MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
I. Endomorphisme et matrice compagnon
SoitE unCespace vectoriel de dimensionpet B= (e1,· · ·, ep)une base deE. Soit
P =a0+a1X+· · ·+ap−1Xp−1+Xp
un polynôme à coecients complexes. On dénit un endomorphismef deEpar les relations suivantes :
f(e1) =e2, f(e2) =e3, · · ·, f(ep−1) =ep, f(ep) =−a0e1−a1e2− · · · −ap−1ep
On dira quef est l'endomorphisme compagnon associé àP. LorsqueQ=b0+b1X+· · ·+bnXn ∈C[X], on pose
Q(f) =b0IdE+b1f +· · ·+bnfn oùfk=f◦ · · · ◦f (k fois).
1. Préciser la matrice def dans B. On dira que cette matrice est la matrice compagnon associée àP.
2. A-t-onQ(f)◦f =f◦Q(f)? CalculerP(f)(e1). Montrer que P(f) = 0L(E)
3. On dira qu'un nombre complexeλest une valeur propre def si et seulement si il existe un vecteur non nulxdeEtel que
f(x) =λx
On dit alors quexest un vecteur propre de valeur propreλ.
a. Montrer que siλest une valeur propre de f alorsλest une racine deP. b. Soitλune racine deP. On poseP = (X−λ)QavecQ∈C[X]. Montrer que
Q(f)(e1)6= 0E
En déduire (en précisant un vecteur propre) queλest une valeur propre.
II. Condition de Hadamard. Disques de Ger²gorin
SoitA∈ Mp(C), on dénit les nombres réelsr1(A),· · ·, rp(A)par ri(A) = X
j∈{1,···,p}−{i}
|aij|
Le i ème disque de Ger²gorin (notéΓi(A)) est le disque centré enaii et de rayonri(A). Le domaine de Ger²gorin (notéΓ(A)) est l'union des disques de Ger²gorin.
1. Soit A ∈ Mp(C), montrer que A est non inversible si et seulement si il existe une matrice colonneX non nulle telle que AXsoit la matrice colonne nulle.
2. SoitAune matrice non inversible. Montrer qu'il existe unmtel que
|amm| ≤rm(A) On pourra considérermax(|x1],· · ·,|xp|).
3. On dira qu'un nombre complexe λ est une valeur propre de A si et seulement si la matriceA−λIpn'est pas inversible.
Montrer que toutes les valeurs propres deAsont dans le domaine de Ger²gorin deA. 4. SoitP ∈ C[X] et A la matrice compagnon associée à ce polynôme. Montrer que les racines de P sont dans le domaine de Ger²gorin de A. Préciser ce domaine pour les deux polynômes suivants :
P=−1 +iX−4X2−(1 +i)X3+X4 (1) P=−2 +iX−jX2−4X3+X4 (2)
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Corrigé Partie I
1. D'après les dénitions :
MatB=
0 0 · · · 0 −a0
1 0 −a1
0 1 ... ... ...
... 0 ... ... ...
... ... ... 0 −ap−2 0 0 · · · 0 1 −ap−1
2. On a bienQ(f)◦f =f◦Q(f)carf commute avec ses puissances.
D'après la dénition, pour touti < p,fi(e1) =ei+1 et
fp(e1) =f(ep) =−a0e1−a1e2− · · · −ap−1ep
On en déduit
P(f)(e1) =a0e1+a1e2+· · ·+ap−1ep+f(ep) = 0E
On vérie alors queP(f)(ei)est nul pour tous lesientre2 etP car P(f)(ei) =P(f)◦fi−1(e1) =fi−1◦P(f)(e1) =fi−1(OE) = 0E
L'endomorphismeP(f)est donc nul puisqu'il prend la valeur0E sur tous les vecteurs d'une base.
3. a. Soitλune valeur propre def. Il existe alors un vecteuru6= 0Etel quef(u) =λu. On en déduit quefi(u) =λiupour tous les entiers naturelsi. Cela entraîne
0E=P(f)(u) =P(λ)u d'oùP(λ) = 0caruest non nul.
b. D'après les conditions de l'énoncé,Qest un polynôme unitaire de degrén−1. Il existe donc des complexesb0,· · · , bp−2 tels que
Q=bO+b1X+· · ·+bp−2Xp−2+Xp−1 Q(f)(e1) =bOe1+b1e2+· · ·+bp−2ep−1+ep
Comme la famille(e1,· · ·, ep)est libre et que
(b0,· · ·, bp−2,1)6= (0,0,· · · ,0)
le vecteurQ(f)(e1)est non nul. Notonsv=Q(f)(e1)ce vecteur non nul. Alors : P= (X−λ)Q⇒(f −λId)◦Q(f) =OL(E)⇒(f−λId)◦Q(f)(e1) =OE
⇒f(v) =λv Le complexeλest donc bien une valeur propre.
Partie II
1. Considérons unC-espace vectorielF quelconque de dimensionpmuni d'une baseU = (u1,· · ·, up).
Dénissons un endomorphismeϕdeF par sa matrice dans la baseU : MatUf =A
D'après le cours, A est inversible si et seulement sif est bijective. Comme f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nie,f est bijective si et seulement si elle est injective. On en déduit queAest non inversible si et seulement sif est non injective c'est à dire de noyau non nul. À chaque vecteur non nul du noyau correspond la colonneX de ses coordonnées dans la baseU. Cette colonne vérieAX= 0. 2. SoitAune matrice non inversible et
X =
x1
x2
...
xp
une colonne telle queAX= 0. C'est à dire
∀i∈ {1,· · ·, p}
p
X
k=1
aikxk = 0
Il existe un entiermentre 1 etptel que
|xm|= max(|x1|,· · ·,|xp|)
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Fig. 1: Domaine de Ger²gorin pourP =−1 +iX−4X2−(1 +i)X3+X4
Écrivons la relation pouri=met formons une inégalité
−ammxm= X
k∈{1,···,p}−{m}
amkxk⇒ |amm||xm| ≤ X
k∈{1,···,p}−{m}
|amk||xk|
⇒ |amm||xm| ≤ X
k∈{1,···,p}−{m}
|amk||xm|=rm(A)|xm|
⇒ |xm|(|amm| −rm(A))≤0⇒ |amm| ≤rm(A) carX étant non nulle,|xm|>0.
3. Siλest une valeur propre deA, la matriceA−λIp n'est pas inversible. Il existe donc unm tel que
|amm−λ| ≤rm(A−λIp) =rm(A)
Ceci signie queλest dans lem ieme disque de Ger²gorin. Toutes les valeurs propres sont donc dans le domaine de Ger²gorin deA.
4. SoitP ∈C[X], on a vu en I.3. que les racines deP sont les valeurs propres deA. Elles sont donc dans le domaine de Ger²gorin deA.
Précisons ce domaine dans le cas oùP =−1 +iX−4X2−(1 +i)X3+X4.
Fig. 2: Domaine de Ger²gorin pourP =−2 +iX−jX2−4X3+X4
A=
0 0 0 1
1 0 0 −i
0 1 0 4
0 0 1 1 +i
⇒
r1(A) =1 r2(A) =2 r3(A) =5 r4(A) =1
Les trois premiers disques sont centrés à l'origine. Ils sont tous dans le disqueDcentré à l'origine et de rayon 5. Le dernier disque est centré au point d'axe1 +iet de rayon 1. Il est aussi contenu dans le disqueD.
Précisons ce domaine dans le cas oùP =−2 +iX−jX2−4X3+X4.
A=
0 0 0 2 1 0 0 −i 0 1 0 j 0 0 1 4
⇒
r1(A) =2 r2(A) =2 r3(A) =2 r4(A) =1
Les trois premiers disques sont confondus centrés à l'origine et de rayon 2. Le dernier disque est centré au point d'axe4 et de rayon 1.
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