Feuille de TD 1 : Introduction ` a la th´ eorie des distributions

Ecole Sup Galil´´ ee 2012-2013 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale

Feuille de TD 1 : Introduction ` a la th´ eorie des distributions

Exercice 1

Existe-t-il une fonction g int´egrable surRtelle que, pour tout n∈N et toutx∈R,ne^−n|x|≤g(x) ? Exercice 2

Calculer,

n→+∞lim Z

√n

0

1−t²

n n

dt.

Exercice 3

1.Montrer que, pour toutu∈[0,1[,u+log(1−u)≤0.

2. Soitϕ∈C₀^∞. Calculer

λ→+∞lim Z

R

exp

λ³log

1−y² λ³

ϕy

λ

dy.

Exercice 4 - Autour du Dirac

Soit ε > 0. On consid`ere la fonction φ^ε₁ d´efinie sur Rparφ^ε₁(x) = 0 pour|x| ≥ε, et φ^ε₁(x) = _ε¹2(ε− |x|) pour |x| ≤ε.

1.D´eterminer la limite simple lorsqueεtend vers 0 de (φ^ε₁)ε.

2. Calculer l’int´egrale sur Rde φ^ε₁.

3. On consid`ere φ^ε₂(x) = φ^ε₁(x−ε). D´eterminer la limite simple lorsque ε tend vers 0 de φ^ε₂. Calculer son int´egrale sur R.

4.Soientaetbsont deux r´eels distincts. D´eterminer, suivant la position relative de 0 par rapport `a a et b, la valeur de la limite, lorsque ε tend vers 0, de l’int´egrale R_b

aφ^ε₁(x)dx. On note cette limite I1(a, b).

Que mesure cette limite ? On d´efinit

I₁^ε(φ) = Z

R

φ^ε₁(x)φ(x)dx

o`uφest une fonction continue sur Ret born´ee.

5. D´eterminer la limite lorsque ε tend vers 0 de I₁^ε(φ).

6.V´erifier qu’il existe une constanteC >0 telle que

∀ε >0, |I₁^ε(φ)| ≤Cmax

x∈R

|φ(x)|.

Exercice 5 - Le peigne de Dirac

On reprend les notations de l’exercice 4. On veut construire un r´eseau p´eriodique infini de charges ponctuelles plac´ees en tout point entier relatif. La fonction associ´ee simple est alors

Ψ^ε(x) =X

n∈Z

φ^ε₁(x−n).

1. V´erifier que pour ε suffisamment petit, Ψ^ε ∈ L¹_loc(R).

2. Soit φ une fonction de classe C². Soient m < n deux entiers. Montrer que

ε→0lim Z n+ε

m−ε

Ψ^ε(x)φ(x)dx=

p=n

X

p=m

φ(p).

3.Que peut-on supposer sur φpour que l’on puisse faire tendremvers−∞etnvers +∞dans l’expres- sion pr´ec´edente ?

Exercice 6

Soit f ∈L¹(R). On consid`ere l’application T f : R → R

x 7→ R1

0 f(x−y)dy .

1.Montrer que, sif est continue `a support compact, T f est continue.

2. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions conti- nues `a support compact qui converge vers f dans L¹(R). Montrer que (T fn)n∈Nconverge versT f uni- form´ement sur R. En d´eduire que T f est continue sur R.

3. En d´eduire que le produit de convolution sur L¹(R) n’admet pas d’´el´ement unit´e.

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Exercice 7

Soient I un intervalle ouvert de R et f ∈ L¹_loc(I).

On suppose que :

∀ϕ∈C₀^∞(I), Z

I

f(x)ϕ(x) dx= 0.

Soit [a, b]⊂I un intervalle.

1. En utilisant un argument de densit´e, montrer que :

∀g∈C0(I), suppg⊂[a, b], Z

[a,b]

f(x)g(x) dx= 0.

2.Soit ε >0. Soit h_ε∈C₀(]a, b[) telle que Z

[a,b]

|f(x)−h_ε|dx≤ε.

Montrer que :

∀g∈C₀(]a, b[), Z

[a,b]

h_ε(x)g(x) dx

≤ε||g||_∞.

3. En choisissant bien g ∈ C₀(]a, b[), montrer que R

[a,b]|h_ε|dx≤ε.

4.En d´eduire que f = 0 presque partout surI.

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