Feuille de TD 3 : Distributions - Op´ erations.

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Ecole Sup Galil´´ ee 2020-2021 Fili`ere MACS2

Th´eorie des distributions

Feuille de TD 3 : Distributions - Op´ erations.

I. Convergence dans D⁰ Exercice 1

Calculer les limites, dans D⁰(R), des suites de distributions suivantes :

An = sin(nx), Bn=ng(nx) o`ug∈L¹(R),

Cn = 1 n

n−1

X

p=0

δ^p

n, Dn=e^inxvp 1

x

.

Exercice 2

On note Tn, pour tout n ∈ N, la distribution associ´ee

`

a la fonction localement int´egrablet7→ ^sin(nt)_πt . Montrer que la suite (Tn)_n∈_N converge dansD⁰(R) vers la distribution δ0. Indication : on pourra se servir de l’identit´e R∞

0 sint

t dt= ^π₂ Exercice 3

Montrer que la suite de distributions (Tn)n≥1d´efinie par:

∀n≥1, T_n=n(δ1 n −δ₋1

n),

converge dansD⁰(R). L’ordre de la limite d’une suite de distributions d’ordrem est-il toujoursm?

Exercice 4

SoitN ∈N. On pose :

FN : R → C t 7→ _2π¹ PN

k=−Ne^ikt ∈L¹_loc(R).

On note TN la distribution associ´ee `aFN. 1. Montrer que, pour toutt∈R\2πZ,

FN(t) = 1 2π

sin(^(2N₂^+1)t) sin^t₂ .

2. Soit M ∈ N. Soit ϕ∈ D dont le support est inclus dans [−(2M + 1)π,(2M + 1)π]. Montrer que :

< TN, ϕ >= 1 2π

Z π

−π

sin(^(2N+1)t₂ ) sin₂^t φ(t) dt, o`u, pour toutt∈R,φ(t) =PM

k=−Mϕ(t+ 2kπ).

3. En ´ecrivantφ(t) =φ(0) +tψ(t) o`uψest de classeC^∞, montrer que la suite (TN)N∈Nconverge dans D⁰(R) vers la distribution P

n∈Zδ2πn.

Exercice 5

Soit Ω un ouvert deR. Une s´erie de distributions PT_n est dite convergente dans D⁰(Ω) lorsque la suite des sommes partielles l’est.

Soit (an)_n≥1 une suite de nombres r´eels.

1. Montrer que la s´erie P

n≥1anδ1

n converge dans D⁰(]0,+∞[).

2. Montrer que si la s´erie P

n≥1anδ1

n converge dans D⁰(R) alors la s´erie num´eriqueP

n≥1an converge.

3. On suppose d´esormais que P

n≥1an converge. On pose pour tout N ≥ 1, A_N = PN

n=1a_n et A₀ = 0, de telle mani`ere quea_n=A_n−A_n−1 pour toutn≥1.

a. Montrer que siϕ∈ Dalors la s´erie num´erique X

n≥1

A_n

ϕ 1

n

−ϕ 1

n+ 1

converge. b. En d´eduire que P

n≥1anδ1

n converge dans D⁰(R).

II. Multiplication par une fonctionC^∞ Exercice 6

SoitT une distribution surRⁿetf une fonction de classe C^∞sur Rⁿ, `a valeurs dansR.

1. Montrer que si f T = 0, alors le support de T est inclus dans l’ensembleZ(f) ={x∈Rⁿ, f(x) = 0}.

2. On suppose de plus que T est d’ordre 0. Montrer qu’alors la r´eciproque est vraie : si le support de T est inclus dans l’ensembleZ(f) ={x∈Rⁿ, f(x) = 0} alors f T = 0.

3. En prenant T = δ⁰, montrer que la réciproque est fausse en général siT n’est pas d’ordre 0.

4. Caract´eriser les fonctionsf de classeC^∞ surRtelles quef δ⁰= 0.

Exercice 7

Soit T ∈ D⁰(R). Montrer que (sinx)T = 0 si et seule- ment s’il existe une suite (cn)n∈Z de nombres complexes telle que,

T =X

n∈Z

cnδnπ.

On pourra s’aider des r´esultats obtenus en cours sur la distribution vp ¹_x

.

1

(2)

III. D´erivation dansD⁰ Exercice 8

Montrer que, dans D⁰(R), vp

1

x 0

= Pf

1

x²

.

o`u, pour touteϕ∈ D,

hPf 1

x²

, ϕi= lim

ε→0

Z

|x|>ε

ϕ(x)

x² dx−2ϕ(0) ε

! .

Exercice 9

1. SoitT ∈ D⁰(R). Calculer (xT)⁰.

2. Résoudre, dans D⁰(R), l’équation différentielle : xT⁰+T = 0.

Exercice 10

Soit I =]a, b[ et f et g deux fonctions de classeC^∞ sur I. On se propose de montrer que si T ∈ D⁰(I) vérifie T⁰+f T =gau sens des distributions, alorsT est donnée par une fonction C^∞ sur I qui vérifie cette équation différentielle au sens usuel.

1. Trouver une solution u0 de u⁰+f u = g qui soit de classeC^∞ surI.

2. Conclure en mettant toute solution de T⁰ +f T = g sous la formeT =u₀+Se^−F où F est une primitive de f et S une distribution à déterminer.

Exercice 11

Soitf : R→Rla fonction d´efinie par :

∀x∈R, f(x) =







−2 si x≤ −2 5 si x∈]−2,0]

1 si x >0.

1. Justifier que la fonction f est localement intégrable sur R. On noteT_f la distribution associée àf.

2. Calculer la d´eriv´ee deT_f dansD⁰(R).

Exercice 12

Soit g ∈ C⁰(I), telle que sa dérivée au sens des distributions g⁰ vérifieg⁰ ∈L¹_loc(I). Soienta, b∈ I. Montrer que

(T_g1_[a,b])⁰=T_g⁰₁_[a,b]+g(a)δ_a−g(b)δ_b.

Exercice 13

On considère l’opérateur différentielP = _dx^d²2 +a_dx^d +b, a, b∈R, agissant sur D⁰(R).

Soientf etgdeux fonctions de classeC²surRtelles que P f = P g = 0, f(0) = g(0) et f⁰(0)−g⁰(0) = 1. On consid`ere la fonction hd´efinie par

∀x∈R, h(x) =

f(x) si x≤0 g(x) si x >0.

Soit enfinT la distribution d´efinie par,

∀ϕ∈ D, < T, ϕ >=− Z

R

h(x)ϕ(x)dx.

Montrer queP T =δ₀, au sens des distributions.

Exercice 14

1. Résoudre, dans l’ensemble des fonctions localement intégrables surR, l’équation différentielle : 2xu⁰−u= 0.

2. SoitT ∈ D⁰(R) une solution de l’´equation 2xT⁰−T = 0. SoitT₁sa restriction `aD⁰(R^∗+) et soitT₂sa restriction

`

a D⁰(R^∗−).

a. CalculerT1et T2.

b. Soit S =T−T₁−T₂. V´erifier que le support de S est inclus dans{0}.

c. SoitR=Pp

k=0akδ^(k)∈ D⁰(R) o`u lesak sont dansC. Montrer que : 2xR⁰−R= 0 ⇐⇒ R= 0.

d. En d´eduire les solutions dans D⁰(R) de l’´equation 2xT⁰−T = 0.

3. Résoudre, dansD⁰(R), l’équation différentielle : 2xT⁰−T =δ0.

Exercice 15

Soit h un C¹-difféomorphisme de R dans R. Soit T l’application linéaire deC₀^∞(R²) dansCdéfinie par :

∀ϕ∈ D, < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, h(x)) dx.

1. Montrer queT ∈ D⁰(R²). Quel est son ordre ? 2. D´eterminer le support deT.

3. En déduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur R² telle queT soit la distribution associée à cette fonction.

4. Calculer, au sens des distributions, (∂x+h⁰(x)∂y)T. Exercice 16 - Équation de Cauchy-Riemann On considère surR²\ {0} la fonction donnée par :

∀(x, y)∈R²\ {0}, f(x, y) = (x+ iy)⁻¹. 1. Montrer quef ∈L¹_loc(R²).

2. Soit ¯∂ l’op´erateur de Cauchy-Riemann d´efini par :

∂¯= ¹₂(∂_x+ i∂_y). Calculer ¯∂f dansD⁰(R²).

Indication : on pensera `a effectuer un changement de variables en coordonn´ees polaires.

Exercice 17

Calculer les d´eriv´ees partielles de la distribution 1_x+y>0∈ D⁰(R²).

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