f solution de F ϕ ⇔

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Problème 1. Autour des involutions de R.

Dans ce problème, I désigne un intervalle ouvert de R. Une involution de I est une fonction ϕ dénie sur I et à valeurs dans I , dérivable à tous les ordres et telle que ϕ◦ϕ = id I . Étant donnée une telle involution ϕ , on considère une équation fonctionnelle F ϕ et une équation diérentielle E ϕ :

f solution de F ϕ ⇔

f est dérivable de I dans C

f ⁰ = f ◦ ϕ .

f solution de E ϕ ⇔

f est deux fois dérivable de I dans C

f ⁰⁰ − ϕ ⁰ f = 0 .

I. Calculs préliminaires

Les deux questions sont indépendantes.

1. Soit µ ∈ C. Résoudre sur ]0, +∞[ l'équation diérentielle :

y ⁰ (x) − 1

2x y(x) = µ

√ x .

2. Soit α ∈]0, π[ xé.

a. Pour t ∈]0, π[ , exprimer cos(t) en fonction de u = tan ₂ ^t . b. Pour θ ∈]0, π[ , calculer l'intégrale

Z θ

0

dt 1 + cos(α) cos(t)

en utilisant le changement de variables u = tan ₂ ^t . On pourra penser à exprimer

1−cos(α)

1+cos(α) en fonction de tan ^α ₂ .

c. Montrer que l'application ψ α dénie sur J =]0, π[ par :

ψ _α (θ) = π − sin(α) Z θ

0

dt 1 + cos(α) cos(t) est une involution de J .

II. Étude d'un cas particulier

Dans cette partie, a > 0 , I = ]0, +∞[ et ϕ est dénie sur I par : ϕ(x) = a

x .

1. Montrer qu'il existe un unique c > 0 à préciser tel que ϕ(c) = c (point xe).

2. Déterminer un réel a > 0 tel que la fonction racine carrée soit solution de F ϕ . Vérier que la fonction racine carrée est alors solution de E ϕ .

3. Dans cette question, a = ¹ ₄ .

a. Soient f ₁ et f ₂ deux solutions de E _ϕ et W = f ₁ f ₂ ⁰ − f ₁ ⁰ f ₂ . Montrer que W est constante.

b. Soit f 1 une solution de E ϕ qui ne s'annule pas, soit y une fonction deux fois dérivable sur I . Montrer que si f 1 y ⁰ − f ₁ ⁰ y est constante, alors y est solution de E ϕ .

c. Déterminer l'ensemble des solutions de E ϕ .

4. Soit f deux fois dérivable sur I . On lui associe la fonction z dénie sur R par :

∀x ∈ R , z(x) = f (e ^x ).

Montrer que f est solution de E ϕ si et seulement si z ⁰⁰ − z ⁰ + az = 0 . 5. On dénit la puissance complexe d'un réel strictement positif par :

∀x ∈]0, +∞[, ∀u ∈ C , x ^u = e ^{u ln(x)} .

Pour u xé, exprimer la dérivée de la fonction x 7→ x ^u comme une puissance de x . 6. Dans cette question, a 6= ¹ ₄ . On note u ₁ et u ₂ les nombres complexes vériant :

u ₁ + u ₂ = 1, u ₁ u ₂ = a.

On note f _c la fonction dénie sur I par : f c (x) = u ₂ − c

u 2 − u 1

x c

^u

+ c − u ₁ u 2 − u 1

x c

^u

où c est le point xe déni en II.1.

a. Montrer que u 1 6= u 2 . Que dire de u 1 et u 2 si 0 < a < ¹ ₄ ? si a > ¹ ₄ ? b. Préciser, à l'aide de u 1 et u 2 , les solutions de E ϕ .

c. Montrer que f _c est l'unique solution y de E ϕ vériant y(c) = y ⁰ (c) = 1 . d. Montrer que f _c est solution de F _ϕ .

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III. Involutions conjuguées

1. On considère deux intervalles I et J de R ainsi qu'une involution ϕ de I et une bijection h : J → I dérivable à tous les ordres.

On dénit ψ dans J par :

ψ = h ⁻¹ ◦ ϕ ◦ h.

a. Montrer que ψ est une involution de J .

b. Soit f une solution de F ϕ . On dénit g dans J par g = f ◦ h . Montrer que : g ⁰ = h ⁰ × g ◦ ψ.

2. Soit α ∈ ]0, π[ . Trouver une involution ϕ _α sur un intervalle I à déterminer ainsi qu'une bijection h de J = ]0, π[ vers I tels que :

ψ _α = h ⁻¹ ◦ ϕ _α ◦ h

où ψ α est la fonction introduite dans la partie I. On cherchera ϕ α sous la forme x 7→ ^a _x .

Problème 2. Théorème de Poncelet.

Dénitions et notations

• Le plan est identié à C.

• On identie U = {z ∈ C | |z| = 1} au cercle de centre 0 et de rayon 1 de R ² et on note D = {z ∈ C | |z| < 1} .

• Pour tout complexe z et tout réel r > 0 , on appelle cercle de centre z et de rayon r l'ensemble Γ z,r = {z + re ^it , t ∈ R } .

• Une droite d'équation ax + by = c (avec a, b, c ∈ R et (a, b) 6= (0, 0) ) est identifée à l'ensemble {z ∈ C | a Re(z) + b Im(z) = c} ⊂ C.

• Pour tout α ∈ R, on note τ α la fonction dénie par : ∀t ∈ R , τ α (t) = t + α .

Introduction. Soit Γ un cercle contenu dans D et z 0 , z 1 deux points de U tels que la droite (z ₀ z ₁ ) soit tangente au cercle Γ . Notons z ₂ l'unique point de U distinct de z ₀ tel que (z ₁ z ₂ ) soit tangente à Γ . On construit par récurrence une suite (z _n ) en notant, pour tout n ≥ 1 , z _n+1 l'unique point de U distinct de z _n−1 tel que la droite (z _n z _n+1 ) soit tangente à Γ . Le but de ce problème est de démontrer le théorème de Poncelet :

soit la suite (z n ) _n∈N est périodique pour toute valeur de z 0 , soit elle ne l'est pour aucune.

En d'autres termes, le caractère périodique ou non de la suite (z n ) n∈ N dépend uniquement de Γ et non de z ₀ .

z 0

z ₁ z ₃

z 4

z ₅

Γ

I. Conjugaison dans G

On note G l'ensemble des fonctions f ∈ C ¹ ( R , R ) telles que :

∀t ∈ R , f ⁰ (t) > 0 et f (t + 2π) = f (t) + 2π.

1. Soit f ∈ G .

a. Montrer que ∀(t, n) ∈ R × Z, f (t + 2nπ) = f (t) + 2nπ . b. En choisissant judicieusement n , montrer que :

∀t ∈ R , f(0) + t − 2π ≤ f (t) ≤ f (2π) + t.

c. Montrer que f est une bijection de R dans R.

2. Montrer que ∀(f, g) ∈ G ² , f ⁻¹ ∈ G et f ◦ g ∈ G .

3. Soit h ∈ C ¹ ( R , R ^∗ + ) une fonction 2π -périodique à valeurs strictement positives.

a. Montrer qu'il existe ϕ ∈ G telle que ϕ ⁰ = h si et seulement si Z 2π 0

h(t) dt = 2π . b. Montrer qu'il existe λ > 0 et ϕ ∈ G tels que ϕ ⁰ = λh .

4. Deux éléments f et g de G sont dits conjugués dans G s'il existe ϕ ∈ G telle que ϕ ◦ f ◦ ϕ ⁻¹ = g .

a. Soit f ∈ G et α ∈ R. Supposons f et τ α conjugués dans G . Il existe alors ϕ ∈ G tel que ϕ ◦ f ◦ ϕ ⁻¹ = τ α . Comparer ϕ ⁰ et f ⁰ × (ϕ ⁰ ◦ f ) .

b. Soit h ∈ C ¹ ( R , R ^∗ + ) une fonction 2π -périodique à valeurs strictement positives et f ∈ G telles que h = f ⁰ × (h ◦ f ) .

Montrer qu'il existe α ∈ R tel que f et τ α . soient conjugués dans G .

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II. L'application de Poncelet

Soit z 0 ∈ C et r > 0 tels que |z 0 | + r < 1 . Dénissons une fonction à valeurs complexes z et une fonction à valeurs réelles p par :

∀t ∈ R , z(t) = z 0 + re ^it , p(t) = Re(r + z 0 e ^−it ).

5. Montrer que

∀t ∈ R , p(t) = Re z(t)e ^−it

, |p(t)| < 1, p ⁰ (t) = Im z(t)e ^−it .

Dénissons des fonctions à valeurs réelles ϕ 1 et ϕ 2 par :

∀t ∈ R , ϕ ₁ (t) = t + arccos(p(t)), ϕ ₂ (t) = t − arccos(p(t)).

6. Montrer que ϕ 1 , ϕ 2 ∈ G .

7. Posons f = ϕ 2 ◦ ϕ ⁻¹ ₁ . Soit θ ∈ R.

a. Montrer que :

ϕ ⁻¹ ₁ (θ) = θ + f (θ)

2 et p(ϕ ⁻¹ ₁ (θ)) = cos

θ − f (θ) 2

.

b. Montrer que :

z(ϕ ⁻¹ ₁ (θ)) = e ^{if (θ)} + f ⁰ (θ)e ^iθ 1 + f ⁰ (θ) . c. En déduire que :

f ⁰ (θ) =

e ^{if (θ)} − z(ϕ ⁻¹ ₁ (θ)) e ^iθ − z(ϕ ⁻¹ ₁ (θ))

.

III. Le théorème de Poncelet

On reprend les notations des parties I et II, en particulier pour les fonctions z , p(t) et f . On note x ₀ = Re(z ₀ ) et y ₀ = Im(z ₀ ) et Γ = Γ _z

_,r le cercle de centre z ₀ et de rayon r .

8. Montrer que Γ ⊂ D.

9. Soient u, q ∈ R et ∆ la droite d'équation cos(u)x + sin(u)y = q . a. Montrer que ∆ ∩ U non vide entraine |q| ≤ 1 .

b. On suppose qu'il existe ϕ ∈ R tel que q = cos(ϕ) . Déterminer ∆ ∩ U.

10. Notons D t la droite d'équation cos(t)x + sin(t)y = p(t) . a. Montrer que D t ∩ Γ = {z(t)} .

On en déduit que D t est la tangente au cercle Γ au point z(t) . b. Montrer que D t ∩ U = {e ^iϕ

^(t) , e ^iϕ

^(t) } .

11. Montrer que pour tout θ , les droites (e ^iθ , e ^if(θ) ) et (e ^iθ , e ^if

^(θ) ) sont les deux tangentes à Γ passant par e ^iθ . Que représentent les complexes z(ϕ ⁻¹ ₁ (θ)) et z(ϕ ⁻¹ ₂ (θ)) ?

12. Montrer qu'il existe α ∈ R et ϕ ∈ G tels que ϕ◦ f ◦ϕ ⁻¹ = τ α . On pourra faire intervenir une argumentation géométrique.

13. Soit θ ∈ R, considérons la suite (θ n ) _n∈N dénie par θ 0 = θ et

∀n ∈ N , θ n+1 = f (θ n ).

a. Pour tout n ∈ N, exprimer θ n en fonction de τ nα , ϕ et ϕ ⁻¹ .

b. Pour tout n ∈ N, notons z n = e ^iθ

. À quoi correspond géométriquement la suite (z n ) _n∈N ?

c. Sous quelle condition nécessaire et susante la suite (z n ) _n∈N est-elle périodique ? Cette condition dépend-elle de z 0 ?

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