Feuille de TD 2 : Distributions - Exemples, ordre et support.

Ecole Sup Galil´´ ee 2012-2013 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale

Feuille de TD 2 : Distributions - Exemples, ordre et support.

Exercice 1

1. Soit ϕ ∈ C₀^∞(R). Montrer que l’expression suivante d´efinit une distributionT d’ordre au plus 1 :

Z +∞

0

ϕ⁰(x) log(x) dx.

2.Soitϕnune fonction plateau valant 1 sur [_n¹,1] et dont le support est inclus dans [_2n¹,2].

a. Minorer|< T, ϕn>|.

b. En d´eduire queT est une distribution d’ordre exacte- ment 1.

3. D´eterminer le support de T.

Exercice 2 - Valeur principale de ¹_x Soitϕ∈C₀^∞(R).

1. Montrer qu’il existe ψ∈C^∞(R) telle que, pour tout x∈R,ϕ(x) =ϕ(0) +xψ(x).

2. Montrer que la limite lim

ε→0⁺

Z

|x|>ε

ϕ(x) x dx existe.

3. Montrer que cette expression d´efinit une distribution d’ordre au plus 1, appel´eevaleur principale de ¹_x et not´ee vp(_x¹).

4. En consid´erantϕ_n comme `a l’exercice 1, montrer que vp(_x¹) est d’ordre exactement 1.

Exercice 3 Soitϕ∈C₀^∞(R).

1. Montrer qu’il existe ψ∈C^∞(R) telle que, pour tout x∈R,ϕ(x) =ϕ(0) +xψ(x).

2. Montrer que les limites lim

ε→0⁺Re Z

R

ϕ(x) x−iε dx

et lim

ε→0⁺Im Z

R

ϕ(x) x−iεdx

existent.

3. En d´eduire que l’expression

< T, ϕ >= lim

ε→0⁺

Z

R

ϕ(x) x−iε dx

d´efinit une distribution T dont on identifiera la partie r´eelle et la partie imaginaire. Donner l’ordre deT. Exercice 4

Soitϕ∈C₀^∞(R²).

1.Montrer que l’expression suivante d´efinit une distribu- tionT d’ordre au plus 1 :

< T, ϕ >=

Z ∞

0

ϕ(1/t²,sint)−ϕ(0,sint) dt.

2.Calculer le support deT. Exercice 5

Soit I ⊂ R un intervalle ouvert et soit x0 ∈ I. Mon- trer qu’il n’existe pas de fonction f ∈ L¹_loc(I) telle que Tf =δx₀.

Indication : on pourra utiliser le r´esultat de l’exercice 7 de la Feuille 1.

Exercice 6 - Distribution d’ordre infini Soitϕ∈C₀^∞(R). Montrer que l’expression

< T, ϕ >=

∞

X

p=0

ϕ^(p)(p)

d´efinit une distribution surR, d’ordre infini.

Exercice 7

Soituune fonction continue surRⁿ\ {0} telle que

∀t >0, ∀x∈Rⁿ\ {0}, u(tx) =t⁻ⁿ u(x).

1.Soient ε >0 etϕ∈C₀^∞(Rⁿ). On pose Iε(ϕ) =

Z

|x|≥ε

u(x)ϕ(x)dx.

Montrer que lim_ε→0+Iε(ϕ) existe pour toute ϕ ∈ C₀^∞(Rⁿ) si et seulement si

Z

|ω|=1

u(ω)dω= 0. (1)

Indication : Passer en coordonn´ees polaires (r, ω) ∈ ]0,+∞[×Sⁿ⁻¹ pour |x| ≥ ε. Puis utiliser la formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre1.

2.On suppose que la condition (1) est satisfaite. On pose alors, pour touteϕ∈C₀^∞(Rⁿ),

< T, ϕ >= lim

ε→0⁺I_ε(ϕ).

Montrer que T d´efinit un ´el´ement de D⁰(R) d’ordre au plus 1.

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