DS n
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mercredi 30 janvier 2019 dur´ ee 4h, sans calculatrice
Dans tout ce probl`eme, on note :
- F(R+,R) l’ensemble des applications deR+ dansR;
- E l’ensemble des fonctions f : R+ −→ R, continues, telles que, pour tout x > 0 r´eel, la fonction t7−→f(t)e−xt soit int´egrable sur R+;
- F l’ensemble des fonctions continues et born´ees surR+.
Pour tout f dans E, on appelle transform´ee de Laplace de f et on note L(f) la fonction d´efinie pour tout x >0 r´eel par : L(f)(x) =R+∞
0 f(t)e−xtdt.
1. Question pr´eliminaire
Soient a∈R etf : [a,+∞[−→Rune fonction continue par morceaux.
Pour toutx dans [a,+∞[, on pose :F(x) = Z x
a
f(t)dt.
On consid`ere les propositions suivantes : (i) f est int´egrable sur [a,+∞[ ;
(ii)F admet une limite finie en +∞.
Donner, sans d´emonstration, toutes les implications possibles entre (i) et (ii) lorsque : (a) f est positive sur [a,+∞[ ;
(b) f n’est pas positive sur [a,+∞[.
Partie I : Exemples et propri´et´es 2. (a) D´emontrer queE est un sous-espace vectoriel deF(R+,R).
(b) D´emontrer queF est un sous-espace vectoriel deE.
(c) Justifier que Lest une application lin´eaire deE dansF(R+∗,R), espace vectoriel des applications de ]0,+∞[ dans R.
3. (a) On consid`ere U :R+−→Rd´efinie parU(t) = 1. D´eterminer L(U).
(b) Soit λ>0 r´eel. On consid`erehλ : [0,+∞[−→Rd´efinie pour tout t>0 r´eel par :hλ(t) =e−λt. D´emontrer quehλ est dans E et d´eterminerL(hλ).
4. Soient f dansE etndansN. On consid`eregn:t7−→tnf(t) de [0,+∞[ dansR. Pour x >0, justifier l’existence de A >0 tel quetne−xt6e−xt2 pour toutt>A.
En d´eduire que gn est un ´el´ement de E.
5. Transform´ee de Laplace d’une d´eriv´ee
Soit f dansE de classeC1, croissante et born´ee sur [0,+∞[. D´emontrer que f0 est encore dansE et que l’on a :∀x∈]0,+∞[,L(f0)(x) =xL(f)(x)−f(0). (on pourra commencer par int´egrer par parties Z A
0
f0(t)e−xtdt pour A >0)
6. R´egularit´e d’une transform´ee de Laplace
(a) D´emontrer que, pour toutf dansE, la fonctionL(f) est de classeC1 sur ]0,+∞[ et que l’on a : L(f)0 =−L(g1) o`ug1 est d´efinie `a la question 4.
(b) D´emontrer que, pour toutf dansE, la fonctionL(f) est de classe C∞ sur ]0,+∞[ et pourx >0 et n∈N, d´eterminer L(f)(n)(x) `a l’aide d’une transform´ee de Laplace.
Partie II : Comportements asymptotiques de la transform´ee de Laplace Dans toute cette partie, f est un ´el´ement de E
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7. On suppose dans cette question que f est dans F. (a) D´eterminer la limite en +∞ deL(f).
(b) Th´eor`eme de la valeur initiale
On suppose, de plus, quef est de classeC1et croissante surR+, avecf0 born´ee surR+. D´emontrer que lim
x→+∞xL(f)(x) =f(0) (on pourra utiliser la question 5.) 8. Th´eor`eme de la valeur finale
On suppose dans cette question que lim
t→+∞f(t) =l o`u l est un r´eel. Soit (an)n∈N une suite de r´eels strictement positifs qui converge vers 0.
(a) D´emontrer quef appartient `a F.
(b) Soitnun entier naturel. D´emontrer queanL(f)(an) = Z +∞
0
hn(x)dxo`uhnest la fonction d´efinie sur [0,+∞[ par :hn(x) =e−xf
x an
.
(c) En d´eduire, `a l’aide du th´eor`eme de convergence domin’ee, que : lim
n→+∞anL(f)(an) =l.
(d) Lorsque l6= 0, d´eterminer un ´equivalent deL(f)(x) en 0.
9. Dans cette question, on suppose que f est int´egrable surR+ et on pose : R(x) = Z +∞
x
f(t)dt pour tout xdans [0,+∞[.
(a) D´emontrer queR est une fonction de classeC1 sur [0,+∞[ et d´eterminer R0. En d´eduire que, pour tout x >0 r´eel, on a :L(f)(x) =R(0)−xL(R)(x).
(b) On fixe ε >0.
Justifier de l’existence de A r´eel positif tel que pour tout t>A, on ait :|R(t)|6ε.
En d´eduire que, pour tout x >0, on a :|L(f)(x)−R(0)|6xRA
0 |R(t)|dt+ε.
(c) D´emontrer queL(f) se prolonge par continuit´e en 0 (on pr´ecisera la valeur en 0 de ce prolonge- ment).
Partie III : Application 10. Calcul de l’int´egrale de Dirichlet
Ici, f est la fonction d´efinie par : f(0) = 1 etf(t) = sin(t)
t pour t >0 r´eel.
(a) D´emontrer que la fonction F : R+ −→ R d´efinie par F(x) = Z x
0
f(t)dt admet une limite finie r´eellel en +∞.
(b) En consid´erant la s´erieX
n>0
uno`uun=
Z (n+1)π
nπ
|f(t)|dt, d´emontrer quef n’est pas int´egrable sur R+.
(c) Soit x >0. D´emontrer, en d´etaillant les calculs, que, pour toutX >0, on a : Z X
0
sin(t) e−xt dt=− 1
1 +x2 e−xX(xsin(X) + cos(X))−1 .
D´emontrer que la fonctiont7−→sin(t) e−xt est int´egrable surR+. D´eterminer alors
Z +∞
0
sin(t) e−xtdt.
(d) D´eterminer, pourx >0, une expression simple de L(f)(x) et en d´eduirel.
Pour cela, on pourra utiliser le r´esultat suivant (la d´emarche de la preuve ´etant identique `a celle de la question 9) : lorsque f dansE v´erifie : lim
x→+∞
Z x 0
f(t)dt=l∈R, alors lim
x→0L(f)(x) =l.
On notera que, par rapport `a la question9, on a remplac´e l’hypoth`ese ’f int´egrable sur R+’ par l’hypoth`ese ’ lim
x→+∞
Z x 0
f(t)dt=l∈R’.
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