MPSI B DM 13 29 juin 2019
I. Endomorphisme et matrice compagnon
SoitE unCespace vectoriel de dimensionpet B= (e1,· · ·, ep)une base deE. Soit
P =a0+a1X+· · ·+ap−1Xp−1+Xp
un polynôme à coecients complexes. On dénit un endomorphismef deEpar les relations suivantes :
f(e1) =e2, f(e2) =e3, · · ·, f(ep−1) =ep, f(ep) =−a0e1−a1e2− · · · −ap−1ep On dira quef est l'endomorphisme compagnon associé àP.
LorsqueQ=b0+b1X+· · ·+bnXn ∈C[X], on pose
Q(f) =b0IdE+b1f +· · ·+bnfn oùfk=f◦ · · · ◦f (k fois).
1. Préciser la matrice def dans B. On dira que cette matrice est la matrice compagnon associée àP.
2. A-t-onQ(f)◦f =f◦Q(f)? CalculerP(f)(e1). Montrer que P(f) = 0L(E)
3. On dira qu'un nombre complexeλest une valeur propre def si et seulement si il existe un vecteur non nulxdeEtel que
f(x) =λx
On dit alors quexest un vecteur propre de valeur propreλ.
a. Montrer que siλest une valeur propre de f alorsλest une racine deP. b. Soitλune racine deP. On poseP = (X−λ)QavecQ∈C[X]. Montrer que
Q(f)(e1)6= 0E
En déduire (en précisant un vecteur propre) queλest une valeur propre.
II. Condition de Hadamard. Disques de Ger²gorin
SoitA∈ Mp(C), on dénit les nombres réelsr1(A),· · ·, rp(A)par ri(A) = X
j∈{1,···,p}−{i}
|aij|
Le i ème disque de Ger²gorin (notéΓi(A)) est le disque centré enaii et de rayonri(A). Le domaine de Ger²gorin (notéΓ(A)) est l'union des disques de Ger²gorin.
1. Soit A ∈ Mp(C), montrer que A est non inversible si et seulement si il existe une matrice colonneX non nulle telle que AXsoit la matrice colonne nulle.
2. SoitAune matrice non inversible. Montrer qu'il existe unmtel que
|amm| ≤rm(A) On pourra considérermax(|x1],· · ·,|xp|).
3. On dira qu'un nombre complexe λ est une valeur propre de A si et seulement si la matriceA−λIpn'est pas inversible.
Montrer que toutes les valeurs propres deAsont dans le domaine de Ger²gorin deA. 4. SoitP ∈ C[X] et A la matrice compagnon associée à ce polynôme. Montrer que les racines de P sont dans le domaine de Ger²gorin de A. Préciser ce domaine pour les deux polynômes suivants :
P=−1 +iX−4X2−(1 +i)X3+X4 (1) P=−2 +iX−jX2−4X3+X4 (2)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0513E
