Droites et systèmes

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Droites et systèmes www.mathGM.fr Les savoir-faire Vecteur directeur d’une droite Equation cartésienne d’une droite Equation réduite d’une droite Positions relatives de deux droites Système de deux équations à deux inconnues

Droites et systèmes

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Lycée Louise Michel (Gisors)

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Les savoir-faire Vecteur directeur d’une droite Equation cartésienne d’une droite Equation réduite d’une droite Positions relatives de deux droites Système de deux équations à deux inconnues

100. Représenter une droite.

101. Déterminer graphiquement des informations sur une droite.

102. Déterminer une équation de droite par le calcul.

103. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.

104. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

(3)

Définition

Définition : vecteur directeur d’une droite Soient A et B deux points

distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur − − →

AB est appelé vec- teur directeur de la droite d.

~u

A

×

B

×

Conséquences :

(4)

Soient A et B deux points distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur − − →

AB est appelé vec- teur directeur de la droite d.

~u

A

×

B

×

Conséquences :

La donnée d’un point A et d’un vecteur ~u non nul

définit une droite d unique.

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Définition

Définition : vecteur directeur d’une droite Soient A et B deux points

distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur − − →

AB est appelé vec- teur directeur de la droite d.

~u

A

×

B

×

Conséquences :

La donnée d’un point A et d’un vecteur ~u non nul définit une droite d unique.

Si A et B sont deux points distincts de d, alors − − →

AB

est un vecteur directeur de d.

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Soient A et B deux points distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur − − →

AB est appelé vec- teur directeur de la droite d.

~u

A

×

B

×

Conséquences :

La donnée d’un point A et d’un vecteur ~u non nul définit une droite d unique.

Si A et B sont deux points distincts de d, alors − − → AB est un vecteur directeur de d.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

(7)

Définition

Définition : vecteur directeur d’une droite Soient A et B deux points

distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur − − →

AB est appelé vec- teur directeur de la droite d.

~u

A

×

B

×

Conséquences :

La donnée d’un point A et d’un vecteur ~u non nul définit une droite d unique.

Si A et B sont deux points distincts de d, alors − − → AB est un vecteur directeur de d.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont

colinéaires.

(8)

Déterminer les vecteurs directeurs des droites d

1

, d

2

et d

3

. Vidéo

−

→ i

−

→ j 0

d ₁

d ₂

d ₃

(9)

Equation cartésienne d’une droite

Définition : équation cartésienne d’une droite

Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme :

ax + by + c = 0 avec(a ; b) 6= (0 ; 0)

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite d.

Cette droite a pour vecteur directeur ~u Å −b

a

ã

(10)

On considère un repère (O ; ~i ; ~j) du plan. Déterminer une équation

cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur

directeur ~ u( − 1 ; 5). Vidéo

(11)

Exemples

Exemple

On considère un repère (O ; ~i ; ~j) du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur ~ u( − 1 ; 5). Vidéo

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par

A(3 ; 1) et de vecteur directeur ~ u(5 ; 3). Vidéo

(12)

On considère un repère (O ; ~i ; ~j) du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur ~ u( − 1 ; 5). Vidéo

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par A(3 ; 1) et de vecteur directeur ~ u(5 ; 3). Vidéo

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par

A(5 ; 3) et B(1 ; − 3). Vidéo

(13)

Exemples

Exemple

On considère un repère (O ; ~i ; ~j) du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par le point A(3 ; 1) et de vecteur directeur ~ u( − 1 ; 5). Vidéo

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par A(3 ; 1) et de vecteur directeur ~ u(5 ; 3). Vidéo

Exemple

Déterminer une équation cartésienne de la droite d passant par A(5 ; 3) et B(1 ; − 3). Vidéo

Exemple

Tracer la droite d d’équation cartésienne : 3x + 2y − 5 = 0 Vidéo

(14)

L’équation réduite d’une droite D non parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme : y = mx + p.

• m est le coefficient direc- teur de D .

• Pour tous points A et B distincts du plan,

m = y _B − y _A x _B − x _A

• Le vecteur Å 1

m ã

est un vecteur directeur de cette droite.

• p est l’ordonnée à l’ori- gine de D .

0 A B

1 1 x _A x _B y _A

y _B

D

3

xB−xA

= 2

yB−yA

= 4

Dest la droite d’équation y= 2x+ 3.

(15)

Droites parallèles à l’axe des ordonnées

Définition : équation réduite d’une droite

On considère une droite D parallèle à l’axe des ordonnées et c l’abscisse d’un point de D .

On dit que x = c est une équation de la droite D . On note : D : x = c.

0 1 1

D

c

(16)

Exemple

On donne les points A(4 ; − 1) et B(3 ; 5) appartenant à une droite

d. Déterminer une équation de d. Vidéo

(17)

Exemples

Exemple

On donne les points A(4 ; − 1) et B(3 ; 5) appartenant à une droite d. Déterminer une équation de d. Vidéo

Exemple

Tracer les droites suivantes :

d

1

: y = 2x + 3 d

2

: y = 4 d

3

: x = 3 Vidéo

(18)

Règle : droites parallèles, droites sécantes et droites confon- dues

Deux droites du plan peuvent être soit sécantes, soit paral-

lèles ou soit confondues.

(19)

Droites parallèles

Propriété : droites parallèles

Droites parallèles m = m ^′

ou ab ^′ − ba ^′ = 0

0 d :

y = mx +

p d

′

: y = m

′

x + p

^′

J

I

(20)

Si d : y = mx + p et d ^′ : y = m ^′ x + p ^′ , on a : d // d ^′ ⇐⇒ m = m ^′ .

d et d ^′ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Droites parallèles m = m ^′

ou ab ^′ − ba ^′ = 0

0 d :

y = mx +

p d

′

: y = m

′

x + p

^′

J

I

(21)

Droites parallèles

Propriété : droites parallèles

Si d : y = mx + p et d ^′ : y = m ^′ x + p ^′ , on a : d // d ^′ ⇐⇒ m = m ^′ .

d et d ^′ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Si d : ax + by + c = 0 et d ^′ : a ^′ x + b ^′ y + c ^′ = 0, on a : d // d ^′ ⇐⇒ ab ^′ − ba ^′ = 0.

d et d ^′ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Droites parallèles m = m ^′

ou ab ^′ − ba ^′ = 0

0 d :

y = mx +

p d

′

: y = m

′

x + p

^′

J

I

(22)

Propriété : droites sécantes

d et d ^′ sont sécantes ⇐⇒ m 6= m ^′ . d et d ^′ sont sécantes ⇐⇒ ab ^′ − ba ^′ 6= 0.

Droites sécantes : m 6= m ^′

ou ab ^′ − ba ^′ 6= 0

0 y =

mx + p

y = m

′

x + p

^′

J

I

A

x _A

y _A

(23)

Définition

Définition : système linéaire de deux équations à deux incon- nues

On dit qu’un couple (x ; y) vérifie le système de deux équations linéaires du 1erdegré à deux inconnues

® ax + by + c = 0

a ^′ x + b ^′ y + c ^′ = 0 où a, b, c, a ^′ , b ^′ et c ^′ sont des constantes, si ce couple vérifie les deux équations.

Résoudre un système revient à chercher les coordonnées du

point d’intersection des droites dont les équations sont celles

du système, quand il existe.

(24)

nues

On dit qu’un couple (x ; y) vérifie le système de deux équations linéaires du 1erdegré à deux inconnues

® ax + by + c = 0

a ^′ x + b ^′ y + c ^′ = 0 où a, b, c, a ^′ , b ^′ et c ^′ sont des constantes, si ce couple vérifie les deux équations.

Résoudre un système revient à chercher les coordonnées du point d’intersection des droites dont les équations sont celles du système, quand il existe.

si elles sont sécantes le système admet un seul couple

solution ;

(25)

Définition

Définition : système linéaire de deux équations à deux incon- nues

On dit qu’un couple (x ; y) vérifie le système de deux équations linéaires du 1erdegré à deux inconnues

® ax + by + c = 0

a ^′ x + b ^′ y + c ^′ = 0 où a, b, c, a ^′ , b ^′ et c ^′ sont des constantes, si ce couple vérifie les deux équations.

Résoudre un système revient à chercher les coordonnées du point d’intersection des droites dont les équations sont celles du système, quand il existe.

si elles sont sécantes le système admet un seul couple solution ;

si elles sont strictement parallèles le système n’admet

aucune solution ;

(26)

nues

On dit qu’un couple (x ; y) vérifie le système de deux équations linéaires du 1erdegré à deux inconnues

® ax + by + c = 0

a ^′ x + b ^′ y + c ^′ = 0 où a, b, c, a ^′ , b ^′ et c ^′ sont des constantes, si ce couple vérifie les deux équations.

Résoudre un système revient à chercher les coordonnées du point d’intersection des droites dont les équations sont celles du système, quand il existe.

si elles sont sécantes le système admet un seul couple solution ;

si elles sont strictement parallèles le système n’admet aucune solution ;

si elles sont confondues le système a un nombre infini

de solutions.

(27)

Exemples

Exemple

Les droites d et d

^′

sont-elles parallèles ?

d : y = 3x + 5 d

^′

: − 6x + 2y + 7 = 0

Vidéo

(28)

Exemple

Les droites d et d

^′

sont-elles parallèles ?

d : y = 3x + 5 d

^′

: − 6x + 2y + 7 = 0

Vidéo

Exemples

Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : d

1

: y = 3x − 5 et d

2

: y = 3x + 4

d

3

: y = − 5x + 1 et d

4

: y = 5x + 4 d

5

: y = 2x − 1 et d

6

: y = 2

d

7

: x = 4 et d

8

: x = − 3

Vidéo

(29)

Méthode par substitution

Règle : résolution d’un système par substitution

Cette méthode consiste à isoler à partir d’une équation une inconnue et à la remplacer dans l’autre équation afin d’obte- nir une nouvelle équation avec une seule inconnue.

On résout alors cette nouvelle équation puis on remplace

l’inconnue trouvée dans la première équation afin de trouver

la seconde inconnue.

(30)

Règle : résolution d’un système par combinaison

Cette méthode consiste à multiplier les deux équations par des nombres de telle manière qu’en additionnant les équa- tions membre à membre, une inconnue s’élimine. Ainsi, il n’y a plus qu’à résoudre une équation à une seule inconnue.