Feuille de TD: Distributions.

Universit´e de Lille I Ann´ee 2018-2019

M1 recherche Analyse

Feuille de TD: Distributions.

Exercice 1. Montrer queD(_R)est dense dansS(_R).

Indication : on pourra introduire une fonction plateau ψ∈ D(R) telle que supp(ψ) ⊂[−1, 1], 06 ^ψ(x)61,

∀x ∈Ret ψ≡1sur[−1/4, 1/4]. Pour ϕ∈S(R), consid´erer alorsϕ_k(x) =ϕ(x)ψ(x/k),k>1. Exercice 2. Soit f ∈ S(_R). Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur fˆpour que l’´equation

u−u?f = f

admet une solutionu∈ S(_R).

Exercice 3. Montrer que la distribution r´eguli`ere associ´ee `a la fonction f :x 7−→log|x| est une distribution temp´er´ee. CalculerT⁰_f.

Exercice 4. Soita∈R. R´esoudre dansS⁰(R)l’´equation(x−a)T=1.

Exercice 5. Soitν ∈ R. Montrer que les distributions r´eguli`eres associ´ees aux fonctions x 7−→cos(2πνx)et x 7−→sin(2πνx)sont des distributions temp´er´ees. Calculer alors leur transform´ee de Fourier.

Exercice 6. Le but de l’exercice est de calculer la transform´ee de Fourier de la distribution T:=vp

1 x

. 1. Soitϕ∈S(_R). On poseψ:x7−→ψ(x) =ϕ(−x). Montrer que Tb(ψ) =−Tb(ϕ).

2. En partant de l’´egalit´exT=1 (au sens des distributions), d´eterminer alors T.b

Exercice 7. On se propose de calculer la transform´ee de Fourier de la distribution T := vp

1 x

par une deuxi`eme m´ethode.

1. Soit α∈ _R^∗ et ε > 0. Montrer que la distribution r´eguli`ere associ´ee `a la fonction f_ε : x 7−→ _x+iαε¹ est temp´er´ee. Calculer alors la limite dans S⁰(_R)de f_ε lorsque ε→0⁺, en fonction du signe deα.

2. Soitg(x) = H(x)e^−λx, x ∈ R, avec λ> ₀ et H est la fonction de Heaviside. Apr`es avoir justifi´e que g d´efinit une distribution temp´er´ee, calculer cTg.

3. D´eduire de la question pr´ec´edente TcH. 4. En d´eduireT.b

Exercice 8. Soit(a_k)une suite de nombres complexes telles qu’il existe un entierp>1et une constanteC>0 tels que

|an|6C(1+n)^p, ∀n∈_N.

Montrer alors que :

T(ϕ) =

∑

n∈N

anϕ(n) (ϕ∈S(R)),

d´efinit une distribution temp´er´ee.

Exercice 9.

1. Soit

r(x) = (

e^−x12, si x>0 0, si x60.

(a) V´erifier que r∈C^∞(R).

(b) Montrer que si s(x) = r(x+1)r(1−x), x ∈ R, alors s ∈ D(R), supp(s) ⊂]−1, 1[, et pour tout t∈]−1, 1[, on a s(t)>0.

(c) Pouri∈_Z, on consid`ere

f_i(x) = ^s(x−i)

∑k∈Zs(x−k)^, (x∈_R).

V´erifier que f_i est bien d´efini, que f_i∈ D(_R), supp(f_i)⊂]i−1,i+1[et que pour toutx ∈_R, on a

i∈

∑

f_i(x) =1.

Une telle famille de fonctions s’appelle une partition de l’unit´e.

2. Soit∆0=]−1, 1[, f ∈ D(_R), supp(f)⊂_∆0 et f(0) =0. Montrer qu’il existe h ∈ D(_R), supp(h)⊂_∆0 et

f(x) = (1−e^2iπx)h(x), x∈R.

3. Soit f ∈ D(R)tel que f(n) =0pour toutn∈Z. Montrer qu’il existek∈ D(R) tel que f(x) = (1−e^2iπx)h(x), x∈R.

Indication : on pourra utiliser la famille(fi)_i∈Z construite dans la question 1.

4. Soitχla fonction d´efinie parχ(x) =e^2iπx,x∈R. SoitT∈S⁰(R)telle que(1−χ)T=0. (a) Montrer que si f ∈ D(_R)avec f(n) =0pour toutn∈_Z, alors on a T(f) =0.

(b) En d´eduire queT est une combinaison lin´eaire (infinie) de distributions de Dirac.

Indication : on pourra consid´erer pourk∈Zdes fonctionsθ_k ∈ D(R)support´ee sur]k−1/4,k+_1/4[ et telle queθ_k(k) =1. Puis, pour ϕ∈ D(_R), consid´erer∑k∈Zϕ(k)θ_k.

5. On consid`ere le peigne de Dirac d´efini parW:=<sub>∑n∈Z</sub>δn, c’est-`a-dire W(ϕ) =

+∞

∑

n=−∞ϕ(n), (ϕ∈S(_R)). (a) V´erifier queW est une distribution temp´er´ee.

(b) Etant donn´ee,T∈S⁰(_R)et a∈_R, on d´efinitτaTla distribution temp´er´ee par (τaT)(ϕ) =T(τ−aϕ), (ϕ∈S(_R)),

o`u on rappelle que pour une fonction ϕ:R7−→<sub>R</sub>, (τ−aϕ)(x) =ϕ(x+a), x∈<sub>R</sub>. V´erifier que pour tout a∈<sub>Z</sub>, on a τaW=W et que χW=W, o`u on rappelle queχ(x) =e^2iπx, x∈_R.

(c) SoitS ∈S⁰(_R) telle que, pour touta∈_Z, on aτaS=χS=S. Montrer qu’il existec ∈_Ctelle que S=cW.

Indication : on pourra utiliser la question 4.

(d) En d´eduire qu’il existe une constante γ∈_Ctelle que Wb =γW.

(e) En choisissant une gaussienne convenablement, calculer la constante γ dans la formule pr´ec´edente, puis en d´eduire la formule sommatoire de Poisson :

n∈

∑

f(n) =

∑

n∈Z

fb(n), (f ∈S(_R)).

Exercice 10. 1. Soit a> 0 et f(t) = e^−at2. Montrer que fbv´erifie une ´equation diff´erentielle du premier ordre.

2. En d´eduire bf. On rappelle queR+∞

−∞ e^−u2du=√ π.

3. D´eterminer les distributions temp´er´ees u ∈S⁰(R²) v´erifiant au sens des distributions surR² l’´equation suivante aux d´eriv´ees partielles :

−^∂

2u

∂x²+ ^∂u

∂t =δ,

o`u δest la distribution de Dirac au point(0, 0)∈_R². Montrer queu est repr´esentable par une fonction localement int´egrable, de classe C^∞ surR²\ {(0, 0)}.

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