21

1.6 Domaine temporel . . . 22

1.7 Autre corr´elateur dans le domaine temporel : corr´elateur charge-charge 23 2 Fabrication 24 2.1 Design des jonctions tunnel . . . 24

2.2 Photolithographie . . . 26

2.2.1 Shadow Evaporation. . . 27

3 Montage exp´erimental 32 3.1 Porte-´echantillon . . . 32

3.2 Instruments de laboratoire . . . 34

v

3.2.1 Cryostat `a dilution . . . 35

3.2.2 Instruments d’excitation, instruments de mesure et compo- sants g´en´eraux . . . 35

3.3 Montages . . . 40

3.3.1 Montage de mesure de r´esistance . . . 40

3.3.2 Montage complet . . . 40

3.4 Filtrage . . . 42

3.5 Calibration . . . 42

4 R´esultats et analyse 46 4.1 Caract´erisation de l’´echantillon . . . 46

4.2 Mesures en fr´equence . . . 47

4.2.1 Densit´e spectrale du bruit thermique . . . 47

4.2.2 Densit´e spectrale du bruit avec excitation DC . . . 49

4.2.3 Densit´e spectrale du bruit photo-assist´e . . . 50

4.2.4 Comparaison des comportements en fr´equence . . . 52

4.3 Domaine temporel . . . 53

4.3.1 Bruit thermique . . . 54

4.3.2 Bruit avec excitation DC . . . 58

4.3.3 Bruit avec excitation AC . . . 61

4.3.4 Corr´elateur charge-charge . . . 63

Conclusion 66

A Recette de fabrication 68

1 Exemple d’un signal bruit´e. . . 2

2 R´egion m´esoscopique avec deux contacts. . . 3

1.1 Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel `a l’´equilibre. . . 8

1.2 Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel polaris´ee en DC.. . . 10

1.3 Syst`eme m´esoscopique `a deux ports. . . 14

1.4 Limites de la densit´e spectrale `a l’´equilibre. . . 18

2.1 Sch´ematique d’une jonction tunnel.. . . 25

2.2 Dessin de jonction tunnel pour photolithographie. . . 27

2.3 Photographie d’un pont de r´esine suspendu prise au microscope ´ electronique. . . 28

2.4 Sch´ema ´etape par ´etape de la fabrication d’une jonction tunnel. . . . 29

2.5 Sch´ema du pont de r´esine permettant de calculer l’angle d’´evaporation. 30 2.6 Image d’une jonction tunnel prise au microscope ´electronique. . . 31

3.1 Jonction tunnel mont´ee sur un porte-´echantillon (ancien design). . . 33

3.2 Jonction tunnel mont´ee sur un porte-´echantillon. . . 34

3.3 Sch´ema d’un bias-tee. . . 35

3.4 Sch´ema d’un coupleur directionnel. . . 37

3.5 Sch´ema d’un mixeur. . . 39

3.6 Montage permettant de mesurer la r´esistance de l’´echantillon. . . 40

3.7 Montage exp´erimental. . . 41

3.8 Mesure directe de la puissance `a la sortie du montage exp´erimental. 43 3.9 D´ependance en fr´equence du gain total du syst`eme de mesure.. . . . 44

3.10 Temp´erature de bruit ajout´ee par les amplificateurs. . . 44

vii

4.1 Densit´e spectrale des fluctuations `a l’´equilibre (V=0) pour diff´erentes temp´eratures. . . 47 4.2 Limites de la densit´e spectrale `a l’´equilibre. . . 48 4.3 Densit´e spectrale des fluctuations `a l’´equilibre mise `a l’´echelle. . . 49 4.4 Densit´e spectrale des fluctuations hors ´equilibre (V 6=0) pour diff´erents

voltages de biais DC. . . 50 4.5 Densit´e spectrale des fluctuations hors ´equilibre (Vac 6= 0) pour

diff´erents voltages de biais AC. . . 51 4.6 Comparaison des d´ependances en fr´equence pour les trois excitations

pourTN(0)₌₁₅₀mK. . . 52 4.7 Forme de la fenˆetre appliqu´ee aux mesures de densit´e spectrale des

fluctuations de courant modifi´ees avant leur transform´ee de Fourier. 54 4.8 Fenˆetrage de la densit´e spectrale `a l’´equilibreST(ω,T)<sub>.</sub> . . . 56 4.9 Corr´elateur courant-courant temporel `a l’´equilibre. . . 57 4.10 Corr´elateur courant-courant temporel `a l’´equilibre mis `a l’´echelle. . . 58 4.11 Fenˆetrage de la densit´e spectrale lors de l’application d’un voltage de

biais DC. . . 61 4.12 Corr´elateur courant-courant temporel hors-´equilibre (V 6=0). . . 62 4.13 Corr´elateur courant-courant temporel hors-´equilibre (V 6=0) mis `a

l’´echelle. . . 62 4.14 Modulation du corr´elateur courant-courant temporel hors-´equilibre

(V 6=0). . . 63 4.15 Corr´elateur charge-charge pour une temp´erature de 35 mK. . . 64

Depuis les premi`eres exp´eriences scientifiques, les fluctuations (ou le bruit) sont reconnues pour ˆetre les ennemis num´ero 1 des exp´erimentateurs. En effet, celles-ci brouillent l’information contenue dans les signaux que les scientifiques cherchent `a mesurer. La figure 1montre bien l’effet n´efaste que les fluctuations peuvent avoir lorsqu’on cherche `a mesurer un signal particulier. C’est pourquoi le bruit est en g´en´eral att´enu´e le plus possible afin de mieux distinguer le signal voulu.

Dans ce m´emoire, ce sont les fluctuations du courant qui seront ´etudi´ees. Dans les dispositifs ´electroniques de pointe qui composent l’essentiel de nos ordinateurs, t´el´ephones portables ou automobiles, r´eduire les fluctuations de courant revient `a augmenter la fiabilit´e. Toutefois, d’un point de vue fondamental, ces fluctuations proviennent du mouvement des ´electrons eux-mˆemes. En 1998, Rolf Landauer, un pionnier de la physique m´esoscopique, affirma queLe bruit est le signal !dans son article publi´e dans la c´el`ebre revueNature[1]. Cette fameuse phrase cherchait

`

a faire r´ealiser `a la communaut´e que de pr´ecieuses informations pouvaient ˆetre tir´ees des fluctuations. Depuis, les fluctuations de courant ont ´et´e exploit´ees de diverses fac¸ons afin de mieux comprendre le transport ´electronique `a travers de nombreux dispositifs. Par exemple, ces fluctuations peuvent ˆetre utilis´ees pour mesurer la charge des porteurs dans l’effet Hall fractionnaire [2]. Elles peuvent aussi servir de thermom`etre primaire [3]. Dans ce m´emoire, nous explorons le transport

´

electronique `a travers une jonction tunnel sur une large bande de fr´equence. Cela nous permet de sonder tous les r´egimes. Le r´egime quantique o `u la fr´equence de d´etection est l’´energie la plus ´elev´ee, le r´egime classique o `u la tension de polarisation repr´esente l’´energie dominante, le r´egime thermique o `u la temp´erature domine tous les autres effets et les transitions interm´ediaires `a tous ces r´egimes. Finalement, les fluctuations dans le domaine temporel sont ´etudi´ees afin de mieux comprendre la

1

F i g u r e 1 – Exemple d’un signal bruit´e.Le signal parfait en bleu et le mˆeme signal bruit´e en vert.

fac¸on dont les essais de passage des ´electrons `a travers une jonction tunnel sont corr´el´es.

0.1 Probl´ematique

Lors de l’´etude d’un conducteur de taille m´esoscopique, o `u les effets quantiques commencent `a apparaˆıtre, il est crucial de consid´erer les contacts qui le connectent au monde ext´erieur. En effet, les ´electrons qui traversent le conducteur doivent y ˆ

etre inject´es et ˆetre r´ecup´er´es ensuite par des contacts. Nous consid´ererons toujours une g´eom´etrie `a deux contacts,gauche (L) etdroite (R). Ceux-ci sont de taille macroscopique, ce qui implique que le conducteur m´esoscopique n’est qu’une

faible perturbation pour les contacts. Ils sont donc toujours caract´eris´es par leur

´etat `a l’´equilibre. Ainsi, les contacts agissent comme des r´eservoirs caract´eris´es par une distribution de Fermi-Dirac o `u la temp´eratureT_L,Ret le potentiel chimiqueμ_L,R sont fix´es. Il est crucial de pr´eciser que ces contacts sont consid´er´es sans r´eflexion, i.e.lorsqu’un ´electron ´emis par un contact r´eussi `a traverser la r´egion m´esoscopique, il est n´ecessairement absorb´e par l’autre contact. Il faut `a pr´esent caract´eriser le transport `a l’int´erieur de la r´egion m´esoscopique.

Puisque le conducteur est de taille m´esoscopique, le mouvement des ´electrons qui le traverse doit ˆetre quantifi´e. On introduit alors la notion de mode ou ca- nal de transport quantique `a travers lequel l’´electron peut traverser la r´egion m´esoscopique et dans lequel son ´energie est quantifi´ee. Ces canaux sont tous ind´ependants, nous permettant de faire les calculs pour un seul canal puis de sommer sur la totalit´e des canaux. Ensuite, puisque les contacts sont sans r´eflexion, on introduit l’id´ee suivante : un ´electron ´emis par un contact vers le conducteur a une probabilit´eT<sub>n</sub> d’ˆetre transmis jusqu’`a l’autre contact par le canalnet une probabilit´e(1−T_n)d’ˆetre r´efl´echi par le canaln. Ces probabilit´es de transmission sont les seules quantit´es diff´erenciant une r´egion m´esoscopique d’une autre. La figure2montre ce concept

Figure 2 – R´egion m´esoscopique avec deux contacts.La probabilit´e de transmission des ´electrons provenant du contact de gauche est repr´esent´ee par des fl`eches.

par une image simple pour un seul canal de probabilit´e T. La conductance d’un tel canal est d´etermin´ee parG_n =G₀T_no `u G₀ = ^e_h² est le quantum de conductance. La conductance totale de la r´egion est doncG =∑_nG_n.

Ensuite, il est possible d’estimer le temps moyen entre chaque essai de passage d’un ´electron `a travers une telle r´egion m´esoscopique, pour un canaln. Le courant

´

etant le nombre d’´electrons transmis par unit´e de temps, on obtient hin(t)i =GnV = ^e

τTn ⇒τ = ^h

eV (1)

puisqueGn = ^e_h²Tn =G₀Tnest la conductance de la r´egion. On voit que les ´electrons essaient de passer en moyenne `a un intervalle τ = h/eV dans chaque canal de conduction.

De plus, la th´eorie du transport quantique nous dit que ce temps entre chaque essai n’est pas seulement moyen, mais r´egulier,i.e.un ´electron essaie de traverser `a chaqueh/eV. Lesovik et Levitov ont pr´edit th´eoriquement le temps caract´eristique entre chaque essai de passage des ´electrons `a travers une r´egion m´esoscopique dans leur papier de 1994 [4]. Cet article explique que les essais de passage des ´electrons `a travers la r´egion m´esoscopique sont grandement corr´el´es et presque p´eriodiques, une affirmation qui n’a jusqu’ici pas ´et´e prouv´ee exp´erimentalement. Cette p´eriodicit´e doit apparaˆıtre dans le corr´elateur courant-courantC(t) = hi(τ)i(τ+t)i<sub>qui d´epend</sub> seulement de la diff´erence de temps tentre les deux courants. L’origine de cette corr´elation est li´ee au principe d’exclusion Pauli, qui empˆeche deux ´electrons de passer en mˆeme temps. Les essais se succ`edent donc de mani`ere presque p´eriodique, chaque h/eV. Les auteurs proposent ensuite une exp´erience qui permettrait de d´etecter ce temps caract´eristique gr ˆace `a l’effet Aharonov-Bohm non-stationnaire.

Ici, notre objectif est de r´ealiser une exp´erience diff´erente et plus directe afin de le d´etecter pour la premi`ere fois.

Une fac¸on de sonder le domaine temporel est de r´ealiser des mesures dans le domaine des fr´equences puis d’effectuer une transform´ee de Fourier inverse afin de retrouver le corr´elateur temporel voulu :C(t). La quantit´e que l’on doit mesurer dans le domaine fr´equentiel se nomme la densit´e spectrale des fluctuations. Cette technique est plus pratique que mesurer directement dans le domaine temporel, car plusieurs instruments tr`es performants permettent de telles mesures dans le domaine fr´equentiel. Nous r´ealisons donc la spectroscopie de la densit´e spectrale des fluctuations de courant sur une large bande de fr´equences, afin de pouvoir en faire la transform´ee de Fourier.

Un autre but vis´e est de mesurer la d´ependance en fr´equence de diff´erents types

de fluctuations que nous explorons en d´etail plus tard : les fluctuations thermiques, de grenaille et photo-assist´ees. La technique spectroscopique nous permet de r´ealiser cette exp´erience qui n’a jamais ´et´e r´ealis´ee auparavant.

0.2 La jonction tunnel

Une jonction tunnel est, tout simplement, deux contacts m´etalliques s´epar´es par une barri`ere isolante. Cette barri`ere est habituellement une couche d’oxyde de quelques nanom`etres. La jonction tunnel est donc un exemple de r´egion m´esoscopique d´ecrite ci-dessus. Puisque le transport ´electronique ne peut se faire de fac¸on clas- sique `a travers la barri`ere, les ´electrons doivent traverser par effet tunnel. Cet effet quantique est li´e `a la nature ondulatoire des ´electrons. Dans le r´egime classique de conduction, le courant peut ˆetre vu comme une suite al´eatoire d’impulsions non corr´el´ees. De plus,Tn ₁pour tous les canaux dans le cas d’une barri`ere tunnel. Ces deux propri´et´es du transport impliquent que le courant traversant la jonction tunnel est r´egi par une distribution de Poisson. La jonction tunnel est le composant ´electrique le plus simple dans lequel ce ph´enom`ene se produit. Dans le r´egime quantique toutefois, il y a des corr´elations entre les passages des ´electrons.

De plus, les jonctions tunnel sont assez simples `a fabriquer. Lors de la fabrication, il est possible de choisir la r´esistance de l’´echantillon voulue en r´eglant les param`etres d’´evaporation (voir section2.1).

Th´eorie des fluctuations

1.1 Repr´esentation math´ematique dans le domaine temporel

Afin de d´ecrire math´ematiquement les fluctuations d’une variable statistique, une multitude d’objets statistiques construits au fil du temps sont `a notre disposition.

Dans ce m´emoire, nous nous limitons aux moments. Un moment est une mesure quantitative qui caract´erise l’allure d’une distribution de probabilit´es. La d´efinition math´ematique du moment sera pr´ecis´ee `a la fin de cette section. Pour l’instant, regardons des objets statistiques assez connus : la moyenne et la variance. Lors de la mesure d’un signal de courant quelconquei(t)en fonction du temps, il est possible d’obtenir la moyenne de celui-ci hi(t)i<sub>, o `</sub>u les crochets signifient une moyenne statistique. Dans le cas o `u le courant est seulement continu (DC) en moyenne, on peut le d´ecomposer en sa moyenne et ses fluctuations,i(t) = hi(t)i+δi(t)<sub>. On note</sub> sa moyennehi(t)i = I. Une mesure possible des fluctuations est alors de calculer l’´ecart `a la moyenne pour tous les tempsδi(t) = i(t)−I. Il est aussi possible de mesurer la moyenne statistique de ces fluctuations. Toutefois, celle-ci est nulle par d´efinition

hδi(t)i=h(i(t)−I)i

=hi(t)i −I

=_{0. (1.1)}

6

La variance, qui mesure l’´etendue d’un nuage de points, n’est rien d’autre que la moyenne du carr´e des fluctuationshδi(t)²i. Contrairement `a la moyenne, la variance des fluctuations n’est pas nulle

hδi(t)²i=h(i(t)−I)²i

=hi(t)²i −2hiiI+I²

=hi(t)²i −I²

=hi(t)²i − hi(t)i². (1.2) Dans le cas plus g´en´eral d’un courant compos´e d’une partie fluctuante et d’une autre p´eriodique dans le temps, o `ui(t) = f(t) +δi(t), la moyenne statistique ne moyennera pas la modulation f(t). En effet, on a quehi(t)i =hf(t)i= f(t)_{. Pour} mieux comprendre, imaginez que f(t)est un cosinus. Lors de la moyenne statistique suri(t), les fluctuations autour de ce cosinus sont moyenn´ees, mais pas le cosinus lui-mˆeme. Le r´esultat de la moyenne statistique est donc ce cosinus, la modulation du courant. La moyenne des fluctuations est toujours nulle :

hδi(t)i=h(i(t)− f(t))i

=hi(t)i − f(t)

=_{0. (1.3)}

La variance est encore la mˆeme, mais il ne faut pas oublier que i(t)contient une modulation.

hδi(t)²i =h(i(t)−f(t))²i

=hi(t)²i −2hi(t)if(t) + f(t)²

=hi(t)²i − f(t)²

=hi(t)²i − hi(t)i². (1.4) Afin de g´en´eraliser la fac¸on de caract´eriser les fluctuations, on appelle le moment d’ordre n : hδi(t)ⁿi. La moyenne est donc le premier moment et la variance le deuxi`eme.

1.2 Diagrammes d’´energie

Maintenant que la base math´ematique des fluctuations est pos´ee, on l’utilise afin de formuler un mod`ele simple permettant de comprendre les d´ependances des fluctuations de courant dans une jonction tunnel.

Figure 1.1 – Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel `a l’´equilibre.

La figure1.1repr´esente une jonction tunnel `a l’´equilibre, mais `a temp´erature finie.

Les parties hachur´ees repr´esentent des niveaux d’´energie remplis par les ´electrons. `A temp´erature nulle, les niveaux ´electroniques des deux contacts m´etalliques, s´epar´es par une barri`ere isolante d’´energie infinie, seraient remplis jusqu’`a l’´energie de Fermi qui est la mˆeme de chaque c ˆot´e. Puisqu’aucun ´etat libre n’est disponible, le transport ´electronique `a temp´erature nulle et `a l’´equilibre est impossible. Toutefois, la temp´erature permet aux ´electrons d’occuper des niveaux d’´energie sur une gamme d’´energieE k<sub>B</sub>Tautour du niveau de Fermi. Les ´etats d’´energie sur cette gamme sont donc partiellement remplis. Les ´electrons peuvent alors tenter de traverser la barri`ere tunnel pour aller remplir un ´etat disponible de l’autre c ˆot´e. Aussi, plus la temp´erature est grande, plus le nombre d’´etats potentiellement libres `a basse ´energie est grand. Ainsi, on s’attend `a ce que les fluctuations de courant augmentent avec la temp´erature. Ces fluctuations de courant sont repr´esent´ees par les fl`eches vertes sur la figure1.1. Les fluctuations sont symm´etriques par rapport `a la barri`ere, car rien ne favorise le transport dans une des deux directions. De ces consid´erations, on peut

estimer la variance des fluctuations. D´efinissonsi+le courant circulant de gauche `a droite eti−le courant dans le sens inverse. Ils sont tous les deux proportionnels `a la temp´erature

i+ =αkBT , i− =−i+ , (1.5)

o `uαest une constante de proportionnalit´e. Puisque le courant total est donn´e par i =i++i−, on trouve que la moyenne du courant est nulle :

hii =hi++i−i =0. (1.6)

La moyenne des fluctuations du courant total aussi est nulle, comme mentionn´e auparavant. Puisque, comme expliqu´e `a la section0.2, le transport des charges `a travers une jonction tunnel est gouvern´e par une loi de Poisson, la variance des fluctuations de courant de chaque c ˆot´e est proportionnelle au courant la traversant.

On a donc quehδi²₊i = hδi²₋i = e|i+|. Comme les fluctuations de chaque c ˆot´e ne sont pas corr´el´ees entre elles, la variance des fluctuations du courant total est donn´ee par

hδi²i=hδi²₊+δi²₋i _(1.7)

=e|i+|+e|i−|

=2eαkBT

=2k_BTG

Nous avons suppos´e α = G/e. La valeur de cette constante de proportionnalit´e sera obtenue `a partir du casV 6= <sub>0. Malgr´</sub>e la simplicit´e du mod`ele, il m`ene au mˆeme r´esultat pour la variance que la th´eorie g´en´erale usuellement utilis´ee que nous d´eriverons `a la section1.5.

Lorsqu’une tension DC de polarisation est appliqu´ee aux bornes d’une jonction, les ´electrons d’un c ˆot´e acqui`erent une ´energie suppl´ementaireE=eV. Leur niveau de Fermi est donc augment´e de cette ´energie. La figure1.2repr´esente cette situation.

La r´egion jaune repr´esente l’´energie suppl´ementaire des ´electrons de l’´electrode de gauche. Puisqu’on travaille encore `a temp´erature finie, une gamme d’´energie o `u les niveaux d’´energie sont partiellement remplis sera encore pr´esente autour du nouveau niveau de Fermi. Ainsi, un courant moyen s’installe `a travers la jonction,

Figure 1.2 – Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel polaris´ee par un voltage DC.

car les ´electrons de gauche sont les seuls pouvant traverser. Les ´electrons d’un c ˆot´e ont maintenant beaucoup plus de chance de traverser la jonction grˆace `a leur ´energie plus ´elev´ee, ce qui alt`ere les fluctuations de courant. Revenons au mod`ele simple utilis´e dans le casV =0. LorsqueV k_BT, on a

i₊ =αeV , i₋ =0. (1.8)

La moyenne du courant total est donc

I =i++i− =αeV. (1.9)

Puisque on a aussiI = GV, on trouve queα =G/ecomme utilis´e ci-dessus. Encore une fois, la moyennne des fluctuations du courant total est nulle. Sa variance nous donne

δi²=δi²₊+δi²₋ (1.10)

=e|i₊|+e|i₋|

=eGV

=eI

qui refl`ete la distribution de Poisson r´egissant le courant d’´electrons `a travers la

jonction. Ce r´esultat est ´egalement en accord avec la th´eorie g´en´erale. Comme on le verra `a la section1.5, la formule compl`ete contient la transition entre ces deux r´egimes.

Il est aussi int´eressant de noter que lors du passage d’un ´electron `a travers la jonction, l’´energie perdue lorsque l’´electron revient `aEFdoit ˆetre absorb´ee par l’envi- ronnement. Cela peut se faire par ´emission de photons ou de phonons. L’´emission de phonons chauffe l’´echantillon par effet Joule (ce qui n’a aucun effet notable puisque les r´eservoirs ont une temp´erature fixe), tandis que l’´emission de photons contribue au signal ´electromagn´etique d´etectable par nos appareils de mesure.

Il est donc possible de comprendre les fluctuations mesur´ees en fonction de la fr´equence avec une repr´esentation en ´emission de photons. Lorsqu’un ´electron traverse la jonction, il peut ´emettre un photon correspondant `a la diff´erence d’´energie entre les niveaux initial et final. Prenons l’exemple de la figure1.2a`T =0. Lorsqu’un electron de gauche traverse la jonction, il ´´ emettra un photon d’´energie h f < eV. En d´etectant les fluctuations `a une fr´equenceh f <eV, il est possible de mesurer des photons provenant de cet ´ev´enement. Si h f > eV, c’est impossible pour un

´

electron traversant la jonction d’´emettre un photon `a la fr´equence de d´etection. Ce changement de comportement est visible dans la variance des fluctuations (voir la section4.2.2).

Lorsqu’un voltage alternatif (AC) est appliqu´e, la r´egion jaune sur la figure1.2 oscille dans le temps `a la fr´equence d’excitationω0, modulant ainsi les fluctuations de courant de la jonction. D’un autre c ˆot´e, l’application d’un voltage AC peut aussi ˆ

etre vu comme un flux de photons d’´energieh f0envoy´e sur l’´echantillon. On voit alors un changement dans les fluctuations mesur´ees `ah f = h f0, pour les mˆemes raisons que dans le cas o `uh f =eV.

1.3 Domaine fr´equentiel

Autant d’un point de vue th´eorique qu’exp´erimental, il est souvent plus pratique de travailler dans le domaine des fr´equences. Il est possible de transformer la variance du domaine temporel au domaine des fr´equences gr ˆace `a la d´efinition suivante de la transform´ee de Fourier inverse du courant :

i(t) = Z _∞

−_∞

1

2πe^iωti(ω)dω. (1.11)

Exp´erimentalement, il est impossible de mesurer toutes les composantes fr´equentielles du bruit. Tout syst`eme de mesure a une bande passante finie. Il est donc n´ecessaire, afin de bien d´ecrire le courant mesur´e, d’ajouter un filtre en fr´equence `a notre d´efinition de la transform´ee de Fourier. On a alors

i(t) = Z _∞

−_∞

1

2πe^iωth(ω)i(ω)dω, (1.12) o `uh(ω)est le filtre en fr´equence, n´ecessaire afin de bien d´efinir la bande passante du syst`eme de mesure qui apparaˆıtra `a l’´equation1.15. Pour un appareil mesurant parfaitement toutes les fr´equences,h(<sub>ω</sub>)<sub>serait ´egal `a 1.</sub>

Pour les manipulations math´ematiques `a venir, il est n´ecessaire de d´efinir la valeur moyenne temporelle f(t) = _T¹ RT/2

−T/2 f(t)dt. En supposant que T _ω¹, _ω¹

0, les fr´equences de d´etection et d’excitation, on peut pousser les bornes de l’int´egrale vers l’infini :T →_{∞. La d´}efinition du delta de dirac est aussi importante :

2πδ(ω) = Z _∞

−_∞e^iωtdt. (1.13)

La valeur moyenne temporelle d´efinie ci-dessus est tr`es importante. En effet, exp´erimentalement, toutes les mesures de courant r´ealis´ees (pour ce m´emoire) sont moyenn´ees dans le

temps. Ainsi, lors d’une mesure des fluctuations de courant, on a

hδi(t)²i =hi(t)²i − hi(t)i². (1.14)

En remplac¸ant la d´efinition1.12dans l’´equation1.14, on obtient hδi(t)²i =hi(t)²i − hi(t)i²

= ¹ 4π²

_{Z ∞}

−_∞e^iωth(ω)i(ω)dω Z _∞

−_∞e^iω0th(ω⁰)i(ω⁰)dω⁰

− ¹ 4π²

_{Z ∞}

−_∞e^iωth(_ω)i(_ω)dω

Z _∞

−_∞e^iω0th(_ω⁰)i(_ω⁰)dω⁰

= ¹ 4π²

Z _∞

−_∞ dt _{Z ∞}

−_∞ dω Z _∞

−_∞ dω⁰h(_ω)h(_ω⁰)hi(_ω)i(_ω⁰)ie^i(ω+ω0)t

− ¹ 4π²

Z _∞

−_∞ dt _{Z ∞}

−_∞ dω Z _∞

−_∞ dω⁰h(_ω)h(_ω⁰)hi(_ω)ihi(_ω⁰)ie^i(ω+ω0)t

= ¹ 4π²

Z _∞

−∞ dω Z _∞

−∞ dω⁰h(ω)h(ω⁰)hi(ω)i(ω⁰)i Z _∞

−∞ dte^i(ω+ω0)t

− ¹ 4π²

Z _∞

−_∞ dω Z _∞

−_∞ dω⁰h(ω)h(ω⁰)hi(ω)ihi(ω⁰)i Z _∞

−_∞ dte^i(ω+ω0)t

= ¹ 4π²

Z _∞

−_∞ dω Z _∞

−_∞ dω⁰h(ω)h(ω⁰)hi(ω)i(ω⁰)i2πδ(ω+ω⁰)

− ¹ 4π²

Z _∞

−_∞ dω Z _∞

−_∞ dω⁰h(ω)h(ω⁰)hi(ω)ihi(ω⁰)i2πδ(ω+ω⁰)

= ¹ 2π

Z _∞

−_∞ dωh(ω)h(−ω)hi(ω)i(−ω)i − ¹ 2π

Z _∞

−_∞ dωh(ω)h(−ω)hi(ω)ihi(−ω)i

= Z _∞

−_∞ dω 1

2π|h(ω)|²S(ω)

'_2∆f S(ω˜), (1.15)

o `uR_∞

−_∞ dω_2π¹ |h(ω)|²=_2∆f,∆f etant la bande passante du syst`´ eme exp´erimental.

On d´efinitω˜ comme ´etant la fr´equence centrale de la bande passante. On a suppos´e S(ω˜) constante sur la bande passante. Cette approximation est valide si la bande passante est petite par rapport `a l’´echelle caract´eristique de fr´equence sur laquelle S(_ω)varie. De plus, la densit´e spectrale des fluctuations est d´efinie comme

S(_ω) =h_i(_ω)_i(−_ω)i − h_i(_ω)ih_i(−_ω)i_{. (1.16)} La densit´e spectrale des fluctuations est la quantit´e mesur´ee lors de toutes les exp´eriences pr´esent´ees dans ce m´emoire. Le deuxi`eme terme est non-nul seulement a` ω =0, ce qui n’est jamais le cas ici. Il est possible de mesurer d’autres quantit´es utiles, comme le troisi`eme ou le quatri`eme cumulant des fluctuations [5,6], mais

cela ne sera pas discut´e plus en d´etails dans ce m´emoire. Pour de plus amples informations sur ce sujet, voir le m´emoire de Fatou Bintou Sane¹.

1.4 Op´erateur Courant

Maintenant que les fluctuations de courant sont bien d´efinies, il ne reste qu’ `a d´efinir ce qu’est le courant qui traverse une r´egion m´esoscopique. Cette r´egion pourrait ˆetre, par exemple, une jonction tunnel. Cette section se base sur le formalisme de la matrice de diffusion d´evelopp´e par B ¨uttiker [7]. La figure1.3repr´esente une

F i g u r e 1.3 – Syst`eme m´esoscopique `a deux ports.

r´egion m´esoscopique et ses deux contacts qui sont chacun `a une temp´eratureTL,Ret ont un potentiel chimiqueµL,R. Afin de trouver l’´equation du courant qui la traverse, il faut d’abord d´efinir quelques op´erateurs de cr´eation (a<sup>†</sup><sub>α</sub>etb<sup>†</sup><sub>α</sub>) et d’annihilation (a<sub>α</sub> etbα), o `uα =L,Rrepr´esente le c ˆot´e gauche ou droite de la r´egion m´esoscopique.

Les op´erateurs acorrespondent aux ´etats sortant des contacts et entrant dans la r´egion m´esoscopique, alors que les op´erateursbaux ´etats r´efl´echis ou transmis par la r´egion m´esoscopique. Afin de trouver l’´etat propre g´en´eral repr´esentant ce syst`eme, on suppose la fonction d’onde ´electronique s´eparable en parties longitudinale et transverse. La partie longitudinale est une onde plane d’´energieE=h¯<sup>2</sup>k<sup>2</sup>/2m. Dans la direction transverse, l’´energie est quantifi´ee par l’indice discretn, o `u une ´energie En repr´esente un mode ou canal transverse de conduction quantique `a travers la r´egion. On trouve alors que l’´etat propre du syst`eme est une combinaison d’´etats

1. http://savoirs.usherbrooke.ca/handle/11143/59

dans les contacts de gauche (L) et droite (R) ainsi que dans la r´egion m´esoscopique (M) :

ψˆE(x,r⊥) =











∑n[aLnφ⁺_nE(x,r⊥) +bLnφ⁻_nE(x,r⊥)], x ∈ L ψM,E(x,r⊥), x ∈ M

∑n[b_Rnφ⁺_nE(x,r⊥) +a_Rnφ⁻_nE(x,r⊥)], x ∈ R

, (1.17)

avec

φ^±_nE(x,r⊥) = _p ¹

2π¯hνn(E)^χn(r⊥)e^±iknx, (1.18) o `uχn(r⊥)est la fonction d’onde transverse etνn(E)est la vitesse des porteurs de charge dans le canal n. Il est possible d’obtenir l’´equation du courant en utilisant ensuite l’´equation standard du courant de probabilit´e en m´ecanique quantique

iˆ(x) = ^¯he i2m

Z dr⊥

hψˆ^†(x,r⊥)∂xψˆ(x,r⊥)−ψ^ˆ(x,r⊥)∂xψˆ^†(x,r⊥)ⁱ. (1.19)

Pour simplifier l’´equation finale, il est aussi utile de tout r´e´ecrire seulement en fonction des op´erateurs entrantsa, gr ˆace `a la relation suivante :

bαn =

∑

β=L,R

∑

m

s_αn,βma_βm. (1.20)

o `usαn,βmrepr´esente les diff´erents coefficients de la matrice de diffusion de la r´egion m´esoscopique

s=

s_LL s_LR sRL sRR

=

r t t⁰ r⁰

. (1.21)

Les blocs diagonauxretr⁰d´ecrivent respectivement les r´eflexions ´electroniques des r´eservoirs de gauche et droite, tandis que les blocs hors-diagonaux tett⁰ corres- pondent aux transmissions ´electroniques `a travers l’´echantillon. L’´etape finale est de passer dans le domaine de Fourier. Apr`es ces manipulations math´ematiques, on

retrouve l’´equation du courant suivante : iˆ(_ω) = ^e

h Z

dE[a^†_L(E)a_L(E+¯hω)

−r^∗(E)r(E+_¯hω)a^†_L(E)a_L(E+_¯hω)

−r^∗(E)t(E+¯hω)a^†_L(E)aR(E+hω¯ )

−t^∗(E)r(E+¯hω)a^†_R(E)a_L(E+hω¯ )

−t^∗(E)t(E+¯hω)a^†_R(E)aR(E+¯hω)], (1.22) o `u nous avons suppos´e l’existence d’un seul canal de conduction. Dans le cas o `u plusieurs canaux sont consid´er´es, il y a un op´erateur aet a^†et des coefficientsrett pour chaque canal n et une somme sur les canaux est n´ecessaire. La d´emonstration de cette ´equation est r´ealis´ee en grande partie dans le chapitre 2 des notes du cours

Physique M´esoscopiquepar Alexandre Blais².

Afin de mieux comprendre l’op´erateur courant, il est utile de calculerhi^ˆ(ω)i_. La relation

a^†_α(_E)_aβ(_E+_¯hω) =_δα,βfα(_E)_δ(_hω¯ ), qui est utile pour ce calcul, nous montre que cette valeur moyenne est non-nulle seulement lorsqueα =_{βet lorsque}

¯

hω =0. De plus, on d´efinit la probabilit´e de transmission d’un ´electron `a travers un canal de conduction de la r´egion m´esoscopique comme T(E) = t(E)t^∗(E) = 1−r(E)r^∗(E)_.

On retrouve alors la loi d’Ohm h_i(ω)i = ^e

h Z

dED

(1−_r^∗(E)r(E+¯hω))a^†_L(E)aL(E+hω¯ )−_t^∗(E)t(E+¯hω)a^†_R(E)aR(E+¯hω)^E

= ^e h

Z

dEt^∗(E)t(E+_¯hω)[f_L(E)− f_R(E)]_δ(hω_¯ ) hi(0)i = ^e

h Z

dET(E)[f_L(E)− f_R(E)]

= ^e hT

Z

dE[fL(E)−fR(E)]

= ^e hTeV

=V/R, (1.23)

o `u on a suppos´e la probabilit´e de transmission ind´ependante de l’´energie et avec

2. http://dl.dropboxusercontent.com/u/2644574/Web/Enseignement/Meso/Meso.pdf

1

R = ^e_h²T. Dans le cas `a plusieurs canaux de transmission, on a _R¹ = ^e_h² _∑nTn.

1.5 Densit´e spectrale des fluctuations de courant

Avant de calculer la densit´e spectrale des fluctuations de courant, il faut men- tionner que la densit´e spectrale telle que d´efinie `a l’´equation1.16est une version classique. Dans le cas quantique, il est n´ecessaire de sym´etriser la densit´e spectrale des fluctuations [8–10]. Cela provient du fait que[i^ˆ(_ω), ˆi(−_ω)]6=0. On obtient alors

S⁰(ω) = ^S(ω) +S(−ω).

2 (1.24)

Cette ´equation tient compte du fait que les fr´equences n´egatives et positives sont mesur´ees exp´erimentalement. Dans ce qui suit, la densit´e spectrale est consid´er´ee comme ´etant sym´etris´ee et est not´ee parS(ω)_.

Il est maintenant possible de remplacer l’´equation 1.22dans1.16sym´etris´ee en1.24. On obtient l’´equation g´en´erale de la densit´e spectrale des fluctuations de courant. Ce calcul fastidieux est pr´esent´e dans le m´emoire de Gabriel Gasse en Annexe 1³. Dans ce qui suit, nous supposons que la r´egion m´esoscopique ´etudi´ee est une jonction tunnel. Cons´equemment, le facteur de Fano

F = ^∑nTn(1−Tn)

∑nTn (1.25)

est ´egal `a 1 dans les ´equations qui suivent puisqueTn 1. Pour plus d’informations sur le facteur de Fano, voir la revue sur le bruit de grenaille par Blanter et B ¨uttiker [11].

3. http://savoirs.usherbrooke.ca/handle/11143/85

1.5.1 Densit´ e spectrale ` a l’´ equilibre

Commenc¸ons par le r´esultat `a l’´equilibre (V =Vac =0) : Seq(_ω,T) = _lim

V,Vac→0S(_ω,T,V,Vac,ω0)

=G¯hωcoth ¯hω

2kBT

(1.26) o `uG =1/Rest la conductance de l’´echantillon. Ceci est le th´eor`eme fluctuation- dissipation dans le cas des fluctuations de courant d’une r´egion m´esoscopique avec une g´eom´etrie `a deux contacts [12]. La figure1.4montre l’allure de la densit´e

F i g u r e 1.4 – Limites de la densit´e spectrale `a l’´equilibre.

spectrale `a l’´equilibre et ses deux limites. La densit´e spectrale a ´et´e divis´ee par 2kBGafin de tracer la temp´erature de bruitTN(ω) = _2k^S(ω)

BG. Les ´echelles d’´energie importantes `a comparer ici sont la temp´erature et la fr´equence. Dans la limite basse fr´equence, on utilise le d´eveloppement limit´ecoth(x 1) '1/x. On obtient alors

Seq(hω¯ kBT) = 2kBTG (1.27)

o `u la densit´e spectrale des fluctuations de courant d’une jonction tunnel se r´eduit `a celle d’une r´esistance `a la temp´erature T. Cette ´equation est mieux connue sous le nom de th´eor`eme de fluctuation-dissipation classique ou bruit de Johnson-Nyquist [13]. Puisque la densit´e spectrale est proportionnelle `a la temp´erature, il est possible de mesurer celle-ci et d’en d´eduire la temp´erature de l’´echantillon. C’est ce qui est nomm´e la thermom´etrie par bruit de Johnson [3]. Cette technique est toutefois rarement utilis´ee, car elle n´ecessite la calibration du syst`eme de mesure. Dans la limite haute fr´equence, on trouve

Seq(¯hω k_BT) =G¯h|_ω| _(1.28) puisquecoth(_x →_∞) = _{1. Cette ´}equation repr´esente les fluctuations du vide, ou quantiques. Cette contribution `a la densit´e spectrale a ´et´e mise en ´evidence en 1981 par Kochet al.dans le cas d’une r´esistance [14]. Les mesures pr´esent´ees `a l’int´erieur de ce m´emoire montrent clairement la pr´esence de ces fluctuations de courant pour une jonction tunnel. On pourrait s’attendre `a ce qu’un objet `a temp´erature nulle et `a l’´equilibre n’ait aucune fluctuation. Ce n’est pas le cas. Les fluctuations du champ ´electromagn´etique `a l’int´erieur de la jonction sont encore possibles. Elles sont appel´ees fluctuations du vide, car leur grandeur est celle d’un photon d’´energie

¯

hωdans le vide.

1.5.2 Densit´ e spectrale hors ´ equilibre

Lorsqu’une tension de polarisation DC est appliqu´ee `a la jonction tunnel, la densit´e spectrale est donn´ee par [15]

S(ω,T,V) = ¹

2

∑

σ=±

G(eV+σ¯hω)coth

eV+σ¯hω 2k_BT

, (1.29)

Regardons les limites de cette ´equation. Maintenant, il y a trois ´echelles d’´energie importantes : la tension, la temp´erature et la fr´equence. Premi`erement, lorsque eV ¯hω,kBT, on retrouve l’´equation4.3de la densit´e spectrale `a l’´equilibre ´etudi´ee

ci-dessus. On s’int´eresse ici `a la limite suivante : S(¯hω kBT,eV) =GeVcoth

eV 2k_BT

. (1.30)

Cette ´equation repr´esente le bruit de grenaille d’une jonction tunnel. Le bruit de grenaille est une cons´equence directe de la discr´etisation de la charge participant au transport dans la jonction tunnel. Cette ´equation et l’´equation4.3sont exactement les mˆemes sous le changementeV ↔hω. La limite¯ kBT eVredonne donc le bruit de Johnson. Dans la limite classique, o `u la tension de polarisation appliqu´ee est beaucoup plus grande que toutes les autres ´echelles d’´energie, on obtient

S(eV kBT) = eG|V| =e|I|. (1.31) Cette ´equation nous montre que, dans le r´egime classique, les fluctuations sont directement proportionnelles au courant traversant la jonction. Cela correspond au mod`ele simple ´etudi´e plus t ˆot `a la section1.2. Cela provient du fait que le m´ecanisme de transport des charges `a travers la jonction est caract´eris´e par une distribution de Poisson. Cette ´equation est souvent nomm´ee formule de Schottky [16]. Elle montre qu’il est possible de mesurer la charge des porteurs en mesurant leurs fluctuations de courant dans cette limite.

Une technique de thermom´etrie, nomm´ee thermom´etrie par bruit de grenaille, est enti`erement bas´ee sur l’´equation1.30[3]. En mesurant les fluctuations de cou- rant en fonction de la tension, la temp´erature ´electronique de l’´echantillon peut ˆ

etre d´etermin´ee en caract´erisant la transition entre les deux limites expliqu´ees pr´ealablement. Cette technique a le grand avantage de ne pas n´ecessiter la cali- bration du syst`eme de mesure. C’est celle que nous avons utilis´ee afin de d´eterminer la temp´erature ´electronique de notre ´echantillon.

La densit´e spectrale des fluctuations de courant est souvent mesur´ee `a une fr´equence particuli`ere [17] et non pas sur une large gamme de fr´equences. La premi`ere mesure montrant la d´ependance en fr´equence de la densit´e spectrale des fluctuations de courant en pr´esence d’une tension de polarisation a ´et´e r´ealis´ee par Schoelkopfet al.sur un fil diffusif en 1997 [18]. Cet article montre la diff´erence entre des courbes de la d´eriv´ee de la densit´e spectrale en fonction du voltage ap-

pliqu´e pour cinq fr´equences de d´etection entre 1.5 et 20 GHz. Depuis, l’exp´erience pr´esentant des mesures sur une bande de fr´equence la plus large a ´et´e r´ealis´ee par Mariantoniet al.en 2010 [19], o `u le bruit thermique d’une r´esistance est mesur´e entre 4,7 et 7,1 GHz. Dans le chapitre4de ce m´emoire, nous pr´esentons une spectroscopie compl`ete entre 0.2 et 13 GHz de la densit´e spectrale des fluctuations de courant d’une jonction tunnel.

Il est aussi int´eressant de remarquer que l’´equation1.29peut se r´e´ecrire comme S(ω,V,T) = ¹

2

Seq

ω+^eV

¯ h ,T

+Seq

ω−^eV

¯ h ,T

. (1.32)

Lorsque la densit´e spectrale est ´ecrite sous cette forme, on voit qu’exciter l’´echantillon avec une tension de polarisation DC revient d’une certaine fac¸on `a d´ecaler son bruit en fr´equence de±eV/h.

1.5.3 Densit´ e spectrale des fluctuations photo-assist´ ees

Finalement, on peut aussi appliquer une tension de polarisation AC de fr´equence ω0sur la r´egion m´esoscopique. L’irradiation de notre ´echantillon par une telle exci- tation m`ene `a ce qui est appel´e du bruitphoto-assist´e. Lorsqu’une excitation AC sinuso¨ıdale est appliqu´ee sur une jonction tunnel, la densit´e spectrale des fluctua- tions de courant devient [15]

S(ω,T,V,Vac,ω0) = 1

2

∑

eVac

¯ hω0

∑

σ=±

G(eV+σ¯hω+n¯hω₀)coth

eV+σhω¯ +n¯hω₀ 2kBT

.

(1.33) Tout au long de ce m´emoire, on noteraωla fr´equence de d´etection des fluctuations etω0la fr´equence d’excitation du voltage AC appliqu´e. Sous cette forme, la densit´e spectrale montre tr`es bien que les ´echelles d’´energie qui sont importantes `a compa- rer sonteV,¯hω,hω¯ 0etkBT. Les premi`eres mesures de bruit photo-assist´e ont ´et´e r´ealis´ees par Schoelkopfet al.en 1998 [20], `a fr´equence de d´etection nulle. Depuis, de nombreuses ´equipes ont explor´e ce ph´enom`ene [21–23]. Dans le chapitre4de ce

m´emoire nous pr´esentons pour la premi`ere fois une spectroscopie large bande (de 0.2 `a 13 GHz) du bruit photo-assist´e ´emis par une jonction tunnel.

Des ´etudes ont aussi ´et´e r´ealis´ees sur des excitations autres que sinuso¨ıdales [24–28], mais nous n’explorons pas ces autres genres d’excitation.

Notons que toutes les ´equations de densit´e spectrale montr´ees ci-dessus peuvent etre d´ˆ eriv´ees `a partir de l’´equation1.33en prenant diverses limites. Elle comprend les trois types de fluctuations ´etudi´ees : les fluctuations thermiques, le bruit de grenaille et le bruit photo-assist´e.

Dans cette section, les trois ´equations correspondant aux trois sources d’excita- tion utilis´ees exp´erimentalement sont d´emontr´ees. La densit´e spectrale `a l’´equilibre en fonction de la temp´erature s’exprime par l’´equation4.3. En pr´esence d’une exci- tation DC, elle correspond `a l’´equation1.29ou1.32. Dans le cas d’une excitation AC, on obtient l’´equation1.33.

1.6 Domaine temporel

Afin d’obtenir une meilleure compr´ehension des m´ecanismes r´egissant les fluc- tuations, il est int´eressant de passer de nouveau dans le domaine temporel. La trans- form´ee de Fourier inverse de la densit´e spectrale des fluctuations est le corr´elateur courant-courant dans le domaine temporel. Plus pr´ecis´ement, celui-ci est donn´e par

TF⁻¹[S(_ω)] =C(t)

=h[i(τ)i(τ+t)]i. (1.34)

La d´efinition de la transform´ee de Fourier utilis´ee est la mˆeme qu’ `a l’´equation 1.11.

Une fois la densit´e spectrale mesur´ee, il ne reste donc qu’ `a la transformer en utilisant la relation1.34. Toutefois, certains probl`emes se pr´esentent lors de cette d´emarche puisque la bande passante de d´etection est finie. Nous verrons en d´etail pourquoi dans le chapitre4.

1.7 Autre corr´elateur dans le domaine temporel : corr´elateur charge-charge

Il peut ˆetre int´eressant de regarder d’autres types de corr´elateur afin d’en retirer de la physique suppl´ementaire. Par exemple, les fluctuations du nombre de charges pass´ees en un temps t,q(t)−q(₀) = It, ont ´et´e ´etudi´ees th´eoriquement par Lesovik et Levitov en 1993 [29]. Le corr´elateur charge-charge `a temps ´egal est donc donn´e par :

hq(t)q(t)i = Z _t

0 dt⁰ Z _t

0 dt⁰⁰hi(t⁰)i(t⁰⁰)i

= ¹ 2π

Z _∞

−∞ dω Z _t

0

Z _t

0 dt⁰dt⁰⁰e^iωt0e^−iωt00S(ω)

= ¹ 2π

Z _∞

−_∞ dωS(ω)

e^iωt−₁ iω

e^−iωt −₁

−iω

= ⁴ π

Z _∞

0 dωS(ω)^sin

2(ωt/2)

ω² . (1.35)

On voit ici que ce corr´elateur en temps correspond `a une transform´ee tr`es sem- blable `a celle de Fourier de la densit´e spectrale. En effet, c’est comme si la fonction exp(iωt)etait remplac´_´ ee par une autre fonctionζ(_ω) = ^sin2(ωt/2)

ω² .

Une caract´eristique int´eressante de ce corr´elateur est qu’il d´ecroˆıt lorsque la fr´equence augmente. En effet, la fonctionζ(ω)_d´ecroˆıt en fonction de la fr´equence, contrairement `a exp(iωt) dans la transform´ee de Fourier habituelle. Cela vient contrecarrer l’effet des fluctuations quantiques qui divergent, rendant la t ˆache beau- coup plus simple lors du passage de la densit´e spectrale au domaine temporel.

Fabrication

Les techniques de fabrication d´ecrites dans ce chapitre permettent de fabriquer une jonction tunnel dont la r´esistance est proche de50Ωafin d’optimiser son cou- plage au circuit micro-ondes. Au final, la jonction utilis´ee pour obtenir les r´esultats pr´esent´es dans ce m´emoire avait une r´esistance de51Ω. Cela est tr`es pr`es du r´esultat voulu.

2.1 Design des jonctions tunnel

Nos dispositifs sont d´epos´es sur un substrat de silicium r´esistif lui-mˆeme oxyd´e, afin d’empˆecher le transport `a travers le substrat. La jonction tunnel est compos´ee de deux contacts m´etalliques s´epar´es par une couche d’oxyde. Dans notre cas, l’alu- minium et l’oxyde d’aluminium sont utilis´es. L’aire de la jonction est d´etermin´ee par la surface de recouvrement entre l’oxyde et chaque contact. Cette surface est sym´etrique pour notre technique de fabrication. La r´esistance d’une jonction tun- nel est inversement proportionnelle `a l’aire du recouvrement, R ∝ _A¹. De plus, la r´esistance croˆıt exponentiellement avec l’´epaisseurdde la barri`ere. L’´epaisseur de la barri`ere utilis´ee lors des mesures pr´esent´ees plus loin et de celles fabriqu´ees lors de ma maˆıtrise est estim´ee `a10 ˚A. L’aire de recouvrement pour une jonction typique de 50Ωest de10µm².

24

Figure 2.1 – Sch´ematique d’une jonction tunnel.(a)Vue du dessus d’une jonction tunnel. La zone de recouvrement entre les deux contacts formant la jonction est repr´esent´ee en rouge. En haut, on voit le contact large d’environ400μm qui lui donne une imp´edance de 50 Ω. En bas, on voit le contact plus large permettant plusieurs soudures `a la masse.

(b)Coupe verticale de la jonction `a l’int´erieur de la zone de recouvrement (en rouge sur la figure a). Le substrat est repr´esent´e en vert, le m´etal en gris et l’oxyde en rouge. On remarque que la majorit´e du transport se fait du haut vers le bas.(c)Sch´ema d’une jonction dans un circuit ´electrique.

A un niveau microscopique, on suppose g´en´eralement que l’oxyde de r´egion de` recouvrement n’a pas une ´epaisseur constante, mais est plut ˆot rugueux. Cela cr´ee des endroits pr´ecis o `u les ´electrons auront plus de chance de traverser la jonction par effet tunnel. L’allure pr´ecise des barri`eres tunnel de ce type est assez m´econnue.

La figure2.1montre le sch´ema d’une jonction tunnel. Un contact de chaque c ˆot´e de la jonction permet de relier celle-ci `a un circuit ext´erieur. Un contact est laiss´e tr`es grand pour permettre plusieurs soudures `a la masse, afin de s’assurer que les ´electrons peuvent facilement s’y ´echapper. L’autre contact constitue une ligne `a transmission de type microstrip qui a une imp´edance caract´eristique de50 Ωjusque dans les micro-ondes, afin d’adapter l’imp´edance entre la jonction et le circuit ext´erieur qui a lui aussi une imp´edance de50Ω. Le dispositif comprenant les contacts est environ 50000 fois plus grand que la jonction elle-mˆeme, qui a une

surface d’environ10µm².

2.2 Photolithographie

La lithographie est une technique d’impression qui permet la cr´eation et la reproduction `a plusieurs exemplaires d’un dessin quelconque. Cette technique a ´et´e d´evelopp´ee en premier pour r´ealiser des trac´es sur de la pierre. La photolithographie est un proc´ed´e moderne permettant de d´eposer une couche du mat´eriau de son choix sur un substrat selon un trac´e pr´ed´etermin´e. Elle utilise une r´esine sensible aux photons ultraviolets qui, lorsque expos´ee `a ceux-ci, change ses caract´eristiques chimiques. Ainsi, on d´epose premi`erement une couche de r´esine sur le substrat.

Puis, on expose les zones voulues, selon le trac´e pr´ed´etermin´e. La r´esine expos´ee devient alors sensible `a un certain solvant, que l’on appelle d´eveloppeur. Lorsque le tout est immerg´e dans le d´eveloppeur, la r´esine expos´ee se dissout, d´evoilant alors le substrat. En d´eposant le mat´eriau choisi dans les trous form´es dans la r´esine, puis en enlevant le surplus de r´esine, on obtient le dispositif voulu. La r´esolution de cette technique est de l’ordre de la longueur d’onde des photons utilis´es, soit environ 0.5µm.

La technique de photolithographie utilise une r´esine sensible aux photons ultra- violets. L’appareil que j’ai utilis´e ´etait un syst`eme de photolithographie par ´ecriture directe SF-100-XPress. Le dessin utilis´e est montr´e `a la figure2.2. Les parties noires sont expos´ees `a la lumi`ere UV. La r´esolution de l’appareil pr´esent ici est de1.5µm, un peu plus de trois fois la longueur d’onde de la lumi`ere utilis´ee qui est de0.435µm.

Cela est d ˆu au fonctionnement interne du syst`eme par ´ecriture directe, qui est moins pr´ecis mais beaucoup plus rapide que les syst`emes standards de photolithographie.

Les r´esines que j’ai utilis´ees sont la LOR30B et la S1805. La LOR30B est une r´esine de soul`evement d´epos´ee en premier sur l’´echantillon. Elle est tr`es ´epaisse et visqueuse.

La S1805 est une r´esine photosensible. Le proc´ed´e que j’ai d´evelopp´e comportait une bicouche de1.3µm de S1805 par-dessus2.7µm de LOR30B. La difficult´e avec l’utilisation conjointe de ces deux r´esines est qu’elles ont le mˆeme d´eveloppeur.

Il faut donc faire tr`es attention lors de l’exposition de la S1805 pour ne pas trop l’exposer, sous peine d’avoir des probl`emes lors du d´eveloppement.

F i g u r e 2.2 – Dessin de jonction tunnel pour photolithographie.

2.2.1

Shadow Evaporation

La technique par pont suspendu ( Dolan Bridge ) [30] ou technique par

shadow evaporationpermet de r´ealiser des jonctions tunnel `a l’aide de seulement une seule ´etape de photolithographie. Elle consiste `a fabriquer un pont de r´esine photosensible.

La figure2.3montre un pont de r´esine suspendu. Celui-ci fait environ8µm de long et2µm de large. On voit que la r´esine reste tr`es droite malgr´e le fait qu’elle soit suspendue au-dessus du vide. On remarque aussi que la r´esine sous le pont n’est pas compl`etement enlev´ee. Cela va r´eduire grandement la taille du recouvrement des deux contacts de m´etal, car lors du soul`evement la r´esine va enlever le m´etal qui s’est d´epos´e sur elle-mˆeme. Un d´eveloppement prolong´e de la r´esine pourrait permettre de r´esoudre en partie ce probl`eme.

Le sch´ema de la figure2.4montre les ´etapes importantes requises pour fabriquer une jonction tunnel par cette technique deshadow evaporation. Premi`erement, on voit le substrat oxyd´e apr`es nettoyage. L’´etape 1 consiste `a ´etaler les r´esines

F i g u r e 2.3 – Photographie d’un pont de r´esine suspendu prise au microscope

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electronique.

sur l’´echantillon. L’´etape 2 est l’exposition de la r´esine S1805 aux rayons UV. Le changement de couleur de la r´esine sur la figure repr´esente les changements de propri´et´es chimiques qui ont lieu. Le d´eveloppement par immersion dans le MF-319

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a l’´etape 3 permet d’enlever la r´esine S1805 expos´ee et la r´esine LOR30B sous-jacente, qui est toujours sensible au d´eveloppeur. Les ´etapes 4 `a 6 comprennent l’´evaporation

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a angle, l’oxydation de la premi`ere couche de m´etal puis le d´ep ˆot de la deuxi`eme couche. On d´epose un premier m´etal qu’on oxyde avant la deuxi`eme ´evaporation.

Cette oxydation se faitin-situ, par entr´ee d’oxyg`ene `a l’int´erieur de l’´evaporateur.

Finalement, la r´esine restante est enlev´ee en immergeant le dispositif dans un solvant, c’est le proc´ed´e nomm´e soul`evement.

Le sch´ema de l’´evaporation du m´etal montre l’utilit´e d’avoir un espacement sous le pont le plus grand possible. Si le pont n’est pas assez ´elev´e, il sera tr`es difficile

Figure 2.4 – Sch´ema ´etape par ´etape de la fabrication d’une jonction tunnel.

d’avoir un recouvrement large entre les deux d´ep ˆots. En effet, plus le pont est bas et plus l’angle de d´eposition requis se rapprochera de l’horizontale, diminuant la pr´ecision du proc´ed´e. On peut ´eviter ce probl`eme en s’assurant d’avoir une hauteur de pont aussi grande que la largeur du recouvrement voulu. Puisque les jonctions r´ealis´ees avaient un recouvrement d’une largeur d’environ 2μm, l’´epaisseur de 2.7μm de la LOR30B ´etait ad´equate. La figure2.5, qui permet de trouver l’angle d’´evaporation en fonction du recouvrement voulu, aide aussi `a comprendre ce ph´enom`eme. Sur cette figure, A repr´esente la hauteur du pont avant le premier d´ep ˆot (ou la hauteur de la r´esine de soul`evement LOR30B), C est la largeur du

Figure 2.5 – Sch´ema du pont de r´esine permettant de calculer l’angle d’´evaporation.

pont de r´esine photosensible (S1813) et B la largeur du d´ep ˆot m´etallique sous le pont. A’ est la hauteur sous le pont avant le deuxi`eme d´ep ˆot. Si le pont est tr`es haut devant l’´epaisseur du premier d´ep ˆot, ce qui est une assez bonne approximation, A A. B est suppos´e le mˆeme pour les deux d´ep ˆots, car cela simplifie les calculs.

Le recouvrement D peut alors ˆetre trouv´e par la formule D=C−(C−B)−(C−B)

=2B−C. (2.1)

Les angles de d´ep ˆot sont calcul´es `a l’aide deθ =arctan(A/B)etα =arctan(A/B). La figure2.6montre une image prise au microscope ´electronique d’une jonction tunnel faite par lithographie. La r´egion encadr´ee en rouge montre l’aire de recou- vrement. Cette jonction n’est pas celle qui a ´et´e utilis´ee pour prendre les mesures obtenues dans ce m´emoire. Toutefois, mˆeme si celle pr´esent´ee ici est beaucoup plus petite que celle utilis´ee, leur forme est tr`es semblable.

La figure 2.4se concentre seulement sur la partie centrale o `u la jonction est