Elémens d'arithmétique universelle Kramp, Christian Cologne, 1808 ETH-Bibliothek Zürich Shelf Mark: Rar 21061

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Elémens d'arithmétique universelle

Kramp, Christian Cologne, 1808

ETH-Bibliothek Zürich

Shelf Mark: Rar 21061

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Chapitre vingt-septième.

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(2)

Chip . XXVI.

872

gression arithmétique . On pourra les étendre avec la plus grande facilité aux produits ou aux quotiens de factorielles ; le théorème bi¬

nomial , démontré en (555) pour cette sorte de fonctions analytiques , suffit pour ramener ce cas au précédent. Nous laissons au lecteur le soin de faire lui -même ces différentes ap¬

plications.

CHAPITRE VINGT - SEPTIÈME.

Le c vixul sojvijuatoire.

580 . Désignant par §y ou Y une fonc¬

tion quelconque de la variable y, considérons la suite , ayant pour termes les fonctions $y,

%(j— r) > 3 'J '— ■2/') > 30 — 3/') ^etc. On aura en vertu du théorème de Taylor :

Sr= r

%(y — r)— Y —nF . t-\-IdzF. r* — ~tFF. F -\-etc.

%(y —2r)— Y —DF .i/ --i-: n2f .4/'2—^n3F . 8r3^-f etc.

%(y —or)— Y —nY. 3r-{-±D2Y .c)r?—'- D3Y .ajF -{-etc.

et ainsi des antres.

581 . Prenons les différences premières de ces fonctions , en ôtant de chacune celle qui la suit ; nous aurons :

£ >$J — BF .r — '- t>zF. jn 3F. 7 -3—etc.

— r ) — nF .r — ^n 2F .3/ ’’H ( î>3F . yr 3— etc.

SD& JT—3-r )= T>Y .r — 'y 2F .hr 2y ~FY . 1 q/ -3— etc.

"£ >$ (1 — 3r) = DF .r—j n^F .77’H ^i>3F .3 7/’ 3— etc.

et ainsi des autres.

682 . Prenons les différences secondes , en ôtant de chacune de ces différences premières, celle qui la suit ; nous aurons :

(3)

Le CALCUL SOM3IATOIRE. 3; 3

=n 2Y./’2_jo 3Y. S/'-^+ ^ d^Y. rjr \~ etc.

ÎY $ ;(/ /’)= D2Y.7’2—jn3Y. 6r 34-jiD4Y.25A4_ efc.

Bô' —2r)= nsY r2—jr>3 Y. 9r 3-)-^ jD4Y.55/’^4— etc.

—Srj ^ r^ Y.r 2—' d3Y. i 2/'34-n D4Y' 97/ '4_ etc.

et ainsi des autres.

583 . Prenant encore les différences troisiè¬

mes , en ôtant de chacune des différences se¬

condes celle qui la suit , nous aurons:

& 33jy = n3Y'.r 3_ln4Y . 6r *~f-^ iYY. 2Ô/-3—etc.

îb 3§ (j -_ r) = n3Y./'3_in4Y . ior4-j--in 5Y. Go/6—etc.

5 >3§ >(/_ 2 r; = r)3Y ./’3_Ln 4Y . i 4 /’4-(- ^ d5Y . i o.o/ 6—etc,

37 -) == i)3Y .r 3_iD 4Y . x8 n -|- ^ n5Y. 2 o 5 /'5—etc.

584 . Et si l’on rassemble dans un seul ta¬

bleau , les résultats de cette analyse , qu ’il est aisé de continuer à tel dégré qu ’on veut , on trouve :

Y= n Y.r — i ^ Y.T^-f-rho ’Y r3—etc.

J&*Y= n*Y.r *—i n3Y.r *-f j^ d’Y.t-4—etc.

î£>3Y— n3Y.r3—'6- D4Y.7-44-fV >*Y.r i—efc. ' 2 YY= o4Y.t-4— ^ o5Y.7-5^-j irV Y.r4—etc. ' îD5 Y= i>*Y. ri6Y.r 6-f^ n7Y./-7— etc.

ÎOsY= n‘Y./^— iTn7Y.7-7+ ^ | D8Y./— etc.

585 . Les numérateurs de» fractions qui constituent les coëfficiens numériques de ces séries , sont identiquement les mêmes que ceux des factorielles à exposants négatifs , qui ont été rapportés en (545) . Cela doit ^ètre , parce- que les uns et les autres sont les difféiences premières , secondes , troisièmes , quatrièmes des puissances des nombres en progression naturelle 1 , 2 , 3 , 4 , 5 etc. Ainsi , le terme général de ces coëfficiens étant n'\ m , on aura le théorème très général qui suit;

Théo-

(4)

3,74 Çiiap . XXVH.

Théorème.

586 . La differente de l'ordre n, de la {on*>

tion Y, ou $ >"7 , est égale à la totalité des termes qui composent la série suivante :

DB+ ,r r”Dnï

n-\-1

_ _ ,r

(«+ 0 («+ 2) («-fî ) . . . . (tt+ d)

«/f5 .rn+ 5

D"4"3Y

(«-H ). . .(7H-3j etc, etc, etc.

587 . Pour trouver la somme de l ’ordre n ,

ou © ‘7 , expression par laquelle nous dé¬

signons la somme de la série fây-Ynfiiy—

— ?^(jr—zr) r^elc. jusqu ’à l’infini , il n’y aura qu’à prendre l’exposant n du théorème précé¬

dent , dans le sens négatif. Les coèfficiens numériques n'î 1, n‘\ a , ^n‘ f3 ^etc. deviendront alors nf 1 , nfn, nf3 etc. : et nous aurons la somme demandée égale à

d ~ nY

(n- pi ) •

«f3 . d—'n+ 3Y n^-x . x >— Y

(n— 1)(«- ^ai ⁽ⁿ ^—3 ^rf

(n —1;(/?—2 )r nt4 . d—'^ Y

) . . ( n—5 ) r (77—1\{p^—2 )7-"—2n—( 1)(«— 2 i(ri—3r)"—■*

efc. efc. e/e.

588 . L’analyse conduit naturellement ici à des dérivations à indice négatif. Comme la dérivée de r>nY est n"4" ! ' , ce qui rend réci¬

proquement la dérivée de x>n~ 'Y égale à on

(5)

Le calcul sommatoiei.

375

on voit qu ’en diminuant dune unité l 'indice d’une dérivée , on remonte à la quantité dont la dérivation a pu la produire.

589 . Cette opération est très -facile dans tous les cas , où la fonction Fa la forme d’une puissance , telle que ./" 1, ou qu ’elle peut y être réduite . Ayant

D Cry —mj”1-' ;

vXy)m~rn (rn—i)y m- ' ;

T>\ y) m~m (m—1)(m— s.)y m~ s ;

etc. ce qui rend généralement i>n(y m) égal à mn\- ym~-n . on aura réciproquement n~ "( / ’“) égal à m~ n'~ 'y nv‘*'n 5 produit qui se réduit à jy"i+ n divisé par (m-f - r) "' 1 ou par la factorielle

(rc2-t-i )(m-f-2) . . . . (772+ 77). Ce théorème , appli¬

qué aux cas particuliers , donnera ; D° (y m)= .y n ;

t>~ '( ym)—:y ""*" diVisé par (/?î_pi ) .

y "'-*-1 divisé par (m+ i ) (m .f2 ) . J ”‘⁺³ divisé par (7?2_|_i ) (777-+ 2)( 7?2_p3) et ainsi des autres.

5go . Bornons -nous ici à appliquer la série générale de sommation qu ’on vient de trouver, au cas de 72™ 1 , et recherchons l’expression qui doit nous faire connoitre @ F , ou la somme des termes de la série F-+ 3 (j '—=-/’)+

— zr )-j-etc. continuée jusqu ’à l’infini , La série donne dans ce cas -d—l'F- j+Jïd 0 F —■•.

r + n »F ./-:i—, *4 r? Y . 7 -3^ if5

• ■i 0 . 1 . a o . i . a . 3 . 4

n4F . 7-4— etc.

ôqi . Comme le coefficient numérique n\ m s’évanouit toutes les fois que m devient égal à

n, ou plus grand que n, les fractions ^ ,

o 0

Ü2 , etc. seront du nombre de celles dont Iç

f,

(6)

Ciiap . XXVII.

37ô

numérateur et le dénominateur sont égaux à

zéro.

Comprises sous la forme générale >

n— t

elles sont ce que devient cette expression, dans le cas de n—

i.

En vertu du théorème démontré en 385. le rapport entre les deux termes de la fraction devient alors celui de leurs dérivées , prises en regardant n comme la variable , dont la dérivée Dn est égale à l'unité. La dérivée du dénominateur n—i est l ’unité même ; celle du numérateur

est ce

que devient

cfitrn)

dans le cas de n=

^i.

Et quant à

nf

ifm ) , on n’a qu’à consulter la table de 566. pour s’assurer , que la dérivée de ifi est a ou ; que celles de ifa , if4 , i

£6 etc.

sont les nombres ' de

Bernoulli,

6 , 1) , f , fy etc.

affectés de moins ; et que celles de i £3 , ifô,

il ] etc sont généralement égales à zéro. Il

en résulte le théorème général qui suit :

Théorème.

Sçz. La somme indiquée par © F , qui est celle des

fonctions

— i")+ 3 (V—zr)Jh g ;y -—3r) etc.jusqu à l’infini ,

est

égale a

jE -t-fu' d L+ lti7''.D:'F-p,Vfr5D;'L_i-cfc.

5q3 -Si l’on demande la somme des p pre¬

miers tërmes de .la série depuis Y jusqu ’à

%{f —prfr )

inclusivement,

il faudra ôter

de

la somme précédente , celle des termes depuis

%(f —

pr)

jusqu ’à l’infini. Faisant pour abréger y — .p>r= a

et

$a ==

sl, cette dernière somme sera

éga¬

le à br.n^l-i-ibrz.h^ f -jffrSifi^ fetc.

Ô94. Si réciproquement l’on demande la

Somme des p termes de la série croissante

\-^ f fr ) f ^ {af %ry\

etc.

jusqu ’à %{afpr —r)

ou

(7)

Le calcul sommatoire. 377 ou y —r) , il faudra ôter de la somme trou¬

vée par le numéro précédente , le terme Y , et y ajouter le terme A. On y parvient , en changeant dans les deux séries , les signes qui précèdent les termes {Y et {A. Il en résulte le théorème suivant :

Théorème.

5ç6. La somme des p premiers termes de la série § « -!- § (a + /’) + S( Æ+ tir) etc jusqu ’à

%{a -\-pr — r ) ou %(y —r) inclusivement , se trouve en étant de la série jo~~‘Y—à F-f-fc/voF-j-eù:. celle qui suit 7 n~ lA — \A \ \>r.oA j etc.

697 , Appliquons le théorème au cas le plus remarquable de tous , celui où la lettre § dér signe une simple puissance de la variable, tellement qu ’on ait A —a n, Y= y u. Comme la puissance y " , résulte en divisant parn -f-r la dérivée d(j ^"+ ‘), le quotient indiquera la valeur littérale de rr ~'T. On a ensuite:

I)

i ) 2 Y = n ( n —1 )y n~ * ;

d3y = n(n—•1) (a—2)yn~ 3 ;

jytY= n{ n — 1) ( n—2 j ( n— tyy "—* ;

etc etc. La première des deux séries , 'F—

y 'i- hr

■jr-f-&7\ ï>r + eifc. deviendra ainsi —^

(n + ijr

J ■■• ■. [

etc. On trouvera la somme des puissances depuis anJf-(a -'rr) nJr(«+ 27’)'*+(Jfc. jusqu 'à (y —r) n ou (a + pr —r )", au nombre de p, en rempla¬

çant dans la formule précédente les termes r ’"H. par y "+-—a n+ 1 ;

y"

P

^ar

y” —a”i

f - ' par y - '—a ”- * et ainsi des autres.

(8)

Chap . XXVII.

3 78

Exemple / . On demande la somme des p termes delà progression arithmétique «-j-(u-fv)-j-

etc. jusqu ’à a -\ -pr —/ ' ou y — r? Elle sera y 2-—a 2 y —a %

h- ——p - ; ce qm revient a >p{2a -\-pr —r).

2 / ' 2

Exemple II . On demande la somme des quarrés des termes préeédens ? Ayant ici n= %, la somme demandée se trouvera égale à a (jr 5—a 3)—3(jy2— a 2)r -j-(j' —a )rz, divisé par 6r.

Et comme j '—a-j -pr, elle sera réduite à 6u?-j- (p — i) 6ar -\-(^p,p —1 )(p —i )r 2^, multiplié par le ïiombre des termes p , et divisé par six.

Exemple III . On demande la somme des cubes de ces mêmes termes , au nombre de p, depuis a 3 jusqu ’à (y —r) 3P Elle donne n—‘à, la somme demandée sera donc réduite à la dif¬

férence de quarrés —r) 2— a Ka—r)2> divi¬

sée par 4/'.

5g8. Si dans la formule précédente ,

^on

fait

a— o, / = i , ce qui donne y ou a -ypr —^p, elle fera connoitre la somme des p premiers termes de la se'rie de puissances o"q- i '‘q-2”-f3’ l-j-.efc.

jusqu ’à ^{p —1 )“. Il n’y a qua leur ajouter p%

pour avoir celle des puissances iVpa' !.-j-3'1-i-e/e.

p n+ l jusqu ’à p n ; elle deviendra -—

n(n—')(n— n— g.. (n—’¹⁾fp'‘~ En applî' quant cette formule aux cas où l’exposant n est un nombre entier impair , le dernier ternie de cette formule sera un nombre absolu , in¬

dépendant de 77y et qu ’il faudra supprimer.

En observant cette précaution , la dite somme de puissances . deviendra :

Pour

(9)

Le calcul sommaïoir *.

379

Pour n— i ; p 3fp divisé par deux.

Pour n— 2 \ p {p -\-i )(2/?H- i ) divisé par six . \ Pour n—3 ; p 3(p- ft ) 2 divisé par quatre.

Pour n= ïi\ \ 6p5-j- 1i o/p3—p divisé par 3o.

Pour n— 5 ; jas divisé par 12.

Et ainsi des autres.

599 . La formule générale est applicable aux exposans négatifs . La série de puissances

dans l’infini , sera égale à

1 p 1 p n^r

(n—!i ) a"—'r 2an u“ + ‘

^( ra4- i ) (/z4-2)ï)7-3 n(n-\ -1 )fr s 1 . 2 .3 a”^ 1 . 2. 3 . 4 •5^a"+5

4-efc. La convergence de cette série dépend

du rapport de la différence r au premier terme On n’aura donc qu’à calculer à part un certain nombre de premiers termes , depuis

jusqu ’à [^~ }r—-p, 5 et appliquer ensuite la forme de série qu’on vient de trouver , à déterminer la somme des autres , depuis —■———- jusqu’à

1 aipry, ( J 4 1 infini. Faisant a \pr ~ A , cette somme sera

• . . 1 1 . nbr

viendra ainsi convergente à volonté

* *

Exemple . On demande la somme des frac¬

tions 1 +f+?+^ +cte. jusquà Vinfini , dont les dé-, dominateurs sont les quarrès des nombres natu¬

rels 1 , 2, 3, 4 etc.

Ajÿint

(10)

38o

Chap. XXVII,

Ayant ici r= i , n= 2 , la somme demandée

1 t i r ,

sera -a +— -br -j -2a 2 6« 3 r;— - +éoa 3 ^etc. quelque1 soit a.

Les neuf premières de ces fractions sont égales à 1,5397677 . Reste à calculer les autres , de¬

puis un centième jusqu ’à l ’infini , ce qui donne a= 10. Le calcul alors sera très -facile. La sé¬

rie aura pour

premier terme .0,1000000;

second terme . . . .o,oo 5oooo;

troisième terme .o,0001666;

quatrième terme. . . o,oooooo 3.

La somme des quatre est o,ioôf 663 ; lesquels font avec les autres i, 644934 ° * Telle est la somme demandée.

600 . Appliquant la forme trouve’e en 597.

au cas de n—— 1 , on aura la somme des termes de la série harmonique jus¬

qu ’à, ^ —; ou égale à-ï-ta! ^le tout divisé par ^r. Comme on a yy=t \oLog .y ; et a °= i +oZog .« , la fraction -^=7- se réduira sim¬

plement à Log-a- La somme se réduira donc d’elle-même à $7, divisé par r ; c’est ce que nous avons déjà trouvé dans le chapitre précédent.

601 . On déduit de ce même théorème de 597 . l’expression générale du logarithme d’une factorielle proposée , telle que a" ,r. Il doit être égal à la somme des logarithmes de tous ses facteurs , depuis Log .a jusqu ’à Log .{a -\-pr —r) ou Log .(y —r). Le logarithme de x est gé¬

néralement ce que devient , dans le cas de n— O, le quotient de la division de x "— 1

par

9

(11)

Le calcul sommatoire. 381

par n. , Ainsi , pour avoir la somme de

ces

logarithmes , il faut voir ce

que

devient , dans le cas de n—

o,

la somme des puissances a”-f- (a -\-r)"-\-

etc.

jusqu ’à (y —J')" ; il faut en ôter l’unité , multipliée par le nombre des termes, ou

p;

il faut enfin diviser le reste par n , supposé égal à zéro.

La puissance y n, dans le cas de «= o , de¬

vient i -j-nLogy ; et par cette même raison , la puissance y "~*~', deviendra y -buy^

ogy.

Les coè'fficiens numériques seront dans l’ordre ni>, 3«b, -s

nf,

'n

^nfy

et

ainsi des

autres .

Les

exposans n—i , n—3 , n

—5 etc.

seront simplement moins Un, moins trois , moins cinq etc.

Le premier terme de la série sommatoire sera y n+’—o”+ ' divisé par ( t-j-n)r. Le numé¬

rateur de cette fraction se réduit , dans le cas de 72= 0 , à y -\-nyLogy —a—naLog.

^a.

On distinguera ici les deux quantités , l’une qui u une valeur finie , y —a ; l’autre qui

est mul¬

tipliée par

n,

et qui s’évanouit en faisant

n—

n, savoir n(yLog .y —ciLoga). Comme

cette

même supposition fait évanouir

le

quarré de n devant n lu i-mème , la division par î+ n se réduira à

One simple

multiplication pari—

^n.

Multipliant y —a-\ n{yLog .y —aLog.a) par i—n , il faudra

encore supprimer le terme qui comprendroit le quarré de

n;

le produit se réduira donc à y —u \ n{yLogy —y —aLog.a \ (i) : ou bien à l

^rr

\n {yLogy —aLog à—pr .) C ’est là l'expres¬

sion qu’il faudra diviser, d’abord par

r,

en

°ter ensuite

p,

et diviser le reste par

n,

pour

obtenir

le

premier terme

de la

série entièrement

réduite qui doit faire connoitre le logarithme

de la factorielle proposée. Il deviendra —«+

(12)

38a

Cuir . XXYIL

Le second terme de la se'^rie sommatoire sera

•—~( r”— cf ). La supposition de ?i= o le réduira trèsfacilement à — ’-n(Logy —Log.a). Divisant par n, on aura — i ^ogZ pour second terme de la se'rie réduite.

Pour donner une forme abre'ge'e à ceux qui restent , désignons en général par © a? cette fonction de x, qui est indiquée par la série

bx +La totalité de ces termes

se réduira alors à © ^— © ^. Et si on rassemble tous ces développemens partiels , on aura le théorème qui suit :

T h É o r è ai E.

602 . Le logarithme de la factorielle apir, fen faisant pour abréger a \ pr —^y, est égal à

■* r u a y a

603. La supposition dè

a—

t rend

la

forme

précédente plus simple , sans en diminuer la généralité .^Elle donne —/ ;+( - —j) Log.j +© - — pour logarithme de la factorielle i p,r. La lettre y désigne alors le binôme 1\pr.

604 . Ce théorème nous met ën état de dé¬

terminer la fonction © r , pour un nombre ou pour une fraction r quelconque . Prenons a volonté un nombre entier p ; il suffira de le supposer six , ^huit, ou neuf tout au plus.

(Z. — l ) Log .yi & —— Log . i rV . Ainsi la fonction

@L , dont le développement présente une sé¬

rie tellement convergente que les deux pre- miers termes suffiront dans presque tous les

cas

(13)

Le calcul soMsiAtoiRS ; 383

La factorielle 9/ étant 720x504 , on trouve s Log. 5o^= 6,2225763;

Log .'j 20= 6,5792512;

Donc Log .gl ^ i 2,8018275 ; Ensuite Log. 10= 2,3 o2585 i ;

1 oLog. 1 o= 23 ,oa 585 og ;

ELog. i 0= i , 1512925;

Donc '-îLog 10— 21,8745584;

Otez 21,80 )8275;

Il restera 0,0727809.

Reste à trouver _{1 o}. On trouve : son premier terme -+-o,oo 83333 ;

le second terme — 0,0000028;

Cequi donne © •^ = o,oo 833 o5 ; et © r= 0,081061 5.- Exemple IL On demande ©f ? Prenant le nombre arbitraire/ *= 6,la formule générale donne

J43 ; et pour dénominateur 243. On aura:

'JLog. 5 = 01,26606547;

Log.248= 5,494 ° 6 )44;

Q) ts= 0,61110460.

La somme de ces nombres est 16,77028141.

D’un autre côté

Log .'èi 5= 5,75257264 Log. 143= 4*96284463

Les nombres négatifs feront entr ’eux la sûmme 76,71541727 . En les ôtant l’une de l’autre,

°n trouve @^= 0,064814 r.

6o5.

(14)

Chap . XXVII.

534 605. La formule qu’on vient de donner

pour le logarithme de la factorielle a^pir a le grand avantage d’être applicable aux exposans fractionnaires . Il en résulte , des fonctions d’un genre particulier , dont la suite nous fera sen¬

tir l’importance.

Exemple . On demande ce que devient la factorielle i ?1‘ ou p ! dans le cas de p —i ? On a ici a = i ; ^r— 1; p —ï ; d ’où l’on tire a \ pr ou y = %. Il en résulte pour le logarithme de cette factorielle , l’expression —h\ Logf 1. —©

Un en trouve la valeur numérique — 0,1207828.

La factorielle proposée est égale à la moitié de la racine quarrée du nombre qui exprime le rapport du diamètre à la circonférence , ce que nous verrons en son lieu.

606 . La supposition de n~ i dans le théo¬

rème général de (àSj) ^, nous a appris à dé¬

terminer la somme d’un nombre quelconque de termes de la série § a+*$(a—/’)-!■

g (a— 3r )-f-e/c. moyennant d’autres séries qu ’on peut rendre convergentes à volonté dans tous les cas . Mettant pour n d ’autres nombres en¬

tiers quelconques , ce que l’analyse générale des factorielles nous permet de faire , on aura la somme d’un nombre quelconque de termes des séries qui résultent en multipliant les termes de la proposée , par la suite des nombres figu¬

rés d’un ordre quelconque , telles que a —r) -\- 2%{a —2/ ') 4-etc.

ga + Sgùz —r )+ 6§ (a — 2r )-\-etc.

—/ ■) r ro5 («—2r)+ efc.

§a+ 55 (a —r )+ 15g (^a— zr ) + etc.

L’application des principes généraux à tous ces cas particuliers est facile ; et dans mon yjnalyse

des

(15)

Le calcul sommàtoike.

385

des réfractions astronomiques, page ioo , j 'ai donné les séries sommaîoires qui en résultent.

Ces memes principes suffisent encore, pour trouver la somme d’un nombre quelconque dé tenues , dans les séries qui résultent , en mul¬

tipliant ceux de la proposée , savoir —/’)-[-

§ (a — s./'f -j-eic . par les termes successifs d’une progression arithmétique d’un ordre quelconque, et qui après un certain nombre de soustrac¬

tions . , 'conduisent enfin a des différences con¬

stantes . 11 ne reste d’autre difficulté , que dé déterminer ce que deviennent les dérivées à indice négatif , telleSiqué D—’ga , D—rga , D- ' '$ a etc.

ce qui exige que de la fonction proposée $a on puisse remonter à celle dont la dérivation a pu la produire . Ce graud problème est l’ob¬

jet d’uu autre calcul , connu sous la dénomi¬

nation de calcul intégral ; dans la suite de ce cours nous tâcherons d’en présenter les prin¬

cipes sous l’aspect le plus général dont il puisse être susceptible.

CHAPITRE VINGT - HUITIEME.

Les équatîOJVS xumérîqües.

607 . Au défaut d’une solution des équa- .tiens littérales supérieures au quatrième de¬

gré , nous pouvons suppléer dans les équa¬

tions numériques par la simple application de la règle de fausse position , pourvu qu ’on con- noisse les limites de l’ineomme . Le problème de se procurer , à l’aide d’un algorithme fa¬

cile , la coimoissance de ces limites , a tou¬

jours été un des plus eéièbres de l’Ârithiné-

C c tique