Pour tout k∈ {0

0 A ajouter `` a la fin du paragraphe 1.2 :

Supposons que A est un anneau commutatif int`egre.

SoitP ∈(A[X])[Y] : Il existen∈NetP₀, . . . , P_n ∈A[X] tels queP =

n

X

k=0

P_k(X)Y^k. Pour tout k∈ {0, . . . , n}, il existe m_k ∈Net a_0,k, . . . , a_mk,k ∈A

tels que Pk(X) =

mk

X

h=0

ah,kX^h. Posonsm = max

0≤k≤nm_k et pour tout k ∈ {0, . . . , n}, pour tout h > m_k, a_h,k = 0.

Ainsi, P =

n

X

k=0

X^m

h=0

a_h,kX^h)Y^k = X

0≤h≤m 0≤k≤n

a_h,kX^hY^k.

Ceci d´emontre que l’application

ϕ: A^(N2) −→ (A[X])[Y] (a_h,k)(h,k)∈N² 7−→ X

0≤h≤m 0≤k≤n

a_h,kX^hY^k est une application surjective.

De plus, on peut v´erifier que ϕest un morphisme de groupes additifs.

On v´erifie que, pour tout (a_h,k)(h,k)∈N² ∈A^(N2), X

0≤h≤m 0≤k≤n

a_h,kX^hY^k= 0 =⇒[∀h, k ∈N², a_h,k = 0], donc ϕest un morphisme injectif.

Ainsiϕ est un isomorphisme de groupes.

En posant, pour tout P, Q∈A^(N2), P ×Q=^∆ ϕ⁻¹(ϕ(P)×ϕ(Q)), on munit A^(N2) d’une structure d’anneau commutatif int`egre, isomorphe `a (A[X])[Y], dont l’´el´ement neutre multiplicatif est ´egal `a (δ_h,0δ_k,0)_(h,k)∈N².

On note A^{(N2) ∆}=A[X, Y] et on identifie les deux anneaux A[X, Y] et (A[X])[Y].

Pour parachever cette identification, c’est-`a-dire pour permettre d’´ecrire (a_h,k)_(h,k)∈N² = X

0≤h≤m 0≤k≤n

a_h,kX^hY^k, il est naturel de poser, dans le cadre de polynˆomes aux deux ind´etermin´ees X etY : X = (δ_h,1δ_k,0)(h,k)∈N² etY = (δ_h,0δ_k,1) .

On peut v´erifier que, pour tout p, q ∈N², X^pY^q = (δ_h,pδ_k,q)(h,k)∈N². On peut ´ecrire : X

0≤h≤m 0≤k≤n

a_h,kX^hY^k=X

h∈N

X

k∈N

a_h,kY^k

X^h ∈(A[Y])[X], en convenant que A[Y] = {X

k∈N

b_kY^k / (b_k)k∈N ∈ A^(N)} (on peut v´erifier que c’est un sous-anneau de A[X, Y]).

En conclusion, (A[X])[Y] =A[X, Y] = (A[Y])[X].

On peut g´en´eraliser `a p ind´etermin´ees X<sub>1</sub>, . . . , X<sub>p</sub>, o`u p∈N^∗ :

A[X1, . . . , Xp]=^∆ A^(Np) = (A[X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xp])[Xi], quel que soit i∈N^p.

cEric Merle´ 1 MPSI2, LLG