Feuille de TD 3 : Distributions - D´ erivation.

Ecole Sup Galil´´ ee 2012-2013 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale

Feuille de TD 3 : Distributions - D´ erivation.

Exercice 1

SoitH la fonction indicatrice deR+. 1. Montrer queH⁰ =δ₀ dansD⁰(R).

2. Montrer que (log|x|)⁰= vp ¹_x

dansD⁰(R).

3. Montrer que, dansD⁰(R), vp

1 x

0

= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)

x² dx−2ϕ(0) ε

!

= Pf 1

x²

.

Exercice 2

On consid`ere l’op´erateur diff´erentielP = _dx^d22 +a_dx^d +b, a, b∈R, agissant sur D⁰(R).

Soient f et g deux fonctions de classe C² sur R telles que P f =P g= 0,f(0) =g(0) et f⁰(0)−g⁰(0) = 1. On consid`ere la fonction hd´efinie par

∀x∈R, h(x) =

f(x) si x≤0 g(x) si x >0.

Soit enfin T la distribution d´efinie par,

∀ϕ∈C₀^∞(R), < T, ϕ >=− Z

R

h(x)ϕ(x)dx.

Montrer queP T =δ0, au sens des distributions.

Exercice 3

1. R´esoudre, dans l’ensemble des fonctions localement int´egrables surR, l’´equation diff´erentielle : 2xu⁰−u= 0.

2.SoitT ∈ D⁰(R) une solution de l’´equation 2xT⁰−T = 0. SoitT₁sa restriction `aD⁰(R^∗+) et soitT₂sa restriction

`

a D⁰(R^∗−).

a. CalculerT₁ etT₂.

b.SoitS=T−T₁−T₂. V´erifier que le support deS est inclus dans {0}.

c. SoitR=Pp

k=0akδ^(k)∈ D⁰(R) o`u les ak sont dansC. Montrer que : 2xR⁰−R= 0 ⇐⇒ R= 0.

d. En d´eduire les solutions dans D⁰(R) de l’´equation 2xT⁰−T = 0.

3. R´esoudre, dansD⁰(R), l’´equation diff´erentielle : 2xT⁰−T =δ0.

Exercice 4

SoithunC¹-diff´eomorphisme deRdansR. SoitT l’ap- plication lin´eaire deC₀^∞(R²) dansCd´efinie par :

∀ϕ∈C₀^∞(R²), < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, h(x)) dx.

1.Montrer queT ∈ D⁰(R²). Quel est son ordre ? 2.D´eterminer le support deT.

3. En d´eduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur R² telle queT soit la distribution associ´ee `a cette fonc- tion.

4.Calculer, au sens des distributions, (∂_x+h⁰(x)∂_y)T.

Exercice 5 - ´Equation de la chaleur

Soit H la fonction indicatrice de R^∗+. On consid`ere la fonction surR²donn´ee par :

∀(x, t)∈R², E(x, t) = H(t)

√4πte^−x

2 4t.

1.Montrer queE d´efinit une distribution surR². 2.Montrer que, pour toutt >0 et toutx∈R,

∂_t 1

√4πte^−x

2 4t

=∂_xx² 1

√4πte^−x

2 4t

.

3.Soitε >0. Soitϕ∈C₀^∞(R²). On pose :

I_ε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_tϕ(x, t) dtdx,

et

Jε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_xx² ϕ(x, t) dtdx.

a.CalculerI_ε+J_ε.

b. En effectuant le changement de variable y = ^√x_ε, d´eterminer la limite, lorsqueεtend vers 0, deI_ε+J_ε. Indication : on pourra utiliser que R

Re^−u42 du=

√π 2 . 4.Calculer (∂_t−∂²_xx)E dansD⁰(R²).

Exercice 6 - ´Equation de Cauchy-Riemann On consid`ere surR²\ {0} la fonction donn´ee par :

∀(x, y)∈R²\ {0}, f(x, y) = (x+ iy)⁻¹.

1.Montrer quef ∈L¹_loc(R²).

2. Soit ¯∂ l’op´erateur de Cauchy-Riemann d´efinit par :

∂¯= ¹₂(∂x+ i∂y). Calculer ¯∂f dansD⁰(R²).

Indication : on pensera `a effectuer un changement de va- riables en coordonn´ees polaires.

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