Feuille d’exercices 2

UNIVERSIT ´E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ee 2013/2014

Licence Informatique L1 Analyse

Feuille d’exercices 2

Exercice 1. Soit (u_n)_n∈N^∗ la suite d´efinie paru_n= ^√1_n.

a) `A partir de quel entierN1 la condition un ∈]−0.1,0.1[ est v´erifi´ee ? Combien de termesun

ne v´erifient pas la condition ?

b) `A partir de quel entierN2 la conditionun∈]−10⁻⁶,10⁻⁶[ est v´erifi´ee ? c) Montrer que la suite (un)n∈N^∗ converge. Quelle est la limite pourn→ ∞?

d) On d´efinit une suite (v_n)_n∈N^∗ parv_n = 2−u_n. Quelle est la limite de la suite (v_n)_n∈N pour n→ ∞? D´emontrer ce r´esultat `a l’aide de la d´efinition.

Exercice 2. Montrer que si une suite (un)n∈Nconverge vers 1, tous ses termes sont positifs `a partir d’un certain rang.

Exercice 3. Montrer que toute suite convergente (un)_n∈N est born´ee. Pour le montrer, on proposera un minorant et un majorant de cette suite.

Exercice 4.Pour les suites (un)n∈Nsuivantes, d´ecider si elles convergent et calculer, si possible, la limite pourn→ ∞.

a)un=√

n+ 1−√ n−1 ; b)un=_nⁿ2+1² ;

c)un=qⁿ (on fera une distinction de cas selonq= 1, q=−1,|q|>1 et|q|<1).

Exercice 5. Soit (un)_n∈N la suite d´efinie par : u0= 1, un+1=√

un+ 2 ∀n∈N.

a) Montrer que pour toutn∈Non a 0< u_n<2.

b) Montrer que (un)_n∈Nest monotone croissante.

c) En deduire que la suite (un)n∈Nconvergente. Montrer que sa limite est 2.

d) Montrer que toute suite monotone (croissante ou decroissante) et born´ee est convergente.

Exercice 6. Montrer que la suite (Fn)n∈Nde Fibonacci d´efinie par

F₀= 0, F₁= 1, F_n+1=F_n+F_n−1 ∀n∈N^∗ est divergente pourn→ ∞.

1

Exercice 7. Soitx∈Rtel que x²= 2. Monter quexn’est pas un nombre rationnel.

Exercice 8. Soitu0:= 1 et pour toutn∈Non d´efinit un+1 :=un

2 + 1 un

.

a) Calculeru1et u2. b) Montrer queun≥√

2 pour toutn∈N^∗. c) Montrer queun+1≤un pour toutn∈N^∗.

d) D´eduire que la suite (un)n∈N converge et notonsl:= limn→∞un sa limite.

e) Montrer quel n’est pas un nombre rationnel.

Exercice 9. Soient (u_n)_n∈N, (v_n)_n∈N, (w_n)_n∈Ntrois suites r´eelles telles que : u_n≤v_n ≤w_n ∀n∈N

et (un)_n∈Net (wn)_n∈Nconvergent vers une mˆeme limite` pourn→ ∞.

a) Montrer que (vn)_n∈Nconverge aussi vers`pourn→+∞.

b) Utiliser ce th`eoreme (connu comme celui des gendarmes) pour montrer que les suites (vn)_n∈N^∗ suivantes sont convergentes :

i)vn=Pn k=1

1 n+^k_n ; ii)v_n =^cos_nⁿ.

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