Mercredi 11 mars 2020 Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

L3 et Magist` ere de physique fondamentale & ENS-PSay Universit´ e Paris-Saclay Examen partiel de Physique statistique

Mercredi 11 mars 2020 Dur´ ee de l’´ epreuve : 2h.

L’utilisation de documents, calculatrices, t´ el´ ephones portables,. . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

Pensez aux informations en annexe.

1 Questions de cours : contact thermique et fluctuations (∼ 40mn) A. Gaz parfait monoatomique classique : on consid` ere un gaz parfait de N atomes non

relativistes de masse m dans un volume V .

1/ Rappeler la formule semiclassique permettant de calculer le nombre Φ(E) de micro´ etats d’´ energies inf´ erieures ` a E (les atomes sont indiscernables).

2/ Justifier que Φ(E) ∝ E

o` u f est un nombre d’ordre 1 dont on donnera la valeur, en la justifiant (le calcul pr´ ecis de Φ(E ) n’est ni exig´ e ni n´ ecessaire).

3/ Donner les d´ efinitions de l’entropie S

(E) et de la temp´ erature T

(E) microcanoniques.

4/ Quelle est la relation entre S

(E) et Φ(E) ? Justifier. D´ eduire l’expression de T

(E) pour le gaz parfait (dans la limite N 1).

5/ Donner l’expression de la capacit´ e calorifique du gaz, C

=

∂T

/∂E

.

B. Contact thermique entre deux gaz parfaits : on consid` ere deux gaz parfaits de N

et N

atomes de masses m

et m

, occupant deux enceintes contig¨ ues de volumes V

et V

. Au moment o` u les deux gaz sont mis en contact, ils ont initialement des ´ energies E

et E

. Ils sont s´ epar´ es par une paroi diatherme (permettant des transferts d’´ energie) et un ´ equilibre finit par s’´ etablir.

1/ Donner les expressions des temp´ eratures microcanoniques des deux gaz, que nous note- rons plus simplement T

(E

) et T

(E

) (utiliser la partie A.).

2/ Quelle est la condition d’´ equilibre thermique ?

3/ Exprimer la valeur la plus probable de l’´ energie E

en fonction de E

et E

. 4/ Exprimer la temp´ erature finale T

en fonction de T

≡ T

(E

) et T

≡ T

(E

).

5/ On rappelle que la variance de l’´ energie est donn´ ee par var(E

) = k

T

1 C

+ 1

C

(1) o` u C

et C

sont les capacit´ es calorifiques des deux syst` emes. Donner l’expression de var(E

) en fonction de T

, N

, N

et k

.

6/ L’ensemble microcanonique donne une relation bijective entre ´ energie et temp´ erature.

T

= T

(E

). D´ eduire l’expression de la variance de la temp´ erature microcanonique du

gaz n

1, var(T

). Discuter les fluctuations relatives de la temp´ erature microcanonique.

2 Refroidissement magn´ etique ^{(∼ 1h20mn)}

Les r´ efrig´ erateurs domestiques utilisent un fluide qui subit des cycles de compression/d´ ecompression permettant d’extraire de la chaleur d’une source froide pour en r´ einjecter dans une source chaude (l’environnement). Dans le probl` eme, nous montrons qu’un cycle d’aimantation/d´ esaimantation d’un syst` eme magn´ etique permet ´ egalement la conversion d’´ energie magn´ etique en chaleur.

Nous consid´ erons un mod` ele simple de cristal paramagn´ etique : N spins 1/2 sur un r´ eseau, soumis ` a un champ magn´ etique B . Chaque spin peut occuper deux ´ etats | + i ou | − i d’´ energies ε

= ∓m

B , o` u m

> 0 est l’aimantation du spin dans l’´ etat |+ i. Les interactions entre spins sont suppos´ ees n´ egligeables.

1/ Question de cours : Rappeler la d´ efinition (g´ en´ erale) de la fonction de partition canonique puis de l’´ energie libre F . On introduira β = 1/(k

T ) o` u T est la temp´ erature du thermostat ; 2/ Calculer la fonction de partition pour un spin, z

. Et d´ eduire la fonction de partition du

cristal paramagn´ etique de N spins Z

.

3/ Equation d’´ ´ etat.– Chaque spin peut avoir deux aimantations (+m

dans l’´ etat | + i ou

−m

dans l’´ etat | − i). Comment d´ eduire l’aimantation moyenne M

de l’´ energie libre F ? Calculer l’aimantation moyenne par spin, m

=

M

. Cette ´ equation m = m(B, T ) joue le rˆ ole de l’´ equation d’´ etat. Tracer deux isothermes pour des temp´ eratures T

et T

< T

dans le plan (m, B).

4/ Question de cours : A partir de la formule de Gibbs-Shannon, montrer que l’entropie canonique ` est S

= (E

− F)/T .

5/ D´ eduire que l’entropie par spin S =

S

est seulement fonction de x = βm

B. Donner son expression.

6/ Transformation isotherme :

a) Travail.– Calculer le

travail

(pour un spin) lors d’une transformation r´ eversible le long de l’isotherme T , pour aller de l’´ etat (B = 0, m = 0) jusqu’` a un ´ etat (B, m) :

W

(0 → B) = − Z

0

m(B

, T ) dB

. (2) b) Chaleur.– Montrer que la chaleur re¸ cue (par spin) le long de la transformation isotherme

est donn´ ee par

Q

(0 → B) = −k

T Φ m

B

k

T

o` u Φ(x)

= x th x − ln(ch x) (3) Etudier les comportements limites de Φ(x) et tracer la ´ tr` es soigneusement.

Suggestion : on pourra utiliser ∆ε = Q+W et que l’´ energie d’un spin est ε = −mB (c’est l’´ energie moyenne canonique, ε = E

/N).

7/ Transformation isentropique.– Aucune chaleur n’est ´ echang´ ee avec l’ext´ erieur.

a) Justifier qu’une transformation isentropique correspond ` a B/T = cste. Repr´ esenter une isentrope dans le plan (m, B).

b) Montrer que le travail de la transformation isentropique allant de B

` a B

est donn´ e par W

(B

→ B

) = k

T

x

th x

−k

T

x

th x

avec x

= m

B

k

T

et x

= m

B

k

T

.

8/ Cycle de Carnot.— Nous ´ etudions maintenant le cycle :

• Transformation isotherme ` a T

allant de B = 0 ` a B = B

.

• Transformation isentropique allant de B = B

` a B = B

< B

.

• Transformation isotherme ` a T

< T

allant de B = B

` a B = 0.

a) Repr´ esenter le cycle dans le diagramme (m, B).

b) Donner l’expression du travail re¸ cu par le syst` eme pendant le cycle W = −

I

dB m = W

(0 → B

) + W

(B

→ B

) + W

(B

→ 0) (4) c) Exprimer la chaleur Q

> 0 re¸ cue par le syst` eme depuis la source froide.

d) D´ eduire l’expression de l’efficacit´ e du cycle η

= Q

/W en fonction de T

et T

.

Annexe

• Formule de Stirling : ln N ! ' N ln N − N pour N 1.

• Identit´ e fondamentale de la thermodynamique : dE = T dS − p dV + µ dN − M dB + · · · .

Christophe Texier 11 mars 2020 Examen partiel de physique statistique du 11 mars 2020 — Solutions

1 Questions de cours : contact thermique et fluctuations

A. Gaz parfait monoatomique classique :

1&2/ La formule semiclassique pour la densit´ e d’´ etats int´ egr´ ee Φ(E) = 1

N ! Z

V

d

~ r

· · · Z

V

d

~ r

Z

d

~ p

· · · Z

d

~ p

θ

E −

N

X

i=1

~ p

2m

!

(5) montre que celle-ci est proportionnelle au volume de la sph` ere de rayon √

2mE dans l’espace de dimension 3N des impulsions. On a donc Φ(E) ∝ E

.

3/ L’entropie microcanonique est S

(E) = k

ln Ω(E) o` u Ω(E) = Φ

(E) δE est le nombre d’´ etats accessibles, i.e. ∈ [E, E + δE]. Et 1/T

= ∂S

/∂E.

4/ En utilisant Φ

(E) = (3N/2E)Φ(E), on voit que S

(E) ' k

ln Φ(E) ` a des termes logarithmiques O(ln N ) pr` es, n´ egligeables (S

est O(N )).

On a donc S

(E) =

ln E + · · · d’o` u T

(E) = 2E/(3N k

).

5/ On d´ eduit la capacit´ e calorifique C

=

∂T

/∂E

= 3N k

2 . (6)

B. Contact thermique entre deux gaz parfaits : 1/ T

(E

) = 2E

/(3N

k

) et T

(E

) = 2E

/(3N

k

).

2/ La condition d’´ equilibre thermique est T

(E

) = T

(E

− E

) o` u E

= E

+ E

3/ La solution de cette ´ equation (lin´ eaire) correspond ` a la valeur la plus probable de l’´ energie

du gaz num´ ero 1, not´ ee E

. On trouve E

=

1+N2

E

. 4/ La temp´ erature finale est T

= T

(E

) =

1+N2)kB

. Ou encore T

= N

T

+ N

T

N

+ N

. (7)

5/ La variance de l’´ energie est

var(E

) = 3

2 k

T

N

N

N

+ N

(8)

6/ T

= T

(E

) est une bijection entre ´ energie et temp´ erature. On peut ainsi obtenir une expression pour les fluctuations de la temp´ erature :

var(T

) = 2N

3N

(N

+ N

) T

(9)

Les fluctuations relatives sont donc p var(T

)

T

= s

2N

3N

(N

+ N

) (10)

en g´ en´ eral, on a donc δT

/T

∼ 1/ √

N

si N

∼ N

ou N

N

. Dans ce dernier cas (le gaz 2 joue le rˆ ole de thermostat) δT

/T

' p

2/(3N

).

2 Refroidissement magn´ etique

Un cristal paramagn´ etique joue le rˆ ole de machine thermique.

1/ Question de cours : Z = P

`

e

o` u la somme porte sur les micro´ etats. F = −

ln Z . 2/ Fonction de partition pour un spin : z

= e

+ e

= 2 ch(βm

B).

Les N spins sont identiques, ind´ ependants (sans interaction) et attach´ es aux sites du r´ eseau discernables, donc Z

=

h

2 ch(βm

B) i

.

3/ Equation d’´ ´ etat.– L’aimantation est la variable conjugu´ ee du champ magn´ etique, d’o` u M

= −

.

L’aimantation moyenne par spin est m(T, B) = 1

N M

= − 1 N

∂F

∂B = 1 β

∂

∂B ln z

= m

th (βm

B) (11) m(T, B) = m

th

est l’´ equation d’´ etat (comme p(T, n) = nk

T pour un gaz parfait).

Les isothermes sont trac´ ees plus bas...

4/ S

= −k

P

`

P

ln P

o` u P

=

e

. On trouve S

= k

ln Z + βE

= (E

− F )/T . 5/ Application : dans le cristal, l’entropie par spin est

S(T, B) = k

[−x th x + ln (2 ch x)] o` u x = m

B

k

T (12)

6/ Transformation isotherme :

a) Travail re¸ cu le long de l’isotherme T pour aller de B = 0 ` a B : W

(0 → B) = −m

Z

0

dB

th βm

B

= −k

T ln ch m

B

k

T

(13) b) Chaleur re¸cue (par spin) : Q

(0 → B ) = ∆ε − W

(0 → B) o` u ∆ε = −mB − 0 =

−k

T x th x, d’o` u

Q

(0 → B) = −k

T Φ(x) o` u Φ(x)

= x th x − ln(ch x) (14) On peut aussi utiliser Q = T ∆S avec l’expression de l’entropie S = k

ln 2 − Φ(x) trouv´ ee plus haut.

Les comportements limites de la fonction sont Φ(x) ' x

/2 pour |x| 1 et Φ(x) ' ln 2 − O(|x| e

) pour |x| 1 (elle est paire et positive).

7/ Transformation isentropique.– Aucune chaleur n’est ´ echang´ ee avec l’ext´ erieur.

a) L’entropie est S(T, B) = fct(B/T ). Une transformation ` a S = cste correspond ` a B/T = cste. Elle correspond donc aussi ` a m(T, B) = cste (cf. figure plus bas).

b) Le travail re¸ cu lors de la transformation isentropique allant de B

` a B

est W

(B

→ B

) = −m (B

− B

)

o` u m = m(T

, B

) = m(T

, B

) (sur l’isentrope). En utilisant l’expression de m(T, B), on d´ eduit

W

(B

→ B

) = k

T

x

th x

−k

T

x

th x

avec x

= m

B

k

T

et x

= m

B

k

T

.

(15)

8/ Cycle de Carnot.— Nous ´ etudions maintenant le cycle : a) Cycle dans le diagramme (m, B) :

b) Le travail re¸ cu par le syst` eme pendant le cycle est

W = − I

dB m =

W^(T1)(0→B₁)

z }| {

−k

T

ln ch (x

) +

W(isentrope)(B1→B₂)

z }| {

k

T

x

th x

− k

T

x

th x

+

W^(T2)(B2→0)=−W^(T2)(0→B₂)

z }| { k

T

ln ch (x

)

= k

T

Φ(x

) − k

T

Φ(x

) . (16)

c) Le syst` eme re¸ coit Q

= k

T

Φ(x

) > 0 depuis la source froide (il prend de l’´ energie ` a la source froide, donc il la refroidit ).

d) L’efficacit´ e du cycle est d´ efinie par ce qui est utile divis´ e par le coˆ ut : η

= Q

W = T

T

− T

= T

T

− T

. (17)

On a retrouv´ e l’expression bien connue.