A.P.M
CAPES épreuve 1 session 2014
Problème 1 : sommes de Riemann
Dans ce problème, on suppose introduite à l’aide des fonctions en escalier la notion d’intégrale au sens de Riemann d’une fonction.
Partie A : convergence des sommes de Riemann
Soientaetbdeux réels tels quea<betf une fonction continue sur [a;b].
Pour toutn∈N∗, pour toutk∈J0 ;nK, on pose :xk=a+kb−a
n et on considère les sommes de Riemann :
Sn(f)=1 n
n−1
X
k=0
f (xk) et Rn(f)= 1 n
n
X
k=1
f(xk) Dans un premier temps, on se propose de démontrer que les suites¡
Sn(f)¢
n∈N∗et
¡Rn(f)¢
n∈N∗sont convergentes et de même limite 1 b−a
Zb
a f(t) dt.
Dans un deuxième temps, on cherche à obtenir une majoration de
¯
¯
¯
¯ Zb
a f(t) dt−(b−a)Sn(f)
¯
¯
¯
¯, pour toutn∈N∗.
1. Démontrer que :
∀ǫ>0,∃η>0,∀(x,y)∈[a,b]2, |x−y|6η⇒ |f(x)−f(y)|6 ǫ b−a. 2. Soitǫun réel strictement positif.
a. Démontrer qu’il existeN∈Ntel que :
∀n>N,∀k∈J0,n−1K,∀t∈[xk;xk+1], ¯
¯f(t)−f(xk)¯
¯6 ǫ b−a. b. En déduire que :
∀n>N,∀k∈J0,n−1K,
¯
¯
¯
¯ Zxk+1
xk
¡f(t)−f(xk)¢ dt
¯
¯
¯
¯ 6ǫ
n, puis que :
∀n>N,
¯
¯
¯
¯ Zb
a f(t) dt−(b−a)Sn(f)
¯
¯
¯
¯ 6ǫ.
3. En déduire que¡ Sn(f)¢
n∈N∗, puis¡ Rn(f)¢
n∈N∗, convergent vers 1 b−a
Zb a f(t)dt.
4. Application
Soit (un)n∈N∗la suite définie par :∀n∈N∗, un= X2n j=n+1
1 j. Démontrer que la suite (un)n∈N∗converge vers ln2.
5. Dans cette question, on suppose que la fonctionf est de classeC1sur [a;b].
a. Démontrer qu’il existe un réelMtel que :∀t∈[a;b],¯
¯f′(t)¯
¯6M.
b. En déduire que :
∀n∈N∗,∀k∈J0,n−1K,∀t∈[xk;xk+1] , ¯
¯f(t)−f(xk)¯
¯6M(t−xk).
c. Démontrer que :
∀n∈N∗,∀k∈J0,n−1K,
¯
¯
¯
¯ Zxk+1
xk
¡f(t)−f(xk)¢ dt
¯
¯
¯
¯
6M(b−a)
2
2n2 puis que :
∀n∈N∗,
¯
¯
¯
¯ Zb
a f(t) dt−(b−a)Sn(f)
¯
¯
¯
¯
6M(b−a)
2
2n .
6. Application : calcul d’une valeur approchée de Z1
0 e−x2dx par la méthode des rectangles.
Soitf la fonction définie par :∀x∈R,f(x)=e−x2. a. Déterminer un réelMtel que∀x∈[0 ; 1],¯
¯f′(x)¯
¯6M.
b. Soitǫ∈R∗+. En utilisant les résultats obtenus dans la question 5, écrire un algorithme qui calcule une valeur approchée àǫprès de
Z1
0 e−x2dx.
Donner une valeur approchée à 10−3près de Z1
0 e−x2dx.
Partie B : application à l’étude de suites
Soitf une fonction définie sur ]0 ; 1], continue et décroissante sur ]0 ; 1].
On considère la suite (rn)n∈N∗définie par :
∀n∈N∗,rn=1 n
Xn k=1
f µk
n
¶
et la fonctionIdéfinie sur ]0 ; 1] par :∀x∈]0 ; 1],I(x)= Z1
x f(t) dt.
1. Démontrer que pour tout entiern>2 et pour toutk∈J1,n−1K, on a : 1
nf µk+1
n
¶ 6
Zk+1n
k n
f(t) dt6f µk
n
¶
2. En additionnant les inégalités précédentes, démontrer que pour tout entier n>2, on a :
I µ1
n
¶ +1
nf(1)6rn6I µ1
n
¶ +1
nf µk
n
¶ . 3. On suppose, de plus, que lim
x→0I(x)=ℓ(ℓ∈R) et lim
x→0x f(x)=0.
Démontrer que la suite (rn)n∈N∗converge et préciser sa limite.
4. Dans cette question, on posef(x)=x2−1 4 −1
2lnx, pour tout réelx∈]0 ; 1].
a. Démontrer que pour toutn∈N∗,rn=(n+1)(2n+1) 24n2 −1
4− 1 2nln
µn!
nn
¶ . On rappelle que la somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n+1)(2n+1)
6 .
b. En utilisant les questions précédentes, démontrer que la suite Ã(n!)1n
n
!
n∈N∗
converge et déterminer sa limite.
On rappelle que la fonction x7−→xlnx−xest une primitive de la fonction ln surR∗+.
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Partie C : une suite d’intégrales
1. Démontrer que pour toutn∈N∗et toutk∈J0,n−1K, on a : Z(k+1)πn
kπ n
|sin(nx)|dx=2 n. 2. Soitf une fonction continue et croissante sur [0 ;π].
a. Démontrer que pour toutn∈N∗et toutk∈J0,n−1K, on a : 2
nf µkπ
n
¶ 6
Z(k+1)πn
kπn
f(x)|sin(nx)|dx62 nf
µ(k+1)π n
¶ .
b. En déduire un encadrement de Zπ
0 f(x)|sin(nx)|dx.
c. Déterminer lim
n→+∞
Zπ
0 f(x)|sin(nx)|dx.
d. Obtiendrait-on le même résultat pour une fonctionf continue et décrois- sante sur [0 ;π] ?
Partie D : une application aux probabilités
1. Pour tout couple d’entiers naturels (k,m), on poseIk,m= Z1
0 xk(1−x)mdx.
a. Démontrer que :∀k∈N∗,∀m∈N, Ik,m= k
m+1Ik−1,m+1.
b. Pour tout couple d’entiers naturels (k,m), déterminerI0,k+met en dé- duire une expression deIk,men fonction des entiersketm.
2. Soientn∈N∗,p∈[0 ; 1].
Une urne contient des boules rouges et des boules blanches. La proportion de boules rouges dans cette urne estp. On réalise dans cette urnentirages indépendants d’une boule avec remise. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité deX, puis donner l’espérance deX. 3. Soientn∈N∗etN∈N∗.
On dispose deNurnesU1,...,UN contenant des boules rouges et des boules blanches et telles que, pour tout j∈J1,NK, la proportion de boules rouges dansUjest j
N.
On choisit une urne au hasard et on effectue dans cette urnentirages indé- pendants d’une boule avec remise. On noteXN la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
a. Pour tout entier naturelk, on notepN(k) la probabilité queXN prenne la valeurk.
Démontrer que :pN(k)= 1 N
N
X
j=1
Ãn k
!Ãj N
!kµ 1− j
N
¶n−k
.
b. Calculer l’espérance deXN. Quelle est la limite de cette espérance quand Ntend vers+∞?
c. En utilisant le résultat obtenu dans la première question, déterminer
N→+∞lim pN(k).
Que peut-on en déduire pour la suite de variables aléatoires (XN)N∈N∗?
Problème 2 : fonction exponentielle, évolution d’une population
On établit dans la partie A l’existence d’une unique solution de l’équation différen- tielley′=y vérifianty(0)=1 et on étudie dans la partie B un exemple d’équation différentielle.
Dans la partie A, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes sont sup- posées ne pas être connues.
Partie A : la fonction exponentielle
On s’intéresse dans cette partie à l’équation différentielle (E) : y′=y, avec la condi- tiony(0)=1.
1. Dans cette question, on suppose qu’il existe une fonctionf dérivable, solu- tion de (E) surRtelle quef(0)=1.
a. Démontrer que :∀x∈R, f(x)×f(−x)=1.
b. En déduire quef ne s’annule pas surR.
c. Démontrer que sigest une fonction dérivable solution de (E) surRtelle queg(0)=1, alorsg=f.
On pourra considérer la fonctionϕdéfinie surRpar ϕ(x)=g(x) f(x). d. Démontrer que :∀(a,b)∈R2, f(a+b)=f(a)×f(b).
On pourra fixer un réelaet considérer la fonctionψdéfinie surRpar ψ(x)= f(a+x)
f(a) .
e. Déduire des résultats précédents quef est strictement positive surR.
2. On va dans cette question établir l’existence d’une fonctionf définie et déri- vable surR, solution de (E) telle quef(0)=1.
Soitx∈R. On pose, pour tout entiern> |x|: un(x)=
³1+x n
´n
et vn(x)= 1 un(−x).
On va montrer que les suites (un(x))n>|x|et (vn(x))n>|x|sont adjacentes.
a. Justifier que les suites (un(x)) et (vn(x)) sont bien définies pourn> |x|. b. Établir par récurrence l’inégalité de Bernoulli :
∀a∈]−1 ;+∞[, ∀n∈N∗, (1+a)n>1+na.
c. Soitnun entier tel quen> |x|.
i. Démontrer que :un+1(x)=un(x)×
³1+x n
´
×
µ1+n+1x 1+nx
¶n+1 . ii. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que :
µ1+n+1x 1+xn
¶n+1
> 1 1+nx.
iii. En déduire que la suite (un(x)) est croissante.
d. Démontrer que la suite (vn(x)) est décroissante.
e. Soitnun entier tel quen> |x|.
i. Démontrer que :vn(x)−un(x)=vn(x)³ 1−
³1−x2
n2
´n´ . ii. En déduire que :vn(x)−un(x)>0.
iii. En utilisant l’inégalité de Bernoulli, démontrer que : vn(x)−un(x)6vn(x)×x2
n .
f. Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la limite de la suite (vn(x)−un(x))n>|x|. Conclure.
g. On désigne par f la fonction qui à tout réelxassocie f(x), limite com- mune des suites (un(x)) et (vn(x)). On va démontrer que la fonctionf est solution de l’équation différentielle (E) et vérifief(0)=1.
i. Démontrer que :f(0)=1.
Dans les deux questions suivantes, on considère un réelx0. ii. On admet que :∀(a,k)∈R2, f(a+k)−f(a)>k f(a).
En utilisant cette relation, établir que :
∀h∈]−1 ; 1[,h f(x0)6f(x0+h)−f(x0)6 h
1−hf(x0).
iii. En déduire quef est dérivable enx0de dérivéef(x0). Conclure.
Partie B : évolution d’une population
Pour étudier l’évolution d’une population de poissons au cours du temps, on utilise le modèle suivant.
On admet que la fonctionN, représentant le nombre de poissons en fonction du tempst(exprimé en années) vérifie les conditions suivantes :
— Nest solution de l’équation différentielle (E) : y′=r y³
1− y K
´
oùretKsont des constantes réelles strictement positives ;
— N(0)=N0, avec 0<N0<K;
— Nest définie sur un intervalle ouvertIcontenant 0 ;
— sigest une solution de (E) définie sur un intervalleJcontenant 0 et vérifiant g(0)=N0, alorsJest inclus dansI.
1. Quel théorème permet de garantir l’existence et l’unicité de la fonctionN? On admet queIcontient [0 ;+∞[, et que pour tout réelt∈I, 0<N(t)<K. 2. Étude qualitative
a. Démontrer queNest strictement croissante surI. b. En déduire queN admet une limite finieℓen+∞. c. Démontrer queℓ=K.On pourra raisonner par l’absurde.
3. Détermination d’une expression de N On pose, pourt∈I,g(t)= 1
N(t).
a. Démontrer quegest solution surIde l’équation différentielle¡ E′¢
: y′= −r y+r
K.
b. Résoudre l’équation différentielle¡ E′¢
, puis déterminer une expression de NsurI.
c. Retrouver la limite deNen+∞.
