Devoir Mathématiques N

1^éreS3 23 janvier 2015

Devoir Mathématiques N

10 (1h)

0

1

On considère l’algorithme suivant :

Les variables sont le réelU et les entiers naturelsketN.

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nulN. Traitement

Affecter àU la valeur -6 Pourk allant de 1 àN (inclus) Affecter àU la valeur 1

4U+ 3 AfficherU

Fin pour

Quel est l’affichage en sortie lorsqueN = 2? (justifier sommairement) Partie B

On considère la suite(u_n)définie paru₁=−6et, pour tout entier natureln,u_n+1= 1 4u_n+ 3.

1. Sur le graphique ci-joint, représenter les premiers termes de la suite (u_n) sur l’axe des abscisses. En déduire une conjecture sur la monotonie de(u_n)et sur son éventuelle limite.

2. Soit la suite(v_n)définie, pour tout entier naturel non nuln, parv_n=u_n−4.

a) Montrer que(v_n)est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Donner l’expression dev_n en fonction den, puis en déduire celle de (u_n).

pour tout entier natureln. c) En déduire la limite de(u_n).

O J

I

2

u_n+1=p 3 +u²_n

1. Montrer que la suite(v_n)définie pourn∈Nparv_n=u²_n est arithmétique.

2. Déterminer alors(v_n)puis(u_n)en fonction de n.

3





 u₀= 0

u_n+1= 2u_n+v_n 3





 v₀= 2

v_n+1= u_n+ 2v_n 3 1. Calculeru₁,v₁,u₂,v₂.

2. Pourn∈Non considère les suitesd_n=v_n−u_n et s_n=v_n+u_n. a) Montrer que(d_n)est geómétrique et déterminerd_n en fonction den.

b) Montrer que pour toutn∈N,s_n+1=s_n. Que pouvez vous en déduire pour(s_n)? 3. En déduire l’expression de(v_n)et(u_n)en fonction de n.