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Introduction ` a la th´eorie de l’informatique

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Academic year: 2022

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Introduction ` a la th´eorie de l’informatique

R´ ep´ etition 2

Ann´ ee acad´ emique 2011-2012

1. Soit n ∈ N tel que n > 2. D´emontrez que s’il n’existe pas de nombre premier p≤√

n qui divise n, alors n est un nombre premier.

2. Utilisez le th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique pour d´emontrer que pour toutn ∈N,√

n est irrationnel sauf sin est un carr´e parfait, c’est-

`

a-dire sauf s’il existe m ∈N tel que n=m2. 3. D´emontrez ou infirmez les propositions suivantes :

(a) Soienta, b∈ Z, c∈N et n ∈ N0. Sia ≡b (mod n), alors ac ≡bc (mod n).

(b) Soient a, b∈ N, c∈Z et n ∈ N0. Si a≡ b (mod n), alors ca ≡cb (mod n).

4. Soientp un nombre premier, k un multiple positif de p−1, et S =

p−1

X

i=1

ik.

Utilisez le th´eor`eme de Fermat pour d´emontrer que S ≡ −1 (mod p).

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