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Bases orthonormales et calcul ombral en analyse p-adique

Fana Tangara

To cite this version:

Fana Tangara. Bases orthonormales et calcul ombral en analyse p-adique. Anneaux et algèbres [math.RA]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2006. Français. �NNT : 2006CLF21667�.

�tel-00694945�

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UNIVERSITE BLAISE PASCAL

U.F.R Sciences et Technonologies

ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES FONDAMENTALES N

^◦

493

THESE

pr´esent´ee pour obtenir le grade de

DOCTEUR D’UNIVERSITE

Spécialité: Mathématiques

Par TANGARA Fana

D.E.A

TITRE:

BASES ORTHONORMALES ET CALCUL OMBRAL EN ANALYSE p-ADIQUE

Soutenue publiquement le 04 septembre 2006, devant la commission d’examen:

Jury

Daouda SANGAR ´E, Pr´esident Bertin DIARRA, codirecteur Niamanto DIARRA, codirecteur Alain ESCASSUT

Alain SALINIER Gaoussou TRAORE

Rapporteurs:

Jes´us ARAUJO Alain SALINIER

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A TANGARA N´ ` ema GUINDO

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Le travail que je présente ici doit sa réalisation à un certain nombre d’institutions et de personnes que je tiens à remercier:

- L’Ambassade de France à Bamako (Service de Coopération et d’Action Culturelle) - L’Université de Bamako (Institut Supérieur de Formation et Recherche Appliquée

& Facult´e des Sciences et Techniques)

- L’Universit´e Blaise Pascal (Universit´e Clermont Ferrand II)

- Le programme TOKTEN (Transfer Of Knowledge Through Expatriate Nationals) - MALI

Toutes ces institutions qui, `a plusieurs niveaux ont permis l’acquisition de ma bourse, voudront bien trouver dans ces quelques lignes mes remerciements, car sans elles, ce travail n’aurait pas progress´e au rythme soutenu qu’il a eu.

Je remercie particuli`erement les professeurs Bertin et Niamanto DIARRA qui ont bien voulu se charger de la direction de ce travail.

Le sens aigu du travail bien fait du professeur Bertin DIARRA et son intuition mathématique m’ont permis de mener à bien ce travail. Il n’a cessé d’être pour moi une source d’idées et de soutiens moraux permanents. Qu’il me soit permis d’adresser à lui et à toute sa famille ma gratitude et ma profonde reconnaissance.

Je dois mon orientation vers la recherche au professeur Niamanto DIARRA. Il m’a toujours progigué ses conseils depuis la maˆıtrise jusqu’à la fin de cette thèse en passant par le DEA.

Je remercie le professeur Daouda SANGAR É d’avoir accepté de présider ce jury. Il est l’initiateur de notre DEA et les formations doctorales en mathématiques au niveau de l’Université de Bamako. Ses conseils et encouragements ne m’ont jamais fait défaut.

Je suis très sensible à l’honneur que m’ont fait les professeurs Jesús ARAUJO et Alain SALINIER d’avoir accepté cette tâche ingrate d’être rapporteur. Je les remercie pour

(5)

4

leurs remarques et suggestions.

J’exprime également toute ma gratitude aux professeurs Alain ESCASSUT et Gaous- sou TRAOR É d’avoir accepté de participer à ce jury.

Je remercie les professeur Youcef AMIRAT et Bernard SARAMITO, Madame Noelle ROUGANNE pour leur soutient constant. Je remercie tout le personnel du laboratoire de Math´ematiques de l’Universit´e Blaise Pascal.

Les membres de Synergies Manden et les ressortissants maliens de Clermont-Ferrand m’ont rendu agr´eable le s´ejour clermontois. Qu’ils trouvent ici ma profonde gratitude.

Que tous les membres du Département de Mathématiques et d’Informatique de la FAST et ceux du Département de Mathématiques de l’ENSUP trouvent ici toute ma reconnaissance. Je remercie particulièrement le chef de département du DER Math-Info de la FAST, Monsieur Ouateni Diallo pour ses conseils et encouragements.

Je suis très reconnaissant envers feu Pasteur Kassim Kéita et sa femme, feue Kouta Kéita pour tout ce qu’ils ont fait pour moi. J’adresse ici mes condoléances et reconnais- sances à leurs enfants.

Qu’il me soit permis d’exprimer ma gratitude `a tous mes amis et compagnons de th`ese:

Monzon TRAOR ´E, Bocar TOUR ´E, Saga¨ıdou Mohamed LAMINE, A¨ısata ADAMA, Dr Mamadou SY, Dr Fabrice BLACHE, Mathieu GOURCY, Dr Liangzhen LEI, Ingrid VI- OLET, Remy SART, Malcom DJENNO, Hamid BADI, Dr Benoit TESTUD, Aubin BE- RANGER.

Ma dette vis à vis de mes parents et amis est très grande. Je remercie particuli`rement mon oncle Jean TANGARA, mes frères Pst Daniel TANGARA, Pst Daouda TANGARA et Joseph TANGARA, mon beau frère Elie GUINDO et mon ami Job DEMBELE.

Je ne saurais terminer sans remercier ma très chère épouse pour son amour, son sou- tien, sa patience et sa sagesse.

(6)

Remerciements . . . 4

Introduction . . . 11

1. Quelques bases orthonormales dans C(Zp, K) . . . 13

2. Op´erateurs aux diff´erences et q-bases de C(Z^p, K) . . . 33

2.1 q-Bases orthonormales et op´erateurs aux diff´erences . . . 34

2.2 q-Bases orthogonales et op´erateurs de Jackson . . . 53

3. L’alg`ebre du plan quantique et l’alg`ebre de Weyl quantique . . . 69

3.1 L’alg`ebre du plan quantique . . . 70

3.2 L’alg`ebre de Weyl quantique . . . 84

4. Sur les fonctions strictement diff´erentiables sur Zp . . . 96

4.1 Le cas q non racine de l’unit´e . . . 97

4.2 Le cas q racine de l’unit´e d’ordrep^N . . . 106

4.3 Somme ind´efinie et int´egrale de Volkenborn . . . 111

Bibliographie . . . 117

(7)

INTRODUCTION

Soient p un nombre premier, Zp l’anneau des entiers p-adiques, Qp le corps des nombres p-adiques et K un sur-corps valué complet de Qp. SoitC(Z_p, K) l’algèbre de Banach des fonctions continues deZpà valeurs dansKmunie de la norme de la convergence uniforme.

En 1958 K. Mahler construit une base orthonormale de C(Zp, K), form´ee des fonctions binomiales Bn, telles que B0 = 1 et Bn(x) = x(x−1). . .(x−n+ 1)

n! , ∀n ≥ 1. Toute

fonction f ∈ C(Zp, K) s’écrit de fa¸con unique comme série uniformément convergente f =X

n≥0

a_nB_n, a_n ∈K, lim

n→+∞a_n= 0 [25] (voir aussi [26]). Ce développement en série est appelé développement de Mahler de f.

En 1990, L. Van Hamme retrouve la description des opérateurs linéaires continus sur l’algèbre des fonctions continues de Zp à valeurs dans K, qui commutent avec l’opérateur de translation τ1 défini par τ1(f)(x) = f(x+ 1) [46]. Ces opérateurs ne sont autres que les opérateurs aux différences. L. Van Hamme utilise ces opérateurs pour construire de nouvelles bases de l’algèbre des fonctions continues deC(Zp, K).

Consid´erons V_q, le sous-groupe compact multiplicatif du groupe des unit´es U_p de Zp

engendré parq, oùq est un élément deU_p non racine de l’unité. SoitC(V_q, K) l’algèbre de Banach des fonctions continues deVqà valeurs dansKmunie de la norme de la convergence uniforme. A. Verdoodt continue les travaux de L. Van Hamme, en rempla¸cant le groupe Zp par le sous-groupeV_q de U_p et l’opérateur de translation par les opérateurs T_q ou D_q, où T_q etD_q sont définis respectivement parT_q(f)(s) =f(qs) et D_q(f)(s) = f(qs)−f(s)

qs−q [53]. Ainsi, en 1994, elle donne une description des op´erateurs qui commutent avec T_q (resp. avec Dq). Comme L. Van Hamme, elle utilise ces op´erateurs pour construire de nouvelles bases orthonormales deC(V_q, K) [51] (voir aussi [53]).

En prenant un élémentq ∈Ktel que|q−1|<1, K. Conrad donne unq-développement analogue à celui de K. Mahler. Plus précisément, pour toute fonction f ∈ C(Zp, K) et pour toutx∈Zp, on af(x) =X

n≥0

a_nC_n,q(x),avec a_n∈K, lim

n→+∞a_n= 0 et Cn,q(x) =

x n

q

= (q^x−1). . .(q^x−n+1−1)

(qⁿ−1). . .(q−1) , lorsque q est non racine de l’unit´e et o`u

(8)

q^x=X

n≥0

(q−1)ⁿB_n(x) [4]. Ce développement est appelé q-développement de Mahler et la suite (C_n,q)n≥0 est appelé q-base de Mahler. Nous repla¸cons cet article de K.

Conrad dans la perspective des travaux de L. Van Hamme [44] et de A. Verdoodt [51] sur l’espace C(V_q, K) des fonctions continues de Vq à valeurs dans K où, cette fois-ci, Vq est le sous-groupe du groupe des unités deK engendré par q.

Nous allons nous interesser à plusieurs espaces d’endomorphismes linéaires continus de l’espace de Banach C(Zp, K). Ces espaces sont construits à partir de certains opérateurs de ”base” dans l’algèbre de Banach L C(Zp, K)

des endomorphismes linéaires continus deC(Z_p, K), comme les opérateurs auxq-différences ∆⁽ⁿ⁾q et laq-dérivation de Jackson∇_q. Les ∆⁽ⁿ⁾q sont définis par ∆ = ∆⁽¹⁾q =τ1−id, ∆⁽ⁿ⁾_q = (τ1−id)◦(τ1−qid)◦· · ·◦(τ1−qⁿ⁻¹id), pour n≥1 et ∆⁽⁰⁾q =id.

La q-dérivation de Jackson ∇_q est quant à elle définie en posant pour f ∈ C(Zp, K), x∈Zp,∇_q(f)(x) = f(x+ 1)−f(x)

(q−1)q^x et les puissances de∇_q par∇ⁿ_q =∇_q◦ ∇ⁿ⁻¹_q ,∀n≥1 et∇⁰_q=id.

On a l’opérateur Zq de multiplication par q^x défini par Zq(f)(x) = q^xf(x) et ses itérés, Z_qⁿ = Zq ◦Z_qⁿ⁻¹. Alors, par substitution, on a Qn(Zq) = (Zq−id). . .(Zq−qⁿ⁻¹id)

(qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹) ,

∀n≥1 etQ₀(Z_q) =id, lesQ_n´etant les polynˆomesQ_n(s) = (s−1). . .(s−qⁿ⁻¹)

(qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹), pour n≥1,Q₀(s) = 1.

On d´esigne par W(Zp, K) le commutant de τ₁ dans L C(Zp, K)

: Q est un élément de W(Zp, K) si et seulement si Q◦τ1 = τ1◦Q. C’est une sous-algèbre fermée unitaire de L C(Zp, K)

. Ses éléments sont appelés opérateurs aux différences finies. La norme de L C(Z_p, K)

est donn´ee parkQk= sup

kfk6=0

kQ(f)k

kfk , pour toutQ∈L C(Z_p, K) .

Rappelons que tout opérateur Q ∈ W(Zp, K) s’écrit sous forme d’une série simplement uniformément convergenteQ=X

n≥0

b_n∆ⁿ, en d’autres termes pour toute fonction continue f, la s´erieX

n≥0

b_n∆ⁿ(f) converge uniform´ement etQ(f) =X

n≥0

b_n∆ⁿ(f), avec sup

n≥0

|b_n|<+∞

et l’on montre quekQk= sup

n≥0

|b_n|[7]. De la même manière, tout opérateurQ∈W(Zp, K) peut se mettre sous forme d’une série Q=X

n≥0

bn∆⁽ⁿ⁾_q , telle que pour toute fonction continue f, la s´erie X

n≥0

bn∆⁽ⁿ⁾_q (f) converge uniform´ement, bn ∈ K etQ(f) = X

n≥0

bn∆⁽ⁿ⁾_q (f);

de pluskQk= sup

n≥0

|b_n|.

(9)

8 Introduction

On d´esigne aussi parD_q(Zp, K) le commutant de∇_q dansL C(Zp, K)

. Les éléments de D_q(Zp, K) sont appelés opérateurs de Jackson . Tout élément R ∈ D_q(Zp, K) peut s’écrire sous forme d’une série R = X

n≥0

b_n∇ⁿ_q, telle que pour toute fonction continue f, la s´erie X

n≥0

b_n∇ⁿ_q(f) converge uniform´ement, b_n ∈ K et R(f) = X

n≥0

b_n∇ⁿ_q(f); de plus kRk= sup

n≥0

|b_n| |q−1|⁻ⁿ.

Soit Γ_q(Zp, K) la sous-alg`ebre ferm´ee deL C(Zp, K)

engendrée parZ_q. Les éléments de Γ_q(Zp, K) sont les opérateurs de multiplication par une fonction continue. On voit que pour tout entier positifn,Qn(Zq) est l’opérateur de multiplication par la fonction continue C_n,q, où (C_n,q)n≥0 est la q-base de Mahler. On montre que tout élément R de Γ_q(Zp, K) s’écrit sous forme de série simplement uniformément convergente R=X

n≥0

b_nQ_n(Z_q), avec

n→+∞lim bn = 0 et kRk = sup

n≥0

|b_n|. En d’autres termes, la suite (Q_n(Zq))n≥0 est une base orthonormale de Γq(Zp, K). Ecrit sous cette forme, l’op´erateurR est l’op´erateur de multiplication par la fonction continueX

n≥0

b_nC_n,q. On aR(C_0,q) =X

n≥0

b_nC_n,q. En fait Γ_q(Zp, K) est isom´etriquement isomorphe `aC(Z_p, K).

Associons à tout élément q ∈ K, non racine de l’unité, tel que |q−1| < 1, l’application ε_q : Zp −→ V_q définie par ε_q(x) =q^x. C’est un isomorphisme topologique de groupes compacts totalement discontinus. Il vient que l’application εe_q de C(V_q, K) dansC(Zp, K), définie en posant, pour g∈ C(Zp, K), εeq(g) =g◦εq, est un isomorphisme isométrique d’algèbres de Banach. Il envoie donc toute base orthonormale (resp. orthogonale) de C(V_q, K) sur une base orthonormale (resp. orthogonale) deC(Zp, K). En particulier, il envoie la base de Van Hamme (Qn)n≥0 sur la base orthonormale (Qn◦εq)n≥0 de C(Zp, K), les élémentsQnde cette base étant définis parQn(s) = (s−1). . .(s−qⁿ⁻¹)

(qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹),

∀n≥0. Cette base (Qn◦εq)n≥0 n’est autre que la base (Cn,q)n≥0 donn´ee par K. Conrad dans [4]. Ce qui nous permet, au Chapitre 1, de faire le lien entre les travaux de K. Conrad et ceux de L. Van Hamme et A. Verdoodt.

Soit q ∈ K, non racine de l’unité, tel que |q−1| < 1. Les fonctions x −→ q^jx sont linéairement indépendantes, ce qui est une conséquence du Lemme 1.0.7. Nous appelons q-polynôme de q-degré n, toute fonction h ∈ C(Zp, K) pouvant s’écrire sous la forme h(x) =

n

X

j=0

ajq^jx, avecan6= 0 etsuite q-polynomiale, toute suite deq-polynˆomes (h_n)n≥0 tels que pour toutn≥0,h_n estde q-degr´eneth₀= 1.

(10)

Nous allons, comme dans le calcul ombral classique, ´etablir une correspondance bijective entre la classe de suitesq-polynomiales (h_n)n≥0, telles que

hn(x+y) =

n

X

s=0

q^−s(n−s)q^(n−s)xhs(x)hn−s(y),∀n≥ 0, x, y∈Zp, qui sont des bases orthonormales de l’algèbre des fonctions continues C(Zp, K) et la classe d’opérateurs linéaires Q=X

i≥1

bi∆⁽ⁱ⁾_q , tels quekQk=|b₁|= 1 (voir le corollaire 1 du Th´eor`eme 2.1.7).

De même, nous établissons une correspondance bijective entre une classe de suites q- polynomiales, qui sont des bases orthogonales deC(Zp, K) et la classe d’opérateurs linéaires R=X

i≥1

bi∇ⁱ_q, tels quekRk=|q−1|⁻¹=|b₁| |q−1|⁻¹(voir le corollaire du Th´eor`eme 2.2.3).

Soit q ∈K,non racine de l’unit´e, tel que |q−1|<1. La relation de commutation

∇_qτ1 = qτ1∇_q nous permet de réaliser le plan quantique à deux générateurs, sous une forme concrète d’une algèbre d’opérateurs qu’on note P_q. La famille (τ₁ⁱ∇^j_q)i≥0,j≥0 est une base duK-espace vectoriel P_q. En désignant par P_q⁽ⁿ⁾ le sous-espace deP_q engendré par les éléments homogènes de degrés n, on obtient une graduation sur P_q. La famille (τ₁ⁱ∇ⁿ⁻ⁱ_q )0≤i≤n est une base orthogonale de P_q⁽ⁿ⁾. Soit R =

n

X

i=0 m

X

j=0

τ₁ⁱ∇ⁱ_q un élément de P_q, pour tout q-polynôme h_n de q-degré n, R(h_n) est de q-degré ≤ n. En d’autres termes, l’espace desq-polynômes est invariant parP_q. On montre que l’espace des fonctions strictement différentiables et celui des fonctions continues restrictions de fonctions analy- tiques sont invariants par tout élément R de P_q.

On obtient également la règle de commutation ∇_qZ_q =qZ_q∇_q+id. Ce qui nous permet d’avoir une réalisation concrète A_q de l’algèbre de Weyl quantique à deux générateurs comme espace d’opérateurs linéaires continus. La famille

Qi(Zq)∇^j_q

i≥0,j≥0 est une famille orthogonale dans L C(Zp, K)

. On obtient alors une description, sous forme de séries convergentes, de la sous-algèbre fermée de L C(Zp, K)

engendrée parZ_q et ∇_q. Des conditions portant sur les coefficients du développement de Mahler, pour qu’une fonction continue deZp dansK, soit strictement différentiable sont bien connues [33]. Si f = X

n≥0

a_nB_n, a_n ∈ K, est le d´eveloppement de Mahler de f, alors f est strictement diff´erentiable si et seulement si lim

n→+∞n|a_n| = 0. Nous trouvons, dans le quatri`eme chapitre, des conditions similaires sur les coefficients du q-d´eveloppement Mahler pour qu’une fonction f =X

n≥0

bnCn,q ∈ C(Zp, K) soit strictement différentiable sur Zp, d’abord lorsqueq est non racine de l’unité (Théorème 4.1.1), ensuite lorsqueqest une racine primitive de l’unité d’ordre une puissance p^N de p (Théorème 4.1.2). Ces conditions sont à

(11)

10 Introduction

comparer avec celle obtenue par A. Verdoodt dans sa thèse [52] ( voir aussi [54]). Dans le cas où q est tel que |q−1| < |p|^p−1¹ , on obtient une base orthonormale de l’espace des fonctions strictement différentiables sur Zp (voir le corollaire 1 du Théorème 4.1.1).

Nous donnons dans la dernière partie de ce chapitre, la somme indéfinie et l’intégrale de Volkenborn des fonctions de classe C¹ en fonction du q-développement de Mahler.

La plupart des résultats qui suivent ont été annoncés au Séminaire de Théorie des Nom- bres et d’Analyse du Laboratoire de Mathématiques de l’Université Blaise Pascal [40], [41],

`

a la 8ê Conférence d’Analyse Fonctionnellep-adique à Clermont Ferrand du 5 au 9 juillet 2004 [38], à Mali Symposium on Applied Sciences à Bamako du 2 au 5 août 2004 [39] et au Colloque du Réseau Africain de Géométrie et Algèbre Appliquées au Développement du 18 au 25 novembre 2005 à Bamako [41].

La deuxi`eme partie du Chapitre 2 est publi´ee dans Contemporary Mathematics - Vol.

384 (2005) - p. 335-351 et la première partie sera publiée dans ”Journal of Analysis”. Une rédaction de la deuxième partie du Chapitre 4 va paraˆıtre dans ”Afrika Matematika”

(12)

Conventions G´en´erales et Notations Dans toute la suite:

• Zp est l’anneau des entiers p-adiques

• Qp est le corps des nombresp-adiques

• K est un sur-corps valu´e complet de Qp

• q est un ´el´ement deK tel que|q−1|<1.

• V_q est l’adh´erence de l’ensemble {qⁿ, n∈Z}dans le groupe des unit´esU_K de K.

• C(Z_p, K) est l’alg`ebre de Banach des fonctions continues de Zp `a valeurs dansK

• C(V_q, K) est l’alg`ebre de Banach des fonctions continues deVq `a valeurs dansK.

• Bn(x) = x(x−1). . .(x−n+ 1)

n! .

• Cn,q(x) =Cn(x) = x

n

q

= (q^x−1). . .(q^x−qⁿ⁺¹)

(qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹), lorsqueq est non racine de l’unit´e.

• L C(Zp, K)

est l’alg`ebre des endomorphismes lin´eaires continus de l’espace des fonctions continues de Zp dans K.

• W(Zp, K) est l’algèbre des opérateurs aux différences finies.

• D_q(Zp, K) est l’alg`ebre des op´erateurs de Jackson.

• Γ_q(Zp, K) est l’algèbre des opérateurs de multiplication par une fonction continue, adhérence de la sous-algèbre engendrée parZq.

• P_q est l’alg`ebre du plan quantique engendr´ee parτ1 et∇_q.

• Pb_q est l’adh´erence de P_q.

• A_q est l’algèbre de Weyl quantique engendrée parZ_q et∇_q etAb_q est l’adhérence deA_q.

• On noteQ1Q2 la compos´eeQ1◦Q2 de deux op´erateurs Q1 etQ2.

• Par convention on poseY

∅

= 1 etX

∅

= 0.

• On dit qu’une suite de polynˆomes (h_n)n≥0 est une suite polynomiale si h₀ = 1 et pour toutn≥1,hn est de degr´e n.

•Une suite polynomiale (hn)n≥0 est dite de type binomial sihn(x+y) = X

i+j=n

hi(x)hj(y),

∀n≥0,x, y∈Zp.

• Nous appelons q-polynôme de q-degré n, toute fonction h ∈ C(Zp, K) pouvant s’écrire sous la formeh(x) =

n

X

j=0

ajq^jx, avecan6= 0;qétant un élément deKnon racine de l’unité.

Les fonctionsq^jxsont linéairement indépendantes (c’est une conséquence du Lemme 1.0.7.

•Une suite deq-polynômes (h_n)n≥0 telle queh₀ = 1 et pour toutn≥1,h_nest deq-degré nest appelée suite q-polynomiale.

• On appelle suite de typeq-binomial toute suiteq-polynomiale (hn)n≥0 telle que hn(x+y) = X

i+j=n

q^j(x−i)hi(x)hj(y),∀n≥0,x, y∈Zp.

(13)

CHAPITRE 1

(14)

SoitKest un sur-corps valué complet deQp etqun élément deK tel que|q−1|<1, dans ce chapitre, nous faisons le lien entre les travaux de L. Van Hamme et de A. Verdoodt sur l’algèbre de Banach des fonctions continus de Vq à valeurs dans K et ceux de K. Conrad sur l’algèbre C(Zp, K) des fonctions continues de Zp à valeurs dansK.

Définition 1.0.1. Soit K un corps valué ultrametrique complet, de valeur absolue non trivial | |. Une norme ultramétrique sur un K-espace vectoriel E est une application k k: E−→R+ telle que

(1) kvk= 0⇐⇒v= 0

(2) kavk=|a| kvk ∀a∈K, v ∈E

(3) kv+wk ≤ max(kvk,kwk) ∀v, w ∈ E (inégalité triangulaire forte ou ultramétrique).

On dit alors que l’espace vectoriel (E, k k) est ultranorm´e et lorsqu’il est complet, on dit que c’est un K-espace de Banach ultram´etrique.

Nous rappelons ici quelques propriétés classiques desK-espaces de Banach ultramétriques, qui nous seront d’un usage fréquent.

Propriétés 1.0.1. Soit K un corps valué ultrametrique complet et soit (E, k k) un K- espace de Banach ultramétrique.

P.1: Soient v, w∈E tels que kvk 6=kwk, alors kv±wk= max(kvk,kwk).

P.2: Soit (vj)1≤j≤n une suite de E, on a

n

X

j=1

vj = 0 =⇒ ∃i, j, i6=j / kv_ik=kv_jk.

P.3: Une suite (v_n)n≥1 deE est de Cauchy si et seulement si lim

n→+∞kv_n−v_n+1k= 0.

P.4: Soit (vn)n≥1 une suite de E, si lim

n→+∞vn=v6= 0, alors il existe n0, tel que kv_nk=kvk, ∀n≥n₀.

(15)

14 1. Quelques bases orthonormales dansC(Zp, K)

P.5: Si E est de Banach, une s´erie X

n≥1

v_n converge dans E si et seulement si

n→+∞lim v_n= 0.

Définition 1.0.2. Soient K un corps valué ultramétrique complet et E un K-espace de Banach ultramétrique.

Une famille (e_i)i∈I d’éléments de E est appelée base orthogonale de E si et seulement si tout élément v de E s’écrit sous la forme v =X

i∈I

aiei, avec ai ∈K, ∀i∈I, lim

i∈Iaiei = 0 et kvk= sup

i∈I

|a_i| ke_ik.

De plus, si ke_ik= 1, ∀i∈I, alors on dit que (e_i)i∈I est une base orthonormale de E.

Lemme 1.0.1 (Bases orthonormales proches).

SoientK un corps valué ultramétrique complet, V un K-espace de Banach possédant une base orthonormale (en)n≥0. Soit (e⁰_n)n≥0 une suite dans V, telle que sup

n≥0

en−e⁰_n < 1, alors (e⁰_n)n≥0 est une base orthonormale de V.

D´emonstration. Voir [5] Corollary 5.3 et [4] Lemma 3.2.

Nous rappelons ici le th´eor`eme principal sur la base de Mahler.

Théorème 1.0.1. Soit K un sur-corps valué complet de Qp. Posons B0(x) = 1 et Bn(x) = x(x−1). . .(x−n+ 1)

n! =

x n

, ∀n ≥ 1. Alors la suite (Bn)n≥0 est une base orthonormale de C(Zp, K).

Le d´eveloppement de toute fonction continue f ∈ C(Z_p, K) s’obtient sous la forme f =X

n≥0

∆ⁿ(f)(0)B_n, où∆est l’opérateur linéaire définie par ∆(f)(x) =f(x+ 1)−f(x), x∈Zp.

D´emonstration.

On renvoie à [1], [25], [26] et [33]. Rappelons simplement que l’une des démonstrations consiste à montrer que, pour toutf ∈ C(Zp, K), on a lim

n→+∞∆ⁿ(f) = 0.

Soit K un sur-corps valu´e complet de Qp. Notons Λ ={a∈ K/|a| ≤1} l’anneau de valuation de K etM={a∈K/|a|<1}, l’id´eal maximal de Λ.

(16)

Lemme 1.0.2. La valeur absolue deZp est normalisée de telle sorte que |p|=p⁻¹. (i) Les racines de l’unité dans K qui sont réduites à1 dans le corps résiduel Λ/Msont

exactement les racines de l’unit´e d’ordre une puissance de p dansK.

(ii) Soit q une racine primitive de l’unit´e d’ordre une puissance p^N > 1, c’est-`a-dire q^p^N = 1 et q^k6= 1,∀1≤k < p^N, alors |q−1|=p⁻

1

pN−1(p−1) ≥ p^p−1⁻¹ . Les racines de l’unit´e dans K forment un ensemble discret.

(iii) Pour q ∈ K, la suite1, q, q², . . ., peut ˆetre prolong´ee en une fonction continue q^x pour x ∈ Zp si et seulement si |q−1| < 1. Dans ce cas q^x = X

n≥0

(q−1)ⁿ x

n

et

|q^x−1| ≤ |q−1|<1.

(iv) Si |q−1|<1 et x6= 0, alors q^x= 1 si et seulement si q est une racine primitive de l’unit´e d’ordre une puissancep^N de p et x∈p^NZp.

D´emonstration.

(i) Puisque K est un sur-corps valué deQp, le corps résiduel K = Λ/M est de carac- téristiquep. Soitaun entier premier àp. Si x∈K est une racinea-ième de l’unité distincte de 1 et congrue à 1( mod M), comme 1 +x+· · ·+xâ−1 = 0, on aurait 0 = ¯1 + ¯x+· · ·+ ¯xâ−1= ¯1 +· · ·+ ¯1 = ¯a. Ce qui est absurde.

Siq est une racine de l’unit´e d’ordreap^b dansK distincte de 1 et congrue `a

1( modM), alorsq^p^b est une racine de l’unit´e d’ordrea congrue `a 1( modM). Il vient queq^p^b = 1.

(ii) Rappelons que pour tout entier positif `, on a

p^` k

= |p|^`

|k|, pour 1≤k≤p^`, avec

|p|^`

|k| ≤ |p|, pour 1≤k≤p^`−1.

Soit q une racine de l’unit´e d’ordrep^N. Montrons que|q−1|<1.

Puisqueq^p^N = 1, alors ¯q^p^N−¯1 = 0 dans ¯K. Donc (¯q−¯1)^p^N = 0 et ¯q = ¯1, c’est-`a-dire

|q−1|<1.

Posonsζ =q^p^N−1, alorsζ^p= 1 et|ζ−1|<1. On a 0 = ζ^p−1

ζ−1 =

p

X

k=1

p k

(ζ−1)^k−1=p+

p−1

X

k=2

p k

(ζ−1)^k−1+ (ζ−1)^p−1, ou encore

(17)

(ζ−1)^p−1 =−p−

p−1

X

k=2

p k

(ζ−1)^k−1. Comme

p−1

X

k=2

p k

(ζ−1)^k−1

≤ max

2≤k≤p−1

p k

|ζ−1|^k−1 ≤ |p| |ζ−1| < |p|, on a

|ζ−1|^p−1=|p|et|ζ−1|=|p|^p−1¹ .

Posons maintenant γ =q−1. On a |γ|=|q−1|<1 et ζ−1 = (γ+ 1)^p^N−1 −1 =

p^N−1−1

X

k=1

p^N⁻¹ k

γ^k+γ^p^N−1. Mais

p^N−1−1

X

k=1

p^N⁻¹ k

γ^k

≤ max

1≤k≤p^N−1−1

|p|^p^N−1

|k| |γ|^k≤ |p| max

1≤k≤p^N−1−1

|γ|^k=|γ| |p|<|p| ≤

≤ |p|^p−1¹ = |ζ−1|. Ainsi, γ^p^N−1

=

ζ−1−

p^N−1−1

X

k=0

p^N−1 k

γ^k

= |ζ−1| et

|γ|=|ζ−1|^pN¹⁻¹ =|p|^pN^−pN¹ ⁻¹.

Soient q et q⁰ deux racines distinctes de l’unit´e dans K, alors |q−q⁰| ≤1. Ou bien

|q−q⁰| = 1, ou bien |q−q⁰| = |q/q⁰−1| < 1 et on d´eduit de (i) que q/q⁰ est une racine de l’unit´e d’ordre une puissance depdans K. On a|q−q⁰| ≥p

−1

p−1. Donc les racines de l’unit´e dansK forment un ensemble discret.

(iii) Soit q ∈K, si la suitem −→q^m se prolonge en une fonction continue sur Zp, alors on a lim

`→+∞q^p^` = 1 et il existe `₀ tel que

q^p^`⁰ −1

<1. Ainsi, d’une part|q|= 1 et d’autre part q^p^`⁰ est congru à 1 modulo M, d’où l’on déduit |q−1|<1.

R´eciproquement si |q−1|< 1, alors la s´erie de fonction εq(x) = X

n≥0

(q−1)ⁿBn(x) converge uniform´ement surZp. La fonction continueεq est telle que

ε_q(m) =

m

X

n=0

(q−1)ⁿ m

n

=q^m. On posera aussiε_q(x) =q^x.

(iv) Soit q∈K, tel que|q−1|<1. Notons que (q^x)^y =q^xy,∀x, y∈Zp. Posonsx=ap^N,a6= 0. Siq^x= 1, on a (q^p^N)^a= 1 etq^p^N = (q^p^N)^aa⁻¹

= 1.

R´eciproquement, siq est une racine d’ordre p^N de l’unit´e, alors pourx=ap^N, avec

a6= 0, on aq^x = (q^p^N)^a= 1.

(18)

Définition 1.0.3. Soit q ∈ K, non racine de l’unité, tel que |q−1| < 1. La suite de fonctions (q^jx)j≥0 est linéairement indépendante sur K (voir Lemme 1.0.7).

On appelleq-polynôme de q-degréntoute fonctionh, continue de Zp dansK, pouvant s’écrire sous la forme h(x) =

n

X

j=0

ajq^jx, avec an 6= 0. Dans ce cas, le coefficient an est appélé coefficient dominant du q-polynôme h.

Une suite deq-polynômes(h_n)n≥0 telle queh₀= 1 et pour tout n≥0, h_n est de q-degré n est appelée suite q-polynomiale.

Soit q ∈ K, non racine de l’unité, tel que |q−1| < 1. Posons (m)q = q^m−1 q−1 , pour m∈N. On déduit du Lemme 1.0.2 (iii) que la fonction qui àm fait correspondre (m)q se prolonge en une fonction continue x−→ (x)_q sur Zp si et seulement si |q−1|<1. Dans ce cas, on a (x)_q = q^x−1

q−1 =X

n≥1

(q−1)ⁿ⁻¹ x

n

si q6= 1 et (x)₁ =x.

Soient K un corps valu´e complet et X un espace compact. Rappelons que la norme sur l’espace des fonctions continues deX `a valeurs dansK est la norme de la convergence uniforme kfk=kfk_∞= sup

x∈X

|f(x)|, pour toute fonction continuef.

Soitq∈K, non racine de l’unité, tel que|q−1|<1. Considérons le sous-groupe fermé Vq du groupe des unités de K engendré par q. Notons que Vq est égal à l’adhérence de {qⁿ, n≥0}.

Soit (Qn)n≥0 la suite de fonctions continues d´efinies surVq parQ0(s) = 1 et Qn(s) = (s−1)(s−q). . .(s−qⁿ⁻¹)

(qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹) , ∀n ≥1, s∈Vq. On définit les opérateurs linéaires continus Dq⁽ⁿ⁾ par Dq⁽⁰⁾=id etD⁽ⁿ⁾q = (T_q−id). . .(T_q−qⁿ⁻¹id),∀n≥1.

On verifie par r´ecurrence queD^(j)q (Qn)(s) =q^−j(n−j)s^jQn−j(s),∀0≤j≤n−1.

En particulier Dq⁽ⁿ⁾(Qn)(s) = sⁿ, ce qui implique queD^(j)q (Qn)(s) = 0,∀j≥n+ 1.

Théorème 1.0.2 (Base de Van Hamme). Soit q ∈ K, non racine de l’unité, tel que

|q−1|<1. La suite polynomiale (Q_n)n≥0 est une base orthonormale de l’espace de Ba- nach ultram´etriqueC(V_q, K) des fonctions continues de Vq `a valeurs dansK.

Pour tout ´el´ement f ∈ C(V_q, K), on a f = X

n≥0

a_nQ_n, avec a_n ∈ K, lim

n→+∞a_n = 0 et kfk= sup

n≥0

|a_n|; de plusan=Dq⁽ⁿ⁾(f)(1).

D´emonstration. (Voir [11] Theorem 1).

Les d´emonstrations donn´ees par L. Van Hamme et A. Verdoodt pour q ∈ Zp se trans-

(19)

posent ici sans difficulté. Notons qu’une démonstration directe consiste à montrer que pour f : Vq−→K continue, la suite (Dq⁽ⁿ⁾(f))n≥0 converge uniformément vers zéro.

Une autre démonstration utilise un théorème de Y. Amice, basé sur le théorème de

Weierstrass-Kaplansky.

•Consid´erons l’ensembleE_p ={x∈K / |x|< p^p−1⁻¹ }. On sait que la s´erie de fonctions exp_p(x) = X

n≥0

xⁿ

n! converge dans K si et seulement si x ∈ Ep, on dit que exp_p est l’exponentielle p-adique.

De mˆeme, la s´erie de fonctions log_p(x) =X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹(x−1)ⁿ

n converge dansK si et seulement si |x−1| <1. On dit que log_p est le logarithme p-adique. Remarquons que pour

|q−1|<1, on a lim

x→0

q^x−1

x = log_p(q).

Remarque 1.0.1. Soit q∈K, tel que|q−1|<1, alors Vq ⊂1 +M.

Notons que V_q est fini lorsque q est une racine de l’unit´e.

Lemme 1.0.3. Soitq ∈K, non racine de l’unit´e, tel que |q−1|<1.

L’application ε_q : Zp −→ V_q d´efinie par ε_q(x) = q^x = X

n≥0

(q −1)ⁿB_n(x) est un isomorphisme de groupes topologiques.

De plus, si|q−1|<|p|^p−1¹ , alorsV_q⊂1+E_p et pour toutx∈Zp, on aq^x= exp_p(xlog_p(q)).

D´emonstration.

Soit q ∈ K, non racine de l’unit´e, tel que q ≡ 1( modM). Soit x, x⁰ ∈ Zp, on a ε_q(x+x⁰) =q^x+x⁰ =q^xq^x⁰ =ε_q(x)ε_q(x⁰). Il vient que ε_q est un morphisme de groupes de Zp dansVq.

On voit aussitôt par la définition deVq queεqest surjectif. On déduit du Lemme 1.0.2 (iii) queε_q est injectif.

On d´eduit du fait queZp est compact queεqest bi-continue. C’est donc un isomorphisme de groupes topologiques etVq est un groupe compact.

De plus commeV_q⊂1 +M, posant log_q = log_p

log_p(q), on voit que la restriction de log_q `aV_q est l’isomorphisme r´eciproque de εq.

Supposons |q−1|< p⁻^p−1¹ , on d´eduit encore du Lemme 1.0.2 (iii) que

|q^x−1| ≤ |q−1|< p⁻^p−1¹ ,∀x∈Zp. DoncVq ⊂ 1 + Ep. Posonss=q^x,x∈Zp, on a log_p(s) = log_p(q^x) =xlog_p(q) et εq(x) =q^x= exp_p(log_p(q^x)) = exp_q(xlog_p(q)).

(20)

Pour q non racine de l’unité, on note ϕ_q l’isomorphisme réciproque deε_q, qui coincide avec la restriction à Vq de log_q= log_p

log_p(q). Notons queεq◦ϕq=idVq etϕq◦εq =id_Z_p. Théorème 1.0.3. Soient εeq : C(V_q, K) −→ C(Z_p, K) et fϕq : C(Z_p, K) −→ C(V_q, K) les morphismes d’algèbres définis par εe_q(g) = g◦ε_q, ∀g ∈ C(V_q, K) et fϕ_q(f) = f ◦ϕ_q,

∀f ∈ C(Zp, K). Alors εe_q etϕf_q sont des isomorphismes isométriques d’algèbres de Banach réciproques l’un de l’autre.

De plus, pour tout j≥0, on a∆^(j)q =εeq◦Dq^(j)◦fϕq et D^(j)q =ϕfq◦∆^(j)q ◦εeq.

Démonstration. On vérifie aussitôt queεe_q etfϕ_qsont des morphismes d’algèbres. En utilisant l’associativité de la composition des fonctions continues on a, pourf ∈ C(Zp, K), εeq(fϕq(f)) = ϕfq(f)◦εq = f ◦ϕq◦εq = f et de la même manière si g ∈ C(V_q, K), on a ϕf_q(εe_q(g)) =εe_q(g)◦ϕ_q=g◦ε_q◦ϕ_q =g. Il vient queεe_qetϕf_qsont des bigections réciproques l’une de l’autre. De plus on a kεe_q(g)k = sup

x∈Zp

|g◦ε_q(x)| = sup

s∈Vq

|g(s)|= kgk et de même kϕf_q(f)k=kfk. D’où εe_q etϕf_q sont des isométries.

Soient f une fonction continue de Zp dansK etx∈Zp, on a

εe_q◦T_q◦ϕf_q(f)(x) = T_q◦ϕf_q(f)(q^x) =ϕf_q(f)(q^x+1) = f(ϕ_q(q^x+1)) =f(x+ 1) =τ₁(f)(x), c’est-`a-dire εe_q◦τ_q◦ϕf_q=τ₁.

Pour tout entierk≥0, on a

εe_q◦(T_q−q^kid)◦ϕf_q=εe_q◦T_q◦ϕf_q−q^kεe_q◦ϕf_q =τ₁−q^kid, ainsi εe_q◦Dq^(j)◦fϕ_q =h

εe_q◦(T_q−id)◦ϕf_qi

◦h

εe_q◦(T_q−qid)◦ϕf_qi

◦ · · · ◦h

εe_q◦(T_q−q^j−1id)◦fϕ_qi

=

= (τ1−id)◦(τ1−qid)◦ · · · ◦(τ1−q^j−1id) = ∆^(j)q .

Réciproquement, on aD_q^(j) =fϕ_q◦∆^(j)_q ◦εe_qetτ_q =ϕf_q◦τ₁◦εe_q. Remarque 1.0.2. De fa¸con générale, soient X etY deux espaces compacts. Si

ε:X −→Y est un isomorphisme de X sur Y, alors l’applicationε˜:C(Y, K)−→ C(X, K) définie par ε(g) =˜ g◦ε, ∀g ∈ C(Y, K), est un isomorphisme isométrique d’algèbres de Banach.

Corollaire. Soit q ∈K, non racine de l’unit´e, tel que |q−1|<1. Alors, la suite de fonctions (εe_q(Q_n))n≥0 est une base orthonormale deC(Zp, K).

De plus, pour x∈Zp, on a εe_q(Q_n)(x) =Q_n(q^x) = (q^x−1). . .(q^x−qⁿ⁻¹) (qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹).

• Dans toute la suite, on noteCn=Cn,q =εeq(Qn).

(21)

Soit q∈K, non racine de l’unit´e, tel que|q−1|<1, rappelons que, pourm un entier positif, (m)_q = q^m−1

q−1 . On pose (m)_q! = (m)_q(m−1)_q. . .(1)_q, pour m≥1 et (0)_q! = 1.

On a, pourm≥n,εeq(Qn)(m) =Cn,q(m) = (q^m−1)(q^m−q). . .(q^m−qⁿ⁻¹) (qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹) =

= (q^m−1)(q^m−1−1). . .(q^m−n+1−1)

(qⁿ−1). . .(q−1) = (m)_q(m−1)_q. . .(m−n+ 1)_q

(n)_q. . .(1)_q = (m)_q! (m−n)_q!(n)_q!. Ce qui est analogue au coefficient binomial

m n

= m!

(m−n)!n! = m(m−1). . .(m−n+ 1)

n! .

Les Cn,q(m) sont appel´es, les coefficients q-binomiaux et par analogie aux coefficients binomiaux, on les note souvent

m n

q

. De même, leq-polynôme Cn,q est appelé le n-ième q-polynôme q-binomial.

N.B:Soit nun entier positif, on remarque que m

n

q

= 0,∀0≤m < net −m

n

q

= (−1)ⁿq^−n(n−1)² ^−nm

m+n−1 n

q

, ∀m ≥ 0. En particulier, pour tout entier positifn, on a

−1 n

q

= (−1)ⁿq^−n(n+1)² .

Lemme 1.0.4. Soit q ∈K, non racine de l’unit´e, tel que |q−1|<1. Pour tout n≥0 et tout m≥1, on a Cn,q(m+ 1) =qⁿCn,q(m) +Cn−1,q(m) =Cn,q(m) +q^m−n+1Cn−1,q(m).

D´emonstration.

-(a)- Pour m < n−1, on a Cn,q(m+ 1) = Cn,q(m) = Cn−1,q(m) = 0 et il n’y a rien `a d´emontrer.

-(b)- Pourm=n−1, on aC_n,q(m+1) =q^m+1−nCn−1,q(m) =Cn−1,q(m) = 1 etC_n,q(m) = 0.

-(c)- Pour m≥n, on aC_n,q(m+ 1) = (q^m+1−1)(q^m+1−q). . .(q^m+1−qⁿ⁻¹) (qⁿ−1). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹) =

= q^m+1−qⁿ+qⁿ−1

qⁿ−1 Cn−1,q(m) = (q^m+1−qⁿ)(q^m−1). . .(q^m−qⁿ⁻²)

(qⁿ−1)(qⁿ⁻¹−1). . .(qⁿ⁻¹−qⁿ⁻²)+Cn−1,q(m)

=qⁿ(q^m−1). . .(q^m−qⁿ⁻²)(q^m−qⁿ⁻¹)

(qⁿ−1)(qⁿ−q). . .(qⁿ−qⁿ⁻¹) +Cn−1,q(m) =qⁿC_n,q(m) +Cn−1,q(m).

De mˆeme,Cn,q(m+ 1) =Cm+1−n,q(m+ 1) =q^m+1−nCm+1−n,q(m) +Cm−n,q(m) =

=C_n,q(m) +q^m+1−nCn−1,q(m).

(22)

Corollaire. Soit q ∈ K, non racine de l’unit´e, tel que |q−1| < 1. Soient m et n deux entiers positifs, tels que m ≥ n, le coefficient q-binomial Cn,q(m) =

m n

q

est un polynôme en q, à coefficients entiers, de degré n(m−n), de terme constant 1 et de coefficient dominant1, c’est-à-dire que le coefficient du terme de degrén(m−n)est égal à 1.

D´emonstration. Pour tout entierm≥2, on a m

1

q

= q^m−1

q−1 =q^m−1+q^m−2+· · ·+q+ 1 et m

2

q

= (q^m−1)(q^m−1−1) (q²−1)(q−1) . Ou bien m est pair etm= 2t,t∈N. Dans ce cas

m 2

q

= q^2t−1 q²−1

q^2t−1−1 q−1 =

=X^t−1

j=0

q^2j^2t−2X

i=0

q^j

qui est un polynôme en q, à coefficients entiers de degré 4t−4 = 2(m−2), de terme constant 1 et de coefficient dominant 1.

Ou bienmest impair avecm= 2t+1,t∈Net m

2

q

= q^2t−1 q²−1

q^2t+1−1 q−1 =

X^t−1

j=0

q^2j X^2t

i=0

q^j

qui est aussi un polynôme de degré 4t−2 = 2(m−2), à coefficients entiers, de terme constant et de coefficient dominant 1.

Par double r´ecurence, on suppose que

m−1 n

q

et

m−1 n−1

q

sont des polynômes enq à coefficients entiers, de degrés respectifsn(m−1−n) et (n−1)(m−n), de termes constants et de coefficients dominants 1. Puisque

m n

q

= qⁿ

m−1 n

q

+

m−1 n−1

q

, on voit par r´ecurrence que

m n

q

est un polynôme enqà coefficients entiers, de plus ce polynôme est de degrén(m−n) et de terme constant et coefficient dominant 1.

Nous avons l’analogue suivant `a la formule de Chu-Vandermonde.

Théorème 1.0.4. Soit q∈K, non racine de l’unité, tel que |q−1|<1.

(i) On a ∀x, y∈Zp, Cn,q(x+y) =

n

X

j=0

q^j(y−n+j)Cj,q(x)Cn−j,q(y).

(ii) Soient q1 et q2 deux éléments de K, non racines de l’unité, tels que |q₁−1|<1 et

|q₂−1|<1, alors kC_n,q₁−Cn,q2k<|q₁−q2|.

(23)

D´emonstration.

(i) Soit n≥0 un entier fix´e et soient m etsdeux entiers. Montrons que Cn,q(m+s) =

n

X

j=0

q^j(m−n+j)Cj,q(s)Cn−j,q(m).

Pour n= 0, il n’y a rien `a d´emontrer.

Supposons que n est un entier ≥ 1. Nous avons démontré au Lemme 1.0.4, que C_n,q(m+ 1) =C_n,q(m) +q^m−n+1Cn−1,q(m). On en déduit que

C_n,q(m+ 2) =C_n,q(m+ 1) +q^m−n+2Cn−1,q(m+ 1) =

=Cn,q(m) +q^m−n+1Cn−1,q(m) +q^m−n+2Cn−1,q(m) +q^2(m−n+2)Cn−2,q(m) =

=C_n,q(m) + (2)_qq^m−n+1Cn−1,q(m) +q^2(m−n+2)Cn−2,q(m).

Par r´ecurrence surs, supposons que pour tout n≥1, C_n,q(m+s−1) =

n

X

j=0

q^j(m−n+j)C_j,q(s−1)Cn−j,q(m).

On a C_n,q(m+s) =C_n,q(m+s−1) +q^m+s−nCn−1,q(m+s−1) =

=

n

X

j=0

q^j(m−n+j)Cj,q(s−1)Cn−j,q(m)+q^m+s−n

n−1

X

j=0

q^j(m−n+j+1)Cj,q(s−1)Cn−1−j,q(m) =

=

n

X

j=0

q^j(m−n+j)C_j,q(s−1)Cn−j,q(m) +

n

X

j=1

q^s−jq^j(m−n+j)Cj−1,q(s−1)Cn−j,q(m) =

=Cn,q(m) +

n

X

j=1

(Cj,q(s−1) +q^s−jCj−1,q(s−1))q^j(m−n+j)Cn−j,q(m) =

=

n

X

j=0

q^j(m−n+j)C_j,q(s)Cn−j,q(m).

Par continuit´e, on a (i).

(ii) Soient q₁ et q₂ deux éléments non racines de l’unité de K, tels que |q₁−1|< 1 et

|q₂−1|<1. Soit n un entier positif fix´e. On sait, pour tout entier positifm < n, que

m n

q1

= m

n

q2

= 0.

Pour tout entierm≥n, on d´eduit du corollaire du Lemme 1.0.4 que m

n

q1

− m

n

q2

=

n(m−n)

X

k=1

am,n(k)(q₁^k−q₂^k), avecam,n(k)∈Z,∀1≤k≤n(m−n).

Donc, pour tout enierm≥0, on a

m n

q1

− m

n

q2

≤ |q₁−q2|et en passant `a la limite on obtient|C_n,q₁(x)−Cn,q2(x)| ≤ |q₁−q2|,∀x∈Zp.