CITISE 2 : analyse approfondie 2012-2013 Chapitre 4 : Int´egration des formes diff´erentielles

CITISE 2 : analyse approfondie 2012-2013

Chapitre 4 : Int´ egration des formes diff´ erentielles

O. ROBERT

olivier.robert@univ-st-etienne.fr

Int´ egrale curviligne

D´efinition

Soit U un ouvert deRⁿ. Un chemin de U est une application continueγ : [a,b]→U o`u [a,b]est un intervalle ferm´e born´e deR. Un cheminγ : [a,b]→U est dit de classe C¹ par morceaux si de plus il existe un nombre fini de points de subdivision

a=t₀ <t₁ <· · ·<t_n=b tels que γ soit de classe C¹ sur chaque ]t_i,t_i+1[ et tels que la d´eriv´eeγ⁰ admette une limite `a droite et une limite `a gauche en chaque point ti.

Remarque.Dans la pratique, la courbe orient´ee d´ecrite par le chemin sera souvent compos´ee desegmentset d’arcs de cercles.

Exemple 1: on consid`ere le cheminγ dans R² d´efini par γ(t) = (cost,sint) pour tout 06t6π/2.

Ce chemin parcourt un arc de cercle : l’arc joignant dans le sens direct le point (1,0) au point (0,1) sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 1.

Exemple 2: On consid`ere le cheminγ : [0,3]→R² d´efini par γ(t) = cos(πt/2),sin(πt/2)

pour tout 06t61, γ(t) = (1−t,2−t) pour 1<t62,

γ(t) = (2t−5,0) pour 2<t63.

SoitU un ouvert deR^m, soit ω une 1-forme diff´erentielle de classe C⁰ sur U, et soitγ : [a,b]→U un chemin de U de classeC¹ par morceaux. Notonsγ₁, γ₂, . . . , γ_m les composantes deγ de sorte que

γ(t) = γ₁(t), . . . , γ_m(t)

pour tout a6t 6b.

Si on ´ecritω sous la forme ω=

m

X

j=1

a_jdx_j

o`u a_j sont des fonctions continues, alors, par d´efinition, l’int´egrale curviligne deω le long du cheminγ est

Z

γ

ω :=

Z b a





m

X

j=1

a_j γ(t) γ_j⁰(t)



dt.

Cas particuliers importants: en dimension 2 et 3, on rappelle que les formesdxi sont not´ees ´egalementdx,dy (etdz en dimension 3).

Siω=Pdx+Qdy est une 1-forme continue (i.e.telle que les fonctionsa etb) sur un ouvertU deR², et siγ : [a,b]→U est un chemin de classeC¹ par morceaux, disons

γ(t) = (γ1(t), γ2(t)) pour tout a6t6b, alors

Z

γ

ω= Z

γ

Pdx+Qdy :=

Z b a

P γ(t)

γ₁⁰(t) +Q γ(t) γ₂⁰(t)

dt.

De mˆeme en dimension 3, siω =Pdx+Qdy+Rdz est une 1-forme continue sur un ouvertU deR³, et siγ : [a,b]→U est un chemin de classeC¹ par morceaux, disons

γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t), γ₃(t)) pour touta6t 6b, alors

Z

γ

ω= Z

γ

Pdx+Qdy+Rdz :=

Z _b

a

P γ(t)

γ₁⁰(t) +Q γ(t)

γ₂⁰(t) +R γ(t) γ₃⁰(t)

dt.

Exemple: on consid`ere le cheminγ d´efini par

γ(t) = (cost,sint) pour tout 06t6π/2.

Ce chemin parcourt un arc de cercle : l’arc joignant dans le sens direct le point (1,0) au point (0,1) sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 1.

Calculons Z

γ

xydx

Z

γ

xydx= Z π/2

0

(cost)(sint)(−sint)dt =− Z π/2

0

(sint)²(cost)dt

=−1

3 (sin(π/2))³−(sin 0)³

=−1 3

en remarquant que ¹₃(sint)³ est une primitive de (sint)²(cost).

Changement de param` etres

´Etant donn´e un chemin γ : [a,b]→U de classeC¹ par morceaux (o`u U est un ouvert de R<sup>n</sup>), l’ensemble des points γ(t) avec a6t 6b est donc un arc de courbe, ou une r´eunion d’arcs de courbes mis bout `a bout, commen¸cant au point γ(a) et terminant au pointγ(b). Si l’on consid`ere la courbe ainsi trac´ee, il existe plusieurs param´etrages de cette courbe.

Exemple : les chemins

γ :t7→(cost,sint) (06t 6π/2), η(t) :t7→ cos(πt/2),sin(πt/2)

(06t61), Γ :t 7→ cos(π/2−t),sin(π/2−t)

(06t 6π/2) d´efinissent le mˆeme arc de cercle.

γ :t7→(cost,sint) (06t 6π/2), η(t) :t7→ cos(πt/2),sin(πt/2)

(06t61), Γ :t 7→ cos(π/2−t),sin(π/2−t)

(06t 6π/2) Toutefois, l’orientation peut ˆetre diff´erente : le chemin η a mˆeme orientation queγ, tandis que Γ a une orientation oppos´ee.

Les deux derniers chemins se d´eduisent du premier par un changement de param`etreϕ: [a⁰,b⁰]→[a,b] de classe C¹ qui forme une bijection strictement monotone dont la d´eriv´ee ne s’annule pas.

Dans le deuxi`eme exemple, nous avons η=γ◦ϕo`u ϕ: [0,1]→[0, π/2] est d´efinie parϕ(t) :=πt/2 pour 06t 61.

Dans le troisi`eme exemple, nous avons Γ =γ◦ϕ o`u ϕ: [0, π/2]→[0, π/2] est d´efinie parϕ(t) :=π/2−t pour 06t 6π/2.

Siγ : [a,b]→U est un chemin de classe C¹ par morceaux, alors γ◦ϕ: [a⁰,b⁰]→U

est ´egalement un chemin de classe C¹ par morceaux. On dit que le cheminγ◦ϕse d´eduit du cheminγ par le changement de

param`etreϕ.

Siϕest strictement croissante, on dit queϕconserve l’orientation.

Siϕest strictement d´ecroissante, on dit que ϕchange l’orientation.

Proposition

Avec les notations pr´ec´edentes, on a Z

γ◦ϕ

ω = Z

γ

ω si ϕconserve l’orientation, Z

γ◦ϕ

ω=− Z

γ

ω si ϕchange l’orientation.

Remarque importante : raccordement de chemins Consid´erons deux chemins

γ₁ : [0,1]→U et

γ₂ : [0,1]→U

de classeC¹ par morceaux. On suppose queγ₁(1) =γ₂(0), autrement dit que les deux arcs de courbe se raccordent au point γ1(1) =γ2(0). Alors, le chemin γ : [0,1]→U d´efini par

γ(t) =γ1(2t) si 06t 61/2 γ(t) =γ₂(2t−1) si 1/26t61

est tout simplement le chemin obtenu en parcourant d’abord le cheminγ₁ puis en parcourant ensuite le chemin γ₂.

Une cons´equence importante de la proposition pr´ec´edente (et de la relation de Chasles) est que, avec les notations ci-dessus

Z

γ

ω= Z

γ1

ω+ Z

γ2

ω.

Autrement dit, pour calculer l’int´egrale le long de ω sur le chemin γ, on peut calculer s´epar´ement chacune des int´egrales

respectivement le long deγ₁ et le long deγ₂.

Application: calculer

Z

γ

xydx

o`u γ est le chemin suivant : on parcourt le segment joignant (0,0)

`a (1,0) dans ce sens, puis on parcourt le cercle de centre (0,0) et de rayon 1 dans le sens direct de (1,0) `a (0,1), puis on parcourt le segment joignant (0,1) `a (−1,0) dans ce sens.

Pour cela, on d´ecoupe le chemin en trois sous-chemins : γ₁(t) = (t,0) 06t 61

γ2(t) = (cost,sint) 06t 6π/2 γ₃(t) = (−t,1−t) 06t 61

Ainsi, comme les int´egrales sont ind´ependantes du param´etrage (du moment que l’orientation est conserv´ee), on a

Z

γ

xydx = Z

γ1

xydx+ Z

γ2

xydx+ Z

γ3

xydx

Cas o` u ω est la diff´ erentielle d’une fonction

Soitg :U →Kune application de classe C¹. On cherche `a calculer l’int´egrale de la forme diff´erentielleω :=dg. Proposition

Siγ : [a,b]→U est un chemin de classe C¹ par morceaux, et si g :U →Kest une application de classe C¹, alors

Z

γ

dg =g γ(b)

−g γ(a) .

Ce r´esultat est tr`es important : il montre que siω est la diff´erentielle d’une fonction g, alors R

γω ne d´epend que de l’origineγ(a) et de l’extr´emit´eγ(b) du cheminγ.

Id´ee de la d´emonstration dans un exercice en TD.

D´efinition

Un cheminγ : [a,b]→U tel queγ(a) =γ(b)est appel´e un chemin ferm´e. On dit aussi que γ est un lacet.

Remarque. Siγ est un lacet de classeC¹ par morceaux et si g :U →Kest une fonction de classe C¹, alors

Z

γ

dg = 0.

D´efinition

Etant donn´´ ee une 1-forme diff´erentielle exacteω continue sur U, on appelle primitive deω toute fonction f :U →Kde classe C¹ telle queω=df .

Dans la suite, nous allons avoir besoin d’une notion math´ematique formalisant le fait qu’un ouvertU est ”en un seul morceau”

D´efinition

On dit qu’un ouvert U deKⁿ est connexe si pour tous points x et y de U il existe un chemin de U de classe C¹ par morceaux joignant x `a y .

On sait qu’une fonctionf d´erivable sur un intervalleI deRet telle quef⁰ soit identiquement nul surI est constante. Cette notion d’ouvert connexe va permettre de g´en´eraliser ce r´esultat Proposition

Soit U un ouvert connexe deKⁿ et f :U →K une fonction de classe C¹ telle quedf = 0 identiquement. Alors f est constante sur U.

Th´eor`eme

Soit U un ouvert connexe deKⁿ, et soit ω une1-forme

diff´erentielle de classe C⁰ sur U. Les propositions suivantes sont

´equivalentes :

i) ω est une forme exacte sur U

ii) Pour tout lacet γ de classe C¹ par morceaux, on a Z

γ

ω= 0

Ce r´esultat est particuli`erement adapt´e pour montrer qu’une 1-formeω n’est pas une forme exacte : il suffit alors de montrer qu’il existe un lacetγ tel que

Z

γ

ω 6= 0.

Exemple d’une forme diff´erentielle ferm´ee qui n’admet pas de primitive.

On consid`ere la 1-forme diff´erentielle ω d´efinie sur U =R²r{(0,0)} par

ω(x,y) =− y

x²+y²dx+ x

x²+y²dy pour tout (x,y)∈U. Cet exemple est trait´e en TD

Vocabulaire de la physique

´Etant donn´ee une 1-forme diff´erentielle surU ⊂R³ ω=Pdx+Qdy+Rdz,

o`u P,Q,R sont des fonctions continues, on rappelle qu’on peut lui associer le champ de vecteurs−→

V :U →R³ en posant

−

→V(x,y,z) := P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

(x,y,z)∈U Alors, pour tout cheminγ : [a,b]→U de classe C¹ par morceaux, l’int´egrale curviligne de ω le long deγ est aussi not´ee en physique

Z

γ

−

→V ·d−→

` :=

Z

γ

Pdx+Qdy+Rdz.

Cette int´egrale est aussi appel´eecirculation du champ de vecteurs

−

→V le long deγ.

Notion de compact ` a bord, dans R

Compact

Un compact deR² est une partie ferm´ee born´ee deR² : c’est une partieK ⊂R² contenue dans une boule ferm´eeB(0,R) pour un certainr >0. De plus, dans les exemples que nous verrons,

”ferm´e” traduit le fait que la fronti`ere deK appartient `aK. Exemples : un disque ferm´e, l’int´erieur d’une figure polygonale dans laquelle le bord est inclus...

Courbes

On appellera courbe de classeC¹ par morceaux une partie Γ s’´ecrivant comme une union (Γj)j6n6J de courbes param´etr´ees de classeC¹ de param´etrage γ_j : [a_j,b_j]→R² (16j 6J) de sorte que

Chaque pointγj(t) avect∈]a_j,bj[ appartient `a un et un seul arc de courbe (autrement dit, il n’y a pas de points double), pour tout j

γ_j⁰(t)6= (0,0) pour toutt ∈]a_j,b_j[, pour tout j, il existe des indicesi et k uniques tels que

γ_i(b_i) =γ_j(a_j) etγ_j(b_j) =γ_k(a_k).

Autrement dit chaque arc de courbe Γj est raccord´e `a deux uniques courbes `a ses extr´emit´es.

Les ´eventuels points o`u la courbe Γ n’est pas de classe C¹ sont parmi les points de raccordement : on les appellepoints anguleux de la courbe Γ. Les autres points de la courbe Γ sont appel´ee points r´eguliers de la courbe.

Une partieK deR² est appel´ee un compact `a bord siK est un compact dont la fronti`ere∂K est une courbe de classeC¹ par morceaux telle que pour tout point r´egulier (x0,y0)∈∂K, il existe une boule ouverteB de centre (x₀,y₀) telle que Γ s´epareB

exactement en deux parties connexes par arcs, l’une `a l’ext´erieur de K et l’autre `a l’int´erieur de K.

Dans les cas ´etudi´es, le bord sera compos´e de segments et d’arcs de cercles.

Trois exemples de compact `a bord de R²

Compact `a bord orient´e

Par convention, ´etant donn´e un compact `a bordK, on oriente le bord de sorte que lorsqu’on le parcourt l’int´erieur deK est toujours

`a gauche dans le sens de parcours.

Int´ egrale dans R

Soitf : [a,b]×[c,d]→Rune fonction int´egrable (il en existe, par exemple les fonctions continues), alors par d´efinition, l’int´egrale double def sur [a,b]×[c,d] est

Z Z

[a,b]×[c,d]

f(x,y)dxdy

= Z b

a

Z d c

f(x,y)dy

dx= Z d

c

Z b a

f(x,y)dx

dy.

Autrement dit, on int`egre d’abord par rapport `a une variable, puis par rapport `a l’autre.

Exemple: calcul de Z Z

[1,2]×[0,1]

2(x+y²)ydxdy?

Soitf : [a,b]×[c,d]→Rune fonction continue et K un compact

`a bord tel queK ⊂[a,b]×[c,d]. On cherche `a int´egrerf sur K, autrement on cherche `a donner un sens `a

Z Z

K

f(x,y)dxdy.

Par d´efinition la fonction caract´eristique 1_K est la fonction d´efinie surR² telle que

1_K(x,y) = 1 si (x,y)∈K, et 1_K(x,y) = 0 si (x,y)6∈K.

On peut montrer que sif est une fonction continue et siK est un compact `a bord, alors la fonction

(x,y)7→f(x,y).1K(x,y) est int´egrable sur [a,b]×[c,d].

Par d´efinition, on pose Z Z

K

f(x,y)dxdy :=

Z Z

[a,b]×[c,d]

f(x,y)1_K(x,y)dxdy.

Exemple de calcul : On consid`ere le triangle

T :={(x,y)∈R²: 06x61 et 06y 6x}

L’ensembleT est bien un compact `a bord. A titre d’exemple, calculons

Z Z

T

xy²dxdy.

Int´ egrale d’une 2-forme sur un compact ` a bord de R

On a vu que toutes les 2-formes diff´erentielles ω sur une ouvert U deR² sont de la forme

ω(x,y) =a(x,y)dx∧dy (x,y)∈U o`u aest une fonction de classe Cⁿ sur U.

Par d´efinition, si K est un compact `a bord orient´e de R² (avec la convention vue pr´ec´edemment), alors

Z Z

K

adx∧dy:=

Z Z

K

a(x,y)dxdy i.e.l’int´egrale double de asur K.

Attention, si on int`egre une formebdy∧dx, le signe change,

Z Z

K

bdy∧dx =− Z Z

K

bdx∧dy :=− Z Z

K

b(x,y)dxdy.

Th´ eor` eme de Stokes dans le plan

Th´eor`eme

Soit K ⊂R² un compact `a bord, soit U un ouvert contenant K , et soitα∈Ω¹₁(U,R) une1-forme de classe C¹ sur U. Alors

Z Z

K

dα= Z

∂K

α

o`u dα d´esigne la diff´erentielle ext´erieure deα, et o`u ∂K d´esigne le bord de K orient´e avec la convention vue pr´ec´edemment.

Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, on a donc Z Z

K

dα= Z

∂K

α.

Explicitons imm´ediatement cette formule : en ´ecriture canonique, on a

α=Pdx+Qdy et

dα= ∂Q

∂x −∂P

∂y

dx∧dy,

On obtient

Th´eor`eme (Formule de Green-Riemann)

Soit K ⊂R² un compact `a bord, soit U un ouvert contenant K , et P et Q sont des fonctions de classe C¹ sur U deR². Alors

Z Z

K

∂Q

∂x −∂P

∂y

dxdy = Z

∂K

Pdx+Qdy, o`u ∂K d´esigne le bord de K orient´e avec la convention vue pr´ec´edemment.

Application `a des calculs d’aire

En utilisant la formule de Green-Riemann, on obtient le r´esultat suivant.

SoitK ∈R² un compact `a bord dont le bord∂K d´esigne le bord est orient´e avec la convention vue pr´ec´edemment. Alors l’aire A(K) du compact K vaut

Z Z

K

dxdy = Z

∂K

xdy =− Z

∂K

ydx = 1 2

Z

∂K

xdy−ydx.

(`A retenir)

Application : retrouver la formule donnant l’aire d’un disque de rayonR.

Changement de variables dans une int´ egrale double

SoitU et U⁰ deux ouvert de R².

On dit qu’une applicationϕ:U →U⁰ est unC¹-diff´eomorphisme si et seulement si

ϕest une bijection de U sur U⁰ ,

les deux fonctionsϕ:U →U⁰ et sa r´eciproqueϕ⁻¹:U⁰ →U sont toutes les deux de classe C¹.

Remarque: cette notion remplace la notion de bijection monotone vue `a une variable.

Matrice jacobienne

On rappelle que siϕ:U →U⁰ d´efinie par ϕ(u,v) = ϕ1(u,v), ϕ2(u,v)

pour tout (u,v)∈U, alors la matrice

J_ϕ(u,v) :=

_∂ϕ1

∂u(u,v) ^∂ϕ_∂v¹(u,v)

∂ϕ2

∂u(u,v) ^∂ϕ_∂v²(u,v)

s’appelle la matrice jacobienne deϕau point (u,v).

Propri´et´e : siϕ:U →U⁰ est unC¹-diff´eomorphisme, alors la matrice jacobienneJ_ϕ(u,v) est inversible en tout point (u,v)∈U.

SoitK un compact `a bord dans le planR², donc le bord est de classeC¹ par morceaux.

Siϕ:U →U⁰ est un C¹-diff´eomorphisme et siU contient K, alors K⁰ :=ϕ(K) est ´egalement un compact `a bord dont le bord est de classeC¹ par morceaux.

Th´eor`eme (Changement de variable)

Soient U un ouvert connexe deR² et ϕ:U →U⁰ un C¹-diff´eomorphisme. Alors, pour toute fonction continue f :U⁰ →Ret pour tout compact `a bord K ⊂U, on a

Z Z

ϕ(K)

f(x,y)dxdy

= Z Z

K

f ϕ(u,v)

|detJϕ(u,v)|dudv.

Cas particulier important de changement de variables : les coordonn´ees polaires

Ce changement de variables est `a connaˆıtre

x =ρcosθ, y =ρsinθ

Posons

U ={(ρ, θ)∈R²:ρ >0,−π < θ < π}=]0,+∞[×]−π, π[

et

U⁰=R²r{(x,y)∈R²,y = 0,x 60}.

Posons

ϕ(ρ, θ) := (ρcosθ, ρsinθ) pour tout (ρ, θ)∈U =]0,+∞[×]−π, π[.

Alors

ϕ:U →U⁰

est unC¹-diff´eomorphisme. De plus, pour tout (ρ, θ)∈U on a J_ϕ(ρ, θ) =

cosθ −ρsinθ sinθ ρcosθ

et detJ_ϕ(ρ, θ) =ρ.

Application

Calculer Z Z

D

e^−x2−y2dxdy

o`u D est le quart de disque d´efini par

D ={(x,y)∈R²:x>0,y >0,x²+y² 61}

Attention, compte tenu de la formule du changement de variables, D=ϕ(K) : il nous faut donc d´eterminerK.

Compl´ ements de cours : surfaces dans R

De mˆeme que nous avons introduit la notion de courbe param´etr´ee dansR² ouR³, nous allons consid´erer les surfaces param´etr´ees dansR³

Surface param´etr´ee

Une surface param´etr´ee dans R³ est donn´ee par une fonction

(u,v)7→ϕ(u,v) =





ϕ₁(u,v) ϕ₂(u,v) ϕ3(u,v)





d´efinies sur un ouvertU connexe par arcs, et o`u les trois fonctions ϕ1, ϕ2, ϕ3 sont de classe C<sup>1</sup> surU et `a valeurs r´eelles.

Exemple:

ϕ(u,v) =





u

√ v

20−u²−v²



 pour (u,v)∈[−2,2]×[−3,3]

Plan tangent, vecteur normal `a une surface param´etr´ee Lorsque les vecteurs

∂ϕ

∂u(u,v) =





∂ϕ1

∂u(u,v)

∂ϕ2

∂u(u,v)

∂ϕ3

∂u(u,v)



 et ∂ϕ

∂v(u,v) =





∂ϕ1

∂v (u,v)

∂ϕ2

∂v (u,v)

∂ϕ3

∂v (u,v)





sont lin´eairement ind´ependants, le plan qu’ils engendrent est le plan tangent `a la surface au pointϕ(u,v).

Leur produit vectoriel

−

→N(u,v) = ∂ϕ

∂u(u,v)×∂ϕ

∂v(u,v)

est un vecteur normal `a la surface et passant par ce point.

Le vecteur de norme 1

−

→n(u,v) =

−

→N(u,v) k−→

N(u,v)k s’appelle la normale orient´ee au pointϕ(u,v).

Produit vectoriel

Remarque : traditionnellement le produit vectoriel de deux vecteurs

−

→a et −→

b de l’espace est not´e

−

→a ∧−→

b ou−→a ×−→ b.

Comme nous employons d´ej`a le symbole∧pour le produit ext´erieur des formes diff´erentielles, nous adopterons la deuxi`eme notation pour le produit vectoriel :−→a ×−→

b. Rappelons la formule donnant le produit vectoriel :



 a₁ a₂ a3



×



 b₁ b₂ b3



=



 c₁ c₂ c3





avec c₁ =

a₂ b₂ a3 b3

, c₂ =

a₃ b₃ a1 b1

et c₃ =

a₁ b₁ a2 b2

Aire des parall´elogrammes

Voici une expression vectorielle de l’aire d’un parall´elogramme :

´etant donn´e deux vecteurs−→a et−→

b non colin´eraires, l’aire du parall´elogramme dont les sommets sont−→

0,−→a,−→

b,−→a +−→ b est k−→a ×−→

bk.

Aire d’une surface param´etr´ee

SoitD un domaine du plan (i.e. une partie du plan connexe par arc) et

ϕ:D→R³

une surface param´etr´ee. Alors l’aire de cette surface param´etr´ee est donn´ee par l’int´egrale double

Z Z

D

∂ϕ

∂u(u,v)×∂ϕ

∂v(u,v)

dudv.

Exemple : calculer l’aire de la sph`ere de centreO et de rayonR en utilisant les coordonn´ees latitude-longitude :

ϕ(u,v) =





Rcosucosv Rcosusinv

Rsinu



 (u,v)∈]−π/2, π/2[×[−π, π].

On a

∂ϕ

∂u(u,v)×∂ϕ

∂v(u,v) =





−Rsinucosv

−Rsinusinv Rcosu



×





−Rcosusinv Rcosucosv

0



=





−R²(cosu)²cosv

−R²(cosu)²sinv

−R²cosusinu





donc

∂ϕ

∂u(u,v)×∂ϕ

∂v(u,v)

=R²cosu.

L’aire cherch´ee est donc Z

]−π/2,π/2[×[−π,π]

R²cosududv=R² Z π

−π

Z π/2

−π/2

cosudu

!

dv = 4πR².

Int´ egrale d’une 2-forme diff´ erentielle dans R

Orientation d’une surface

Orienter une surface, c’est choisir en chaque point l’un des deux vecteurs unitaires orthogonaux au plan tangent, de fa¸con continue.

Un param´etrisation ϕ:D →R³ d’une surface de classeC¹ telle que

−

→N(u,v) = ∂ϕ

∂u(u,v)×∂ϕ

∂v(u,v)6=−→

0 pour tout (u,v) (i.e. les vecteurs ne sont pas colin´eaires) d´etermine une orientation donn´ee par

(u,v)→

−

→N(u,v) k−→

N(u,v)k qui est bien une fonction continue.

D´efinition de l’int´egrale d’une2-forme sur une surface orient´ee :

Soit

ω=a1dx2∧dx3+a2dx3∧dx1+a3dx1∧dx2

une 2-forme diff´erentielle de classeC⁰ sur une ouvertU deR³. Soit Σ une surface orient´ee d´efinie par une param´etrisation ϕ:D →R³

(u,v)7→ϕ(u,v) =





ϕ₁(u,v) ϕ₂(u,v) ϕ3(u,v)



.

Posons pour simplifier

N(u,v) := ∂ϕ

∂u(u,v)×∂ϕ

∂v(u,v) =





N1(u,v) N2(u,v) N₃(u,v)



.

Alors Z Z

Σ

ω= Z Z

D

F(u,v)dudv o`u l’on a pos´e

F(u,v)

=a₁ ϕ(u,v)

N₁(u,v)+a₂ ϕ(u,v)

N₂(u,v)+a₃ ϕ(u,v)

N₃(u,v).

Exemple : Calculer Z Z

Σ

x1dx2∧dx3+x2dx3∧dx1

o`u Σ est la sph`ere unit´e orient´ee par la normale rentrante.

Th´ eor` eme de Stokes dans l’espace

Soit Σ⊂R³ une surface orient´ee. Par convention, son bord∂Σ est orient´e comme suit : le param´etrage doit ˆetre choisi de sorte que lorsqu’un observateur marche sur Σ (i.e, la normale orient´ee va de ses pieds `a sa tˆete) le long du bord, la surface Σ se trouve sur sa gauche.

Th´eor`eme

SoitΣ⊂R³ une surface orient´ee, soit U un ouvert contenantΣ, et soitα∈Ω¹₁(U,R) une 1-forme de classe C¹ sur U. Alors

Z Z

Σ

dα= Z

∂Σ

α

o`u dα d´esigne la diff´erentielle ext´erieure deα, et o`u ∂Σd´esigne le bord deΣorient´e avec la convention ci-dessus.

Vocabulaire de la physique

´Etant donn´ee une 2-forme diff´erentielle surU ⊂R³ ω=a₁dx₂∧dx₃+a₂dx₃∧dx₁+a₃dx₁∧dx₂,

o`u a₁,a₂,a₃ sont des fonctions continues, on rappelle qu’on peut lui associer le champ de vecteurs−→

V :U →R³ en posant

−

→V(x1,x2,x3) := a1(x1,x2,x3),a2(x1,x2,x3),a3(x1,x2,x3) . Alors, pour toute surface orient´ee Σ, l’int´egrale RR

Σω est aussi not´ee en physique

Z Z

Σ

−

→V ·d−→ S.

Cette int´egrale est aussi appel´eeFlux du champ de vecteurs −→ V `a travers la surface orient´eeΣ.

Vocabulaire de la physique : cons´ equence de la formule de Stokes

On rappelle que si

α=a1dx1+a2dx2+a3dx3

est une 1-forme associ´ee au champ de vecteur−→

V = (a₁,a₂,a₃), alors le champ de vecteurs associ´e `a la 2-formedα est le rotationnel−→

rot−→

V. Ainsi, si Σ est une surface orient´ee, le th´eor`eme de Stokes s’´ecrit

Z

∂Σ

−

→V ·d−→

` = Z Z

Σ

−→ rot−→

V ·d−→ S. Autrement, la circulation du champ de vecteur−→

V le long du bord d’une surface orient´ee Σ est ´egale au flux du rotationnel de de−→

V `a travers cette surface.

Int´ egrale dans R

: int´ egrale triple

On d´efinit de la mˆeme mani`ere que pour l’int´egrale double, par it´eration des int´egrales. Si K ⊂[a₁,b₁]×[a₂,b₂]×[a₃,b₃] est une partie ferm´ee de R³ et sif est une fonction continue sur un ouvert U contenantK, alors

Z Z Z

K

f(x₁,x₂,x₃)dx₁dx₂dx₃

= Z b1

a1

Z b2

a2

Z b3

a3

f(x1,x2,x3)1_K(x1,x2,x3)dx3

dx2

dx1

Formule d’Ostrogradsky

Soit Σ une surface ferm´ee qui d´elimite un volume U deR³. Soit ω=a₁dx₂∧dx₃+a₂dx₃∧dx₁+a₃dx₁∧dx₂

une 2-forme diff´erentielle de classeC¹ d´efinie sur U. On suppose que Σ est une surface param´etr´ee orient´ee de sorte que le vecteur normal pointe vers l’ext´erieur de U. Alors

Z Z

Σ

ω= Z Z Z

U

∂a1

∂x₁ + ∂a2

∂x₂ +∂a3

∂x₃

dx1dx2dx3

En physique, si l’on consid`ere le champ de vecteurs

−

→E = (a1,a2,a3), on a donc Z Z

Σ

−

→E ·d−→ S =

Z Z Z

U

Div−→ EdV o`u dV est l’´el´ement de volume, ici dV =dx₁dx₂dx₃.