() () TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

(1)

TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 12 e

^2x

Pour tout x de de , 3f (x ) 6f ( x) 36e

^2x

6





6e

^2x ¹

6

1 donc f est solution de l équation.

2. Soit a un réel non nul.

a. Soit k un réel et f

k

la fonction définie sur par f

_k

( x) ke

^{a x}

.

f

_k

est dérivable sur . Pour tout x de , f

k

(x) k ae

^ax

ake

^ax

af ( x) donc f

k

est solution de l équation y a y.

b. Soit g une solution de l équation y ay . Montrons que g (x ) ke

^ax

où k est un réel.

Soit f la fonction définie sur par f( x) g( x)e

^ax

g est dérivable sur . Pour tout x de , f ( x) g ( x) e

^ax

g (x ) ( ^{a e}

^ax

) ^.

g est solution de l équation y ay donc, pour tout x de , g ( x) a g( x)?

Ainsi, f (x) a g(x )e

^ax

g (x ) ( ^{a e}

^ax

) ⁰

f est nulle sur donc f est constante sur

donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , f (x ) k donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , g (x )e

^ax

k donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , g (x ) k e

^ax

3. a. Soit f une fonction constante : f (x ) k où k est un réel.

Alors, pour tout x de , f (x) 0.

f est solution de (E ) ssi 0 25k 150 ssi k 6

La fonction constante définie sur par f (x ) 6 est solution de (E).

b. Soit (F ) l équation y= 2 5y.

i) Ici, on a une équivalence à montrer (ssi) donc soit on procède en deux étapes : on montre que si f est solution de (E ), f 6 est solution de (

F) ; soit on rédige avec des ssi tout au long de

la démonstration, ce qu on va faire ici.

On peut partir du début ou de la fin et essayer de "recoller les morceaux".

Brouillon :

f est solution de (E

) ssi f 25

f

150

f 6 est solution de (F) ssi (f

6) 25(

f

6)

ssi f

0 25

f

15 0

On retrouve la même chos e. On voi t qu i l est plus facil e de partir de la fin.

Rédaction correcte :

f 6 est solution de ( F) ssi ( f 6) 25( f 6) ssi f 0 25 f 150 ssi f 25 f 150 ssi f est solution de (E )

Donc f est une solution de (E) ssi f 6 est une solution de ( F).

ii) (F) est l équation y 25 y donc, d après la question 2, les solutions de (F ) sont les fonctions définies sur par f

k

( x) ke

^25x

où k est un réel.

iii) f solution de (E) ssi f 6 solution de (F)

ssi il existe un réel k tel que, pour tout x de , (f 6)(x ) ke

^25x

ssi il existe un réel k tel, pour tout x de , que f (x ) 6 ke

^25x

ssi il existe un réel k tel que, pour tout x de , f (x ) ke

^25x

6 Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur par f (x ) ke

^25x

6 où k est un réel.

(2)

4. Application : charge d'un condensateur

a. L équation est E RC y y , c'est-à-dire y 1

RC y E

RC ou encore (en remplaçant par les valeurs) : y 25 y 150.

D après la question précédente, les solutions sont les fonctions

définies sur par

f( x) ke

^25x

6

où

k

est un réel.

b. La tension initiale est nulle donc on sait que u

c

est la solution de ( E ) telle que u

c

(0) 0.

u

c

est solution de ( E) donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , u

C

(x ) ke

^25x

6 u

C

(0) 0 donc ke

⁰

6 0 donc k 6.

La fonction u

_C

est définie sur par u

_C

(x) 6 e

^25x

() () TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 12 e

Pour tout x de de , 3f (x ) 6f ( x) 36e

6

6e

1 donc f est solution de l équation.

2. Soit a un réel non nul.

a. Soit k un réel et f

la fonction définie sur par f

( x) ke

.

f

est dérivable sur . Pour tout x de , f

(x) k ae

ake

af ( x) donc f

est solution de l équation y a y.

b. Soit g une solution de l équation y ay . Montrons que g (x ) ke

où k est un réel.

Soit f la fonction définie sur par f( x) g( x)e

g est dérivable sur . Pour tout x de , f ( x) g ( x) e

g (x ) ( a e

) .

g est solution de l équation y ay donc, pour tout x de , g ( x) a g( x)?

Ainsi, f (x) a g(x )e

g (x ) ( a e

) 0

f est nulle sur donc f est constante sur

donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , f (x ) k donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , g (x )e

k donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , g (x ) k e

3.

a. Soit f une fonction constante : f (x ) k où k est un réel.

Alors, pour tout x de , f (x) 0.

f est solution de (E ) ssi 0 25k 150 ssi k 6

La fonction constante définie sur par f (x ) 6 est solution de (E).

b. Soit (F ) l équation y= 2 5y.

i) Ici, on a une équivalence à montrer (ssi) donc soit on procède en deux étapes : on montre que si f est solution de (E ), f 6 est solution de (

la démonstration, ce qu on va faire ici.

On peut partir du début ou de la fin et essayer de "recoller les morceaux".

Brouillon :

) ssi f 25

150

6) 25(

6)

0 25

15 0

On retrouve la même chos e. On voi t qu i l est plus facil e de partir de la fin.

Rédaction correcte :

f 6 est solution de ( F) ssi ( f 6) 25( f 6) ssi f 0 25 f 150 ssi f 25 f 150 ssi f est solution de (E )

Donc f est une solution de (E) ssi f 6 est une solution de ( F).

ii) (F) est l équation y 25 y donc, d après la question 2, les solutions de (F ) sont les fonctions définies sur par f

( x) ke

où k est un réel.

iii) f solution de (E) ssi f 6 solution de (F)

ssi il existe un réel k tel que, pour tout x de , (f 6)(x ) ke

ssi il existe un réel k tel, pour tout x de , que f (x ) 6 ke

ssi il existe un réel k tel que, pour tout x de , f (x ) ke

6

Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur par f (x ) ke

6 où k est un réel.

4. Application : charge d'un condensateur

a. L équation est E RC y y , c'est-à-dire y 1

RC y E

RC ou encore (en remplaçant par les valeurs) : y 25 y 150.

D après la question précédente, les solutions sont les fonctions

f( x) ke

6

k

b. La tension initiale est nulle donc on sait que u

est la solution de ( E ) telle que u

(0) 0.

u

est solution de ( E) donc il existe un réel k tel que, pour tout x de , u

(x ) ke

6 u

(0) 0 donc ke

6 0 donc k 6.

La fonction u

est définie sur par u

g (x ) ( ^{a e}

) ^.

g (x ) ( ^{a e}

) ⁰