TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Définition : Soient a et b deux réels fixés. On dit qu’une fonction f dérivable sur un intervalle I est solution de l’équation différentielle y ′ a y b si et seulement si pour tout x de I; f ′(x ) af (x ) b .

Résoudre l’équation différentielle; c’est déterminer toutes les fonctions solutions de cette équation 1. On considère l’équation différentielle 3y 6 y 1.

Justifier que la fonction f définie sur par f( x) 6 e

^2x



 est solution de cette équation.

2. Soit a un réel non nul.

On souhaite montrer le théorème suivant :

Les solutions sur de l’équation différentielle y ′ ay sont les fonctions définies par f

_k

( x ) ke

^{a x}

où k est un réel quelconque

a. Montrer que les fonctions f

k

sont solutions de l équation y ay

b. Montrer que si g est une solution de l équation y ay , alors g (x) ke

^ax

où k est un réel.

Aide : on peut poser f (x) g (x)e

^ax

et montrer que f est constante sur .

3. On souhaite déterminer les solutions de l équation (E) : y' 2 5 y 150 :

a. Déterminer une fonction constante solution de l équation (E).

b. Soit (F ) l équation y = 2 5y .

i) Soit f une fonction dérivable sur . Montrer que f est une solution de (E) ssi f 6 est une solution de (F ).

ii) A l aide de la question 2, donner les solutions de ( F).

iii) En déduire les solutions de (E ).

4. Application : charge d'un condensateur

On considère le montage électrique représenté par le schéma ci-dessous :

Le condensateur de capacité C = 4 10

⁴

F (farads) est monté en série avec un générateur dont la tension aux bornes est E = 6 V et un conducteur ohmique de résistance R = 100 (ohms).

A l'instant initial le condensateur est déchargé et la tension est nulle à ses bornes. On ferme le circuit, et on s'intéresse à l'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur.

D'après la loi d'Ohm et la loi d'addition des tensions, la tension uc aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle : E R C du

C

dt u

c

TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

TERMINALE S APPROFONDISSEMENT ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Définition : Soient a et b deux réels fixés. On dit qu’une fonction f dérivable sur un intervalle I est solution de l’équation différentielle y ′ a y b si et seulement si pour tout x de I; f ′(x ) af (x ) b .

Résoudre l’équation différentielle; c’est déterminer toutes les fonctions solutions de cette équation 1. On considère l’équation différentielle 3y 6 y 1.

Justifier que la fonction f définie sur par f( x) 6 e



 est solution de cette équation.

2. Soit a un réel non nul.

On souhaite montrer le théorème suivant :

Les solutions sur de l’équation différentielle y ′ ay sont les fonctions définies par f

( x ) ke

où k est un réel quelconque

a. Montrer que les fonctions f

sont solutions de l équation y ay

b. Montrer que si g est une solution de l équation y ay , alors g (x) ke

où k est un réel.

Aide : on peut poser f (x) g (x)e

et montrer que f est constante sur .

3. On souhaite déterminer les solutions de l équation (E) : y' 2 5 y 150 :

a. Déterminer une fonction constante solution de l équation (E).

b. Soit (F ) l équation y = 2 5y .

i) Soit f une fonction dérivable sur . Montrer que f est une solution de (E) ssi f 6 est une solution de (F ).

ii) A l aide de la question 2, donner les solutions de ( F).

iii) En déduire les solutions de (E ).

4. Application : charge d'un condensateur

On considère le montage électrique représenté par le schéma ci-dessous :

Le condensateur de capacité C = 4 10

F (farads) est monté en série avec un générateur dont la tension aux bornes est E = 6 V et un conducteur ohmique de résistance R = 100 (ohms).

A l'instant initial le condensateur est déchargé et la tension est nulle à ses bornes. On ferme le circuit, et on s'intéresse à l'évolution de la tension uc aux bornes du condensateur.

D'après la loi d'Ohm et la loi d'addition des tensions, la tension uc aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle : E R C du

dt u

où t est le temps en secondes.

a. Écrire une l'équation sous la forme y' ay b et donner les solutions de cette équation.

b. Déterminer la valeur du réel k en tenant compte des conditions initiales.

c. Donner la valeur de uc au bout de 100 ms.