Chapitre 10
Droites et systèmes
Les savoir-faire
100. Représenter une droite.
101. Déterminer graphiquement des informations sur une droite.
102. Déterminer une équation de droite par le calcul.
103. Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes.
104. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
I. Vecteur directeur d’une droite
1. Définition
Soient A et B deux points distincts d’une droite d alors tout vecteur ~u colinéaire au vecteur −−→
AB est
appelé vecteur directeur de la droite d. ~u
A×
B×
Définition : vecteur directeur d’une droite
Conséquences :
— La donnée d’un point A et d’un vecteur~unon nul définit une droitedunique.
— SiAet B sont deux points distincts ded, alors−−→
ABest un vecteur directeur ded.
— Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs.
— Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires.
Exemples :
Déterminer les vecteurs directeurs des droitesd1,d2 etd3.Vidéo
−
→i
−
→j
0
d
1d
2d
3II. Equation cartésienne d’une droite
Dans un repère du plan, toute droite dadmet une équation de la forme : ax+by+c= 0 avec(a; b)6= (0 ; 0) Cette équation est appelée équation cartésienne de la droited.
Cette droite a pour vecteur directeur~u −b
a
Définition : équation cartésienne d’une droite
Exemple :
On considère un repère (O ;~i ; ~j) du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant par le pointA(3 ; 1) et de vecteur directeur~u(−1 ; 5). Vidéo
Exemple :
Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant parA(3 ; 1) et de vecteur directeur~u(5 ; 3). Vidéo Exemple :
Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant parA(5 ; 3) etB(1 ; −3). Vidéo Exemple :
Tracer la droitedd’équation cartésienne : 3x+ 2y−5 = 0 Vidéo
III. Equation réduite d’une droite
1. Droites non parallèles à l’axe des ordonnées
L’équation réduite d’une droiteD non parallèle à l’axe des ordonnées est de la forme : y=mx+p.
Définition : équation réduite d’une droite
• mest le coefficient directeur deD.
• Pour tous pointsAet B distincts du plan, m= yB−yA
xB−xA
•Le vecteur 1
m
est un vecteur directeur de cette droite.
• pest l’ordonnée à l’origine deD.
0
A
B
1
1 xA xB yA
yB
D
3
xB−xA
= 2
yB−yA
= 4
D est la droite d’équation
y= 2x+ 3.
2. Droites parallèles à l’axe des ordonnées
On considère une droite D parallèle à l’axe des ordonnées etc l’abscisse d’un point deD. On dit quex=cest une équation de la droiteD.
On note : D : x=c.
Définition : équation réduite d’une droite
0
1 1
D
c
Exemple :
On donne les pointsA(4 ; −1) etB(3 ; 5) appartenant à une droited. Déterminer une équation ded. Vidéo Exemple :
Tracer les droites suivantes :
d1 : y= 2x+ 3 d2 : y= 4 d3 : x= 3 Vidéo
IV. Positions relatives de deux droites
1. Positions relatives de deux droites
Deux droites du plan peuvent être soit sécantes, soit parallèles ou soit confondues.
t Règle : droites parallèles, droites sécantes et droites confondues
2. Droites parallèles
— Sid:y=mx+petd′ :y=m′x+p′, on a : d // d′⇐⇒m=m′. detd′ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
— Sid:ax+by+c= 0 etd′ :a′x+b′y+c′= 0, on a : d // d′ ⇐⇒ab′−ba′ = 0.
detd′ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Propriété : droites parallèles
Droites parallèles m=m′
ou ab′−ba′= 0
0
d : y= mx+ d′ p
: y= m′
x+p′ J
I
3. Droites sécantes
det d′ sont sécantes ⇐⇒m6=m′. det d′ sont sécantes ⇐⇒ab′−ba′ 6= 0.
Propriété : droites sécantes
Droites sécantes : m6=m′
ou ab′−ba′6= 0
0 y=
mx+ p
y=m
′x+p′ J
I
A
xA yA
V. Système de deux équations à deux inconnues
Définition : système linéaire de deux équations à deux inconnues Définition
On dit qu’un couple (x ; y) vérifie le système de deux équations linéaires du 1erdegré à deux inconnues (ax+by+c= 0
a′x+b′y+c′ = 0 oùa,b,c,a′,b′ et c′ sont des constantes, si ce couple vérifie les deux équations.
Résoudre un système revient à chercher les coordonnées du point d’intersection des droites dont les équations sont celles du système, quand il existe.
— si elles sont sécantes le système admet un seul couple solution ;
— si elles sont strictement parallèles le système n’admet aucune solution ;
— si elles sont confondues le système a un nombre infini de solutions.
Exemple :
Les droitesdetd′ sont-elles parallèles ?
d : y= 3x+ 5 d′ : −6x+ 2y+ 7 = 0
Vidéo Exemples :
Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : d1 : y= 3x−5 etd2 : y= 3x+ 4 d3 : y=−5x+ 1 etd4 : y= 5x+ 4
d5 : y= 2x−1 etd6 : y= 2 d7 : x= 4 etd8 : x=−3
Vidéo
1. Méthode par substitution
Cette méthode consiste à isoler à partir d’une équation une inconnue et à la remplacer dans l’autre équation Règle : résolution d’un système par substitution
2. Méthode par combinaison
Cette méthode consiste à multiplier les deux équations par des nombres de telle manière qu’en additionnant les équations membre à membre, une inconnue s’élimine. Ainsi, il n’y a plus qu’à résoudre une équation à une seule inconnue. Pour trouver la deuxième inconnue, on procède comme pour la méthode précédente.
Règle : résolution d’un système par combinaison
Exemples :
1. Résoudre le système suivant par substitution :
(3x+ 2y= 0
x−4y= 14 Vidéo 2. Résoudre le système suivant par combinaison :
(3x+ 2y= 11
4x−5y=−16 Vidéo
