XMP 2019-2020
VARIABLES ALÉATOIRES (1)
1. a. Soit q ∈ℕ*. Prouver que la série k q
k q
k x q
−
≥
∑
converge pour tout x∈ −] 1,1[ et que sa somme vaut1
1 (1−x)q+ .
Soient p∈]0,1[ et r∈ℕ*. On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l'instant t=0. On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte, le premier rayon étant envoyé à l'instant t=1. La bactérie a la probabilité p d'être touchée par le rayon laser. Les tirs de laser sont indépendants. La bactérie ne meurt que quand elle a été touchée r fois par le rayon. Soit X la variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.
b. Déterminer la loi de X.
c. Prouver que X admet une espérance et la calculer.
2. Une boîte contient n numéros compris entre 1 et n (n pair). On tire au hasard l'un des numéros. On peut soit le conserver, soit le remettre dans la boîte pour un tirer un autre si on le juge trop faible. On note X le numéro final obtenu.
Stratégiquement, on choisit une barre b telle que, si le premier numéro tiré est inférieur ou égal à b, on effectue un second tirage, sinon on le conserve.
a. Déterminer la loi de X (on distinguera les cas k≤b et k>b).
b. Calculer l'espérance de X. Comment choisir b pour que cette espérance soit maximale ? Que vaut-elle alors ?
3. Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une suite de tirages consistant à tirer une boule de l'urne, à regarder sa couleur et à la remettre dans l'urne en ajoutant une boule de la même couleur avant le tirage suivant. On note Xn le nombre de boules noires à l'issue du n-ième tirage ; en particulier, X0 =1.
a. Quelle est la loi de X1 ? Celle de X2 ?
b. Prouver que Xn suit une loi uniforme sur 1,n+1 .
c. Soit An l'évènement « tirer une boule noire lors du n-ième tirage ». Déterminer la probabilité de An+1. 4. Une secrétaire effectue, une première fois, un appel téléphonique vers n correspondants distincts. On admet que les n appels constituent n expériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant appelé est p∈]0,1[. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de correspondants obtenus.
a. Donner la loi de X (justifier).
b. La secrétaire appelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des n−X correspondants qu'elle n'a pas obtenus lors du premier appel. On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de correspondants joints lors de ce second appel.
i. Soit i∈ 0,n . Déterminer, pour k∈ℕ, (P Y =k X =i).
ii. Prouver que Z =X+Y suit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre (indication : on pourra utiliser, sans la prouver, l'identité suivante : n i n k n
k i i i k
−
=
−
).
iii. Déterminer l'espérance et la variance de Z.
5. On se propose d'analyser le sang d'une population de N individus pour déceler la présence éventuelle (test positif) d'un virus dont on sait qu'il affecte une personne donnée avec une probabilité p. On a pour cela deux méthodes :
Méthode 1 : on analyse le sang de chacune des N personnes ;
Méthode 2 : on regroupe les N individus en g groupes de n individus, et on mélange le sang des n individus d'un groupe dans une même éprouvette. Si le résultat d'un groupe est positif, on analyse alors le sang des n individus du groupe.
a. Quelle est la loi de la variable aléatoire réelle X égale au nombre de groupes positifs.
b. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre d'analyses dans la deuxième méthode. Calculer l'espérance de Y.
c. Comparer les deux méthodes dans le cas où N =1000, n=10 et p=0,01.
6. Soit X une variable aléatoire discrète réelle. On appelle fonction de répartition de X la fonction FX définie sur R, à valeurs dans [0,1] , telle que pour tout réel x on ait F xX( )=P X( ≤x).
a. Montrer que FX est croissante.
b. Prouver que ∀a b, ∈R avec a<b, on a (P a<X≤b)=F bX( )−F aX( ). c. Déterminer les limites de FX en +∞ et −∞ (on pourra écrire ] , ]
n
n
∈
= − ∞
N
R ∪ ).
d. Montrer que la fonction FX est continue à droite en tout point de R. Quels sont ses points de discontinuité ?
e. Connaissant FX, comment déterminer la loi de X ?
7. Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi binomiale ( , )Bn p . a. On définit une nouvelle variable aléatoire par 1
Y 1
= X
+ . Déterminer l'espérance de Y.
b. On suppose 1
p=2 et l'on pose 2 aX
Z = n (a>0). Déterminer l'espérance de Z.
8. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On souhaite prouver l'équivalence : X a une espérance⇔la série
1
( )
n
P X n
≥
∑
≥ converge,et si tel est le cas, alors :
1
( ) ( )
n
E X P X n
+∞
=
=
∑
≥ .a. Prouver que pour n≥1,
0 1
( ) ( ) ( 1)
N N
n n
nP X n P X n NP X N
= =
= = ≥ − ≥ +
∑ ∑
.b. Conclure en distinguant les deux sens de l'équivalence.
9. On observe en moyenne un accident d'avion tous les 25 jours. En août 2005, il y en a eu 5 en 22 jours.
Supposons que ce soit un effet du hasard (et non, par exemple, d'une baisse de vigilance en matière de sécurité).
a. Sur la période 1995-2004, on a relevé en moyenne un crash pour 500000 vols. Quelle est la probabilité que les cinq avions du mois d'août 2005 se soient crashés ?
b. Soit X le nombre d'avions qui se crashent sur une période de 22 jours. Quelle loi suit X ? Évaluer
( 5)
P X≥ .
c. Découpons l'année en 16 tranches de 22 jours (!). Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 5 crashes au cours de l'une de ces tranches ?
12. On effectue N lancers d'un dé équilibré. Si n est le nombre de six obtenus, on lance n fois une pièce truquée dont la probabilité de faire Pile vaut p∈]0,1[. Soit Z le nombre de six, X le nombre de Pile et Y le nombre de Face.
a. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de Z.
b. En conditionnant par (Z=n), donner la loi de X puis celle de Y.
c. Déterminer Cov( , )X Y (indication : calculer V X( +Y) de deux façons différentes). X et Y sont-elles indépendantes ? Déterminer la loi du couple ( , )X Y .
10. Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d'eau A, B et C. À l'instant t=0, il se trouve au point A. Quand il a épuisé l'eau du puits où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l'un des deux autres points d'eau. L'eau du puits qu'il vient de quitter se régénère alors.
Soit n∈ℕ. Pour M =A B, ou C, on note Mn l'évènement "l'animal est en M après son n-ième trajet", et l'on pose mn =P M( n).
a. Exprimer, en justifiant, an+1 en fonction de an, bn et cn. Faire de même pour bn+1 et cn+1. b. Soit la matrice
0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 0 A
=
. Justifier sans calcul que A est diagonalisable. Prouver que 1
−2 est valeur propre de A et déterminer le sous-espace propre associé. Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que D=P−1AP (le calcul de P−1 n'est pas demandé).
c. Comment les résultats de la question b. peuvent-ils être utilisés pour calculer an, bn et cn ? (le calcul effectif n'est pas demandé).
11. On effectue une suite illimitée de lancers d'une pièce équilibrée. Xi est la variable de Bernoulli qui prend la valeur 1 si le i-ième lancer donne Pile, 0 s'il donne Face.
Pour i≥2, on désigne par Yi la variable aléatoire qui donne 1 si l'on obtient deux Pile à la suite lors des (i−1)-ième et i-ième lancers, 0 sinon. Enfin, pour n≥2, on pose
2 n
n i
i
S Y
=
=
. a. Calculer E X( i), V X( i) et Cov(X Xi, i+1).b. Quelle est la loi suivie par Yi ? Calculer E Y( )i , V Y( )i et Cov( ,Y Yi i+1) puis E S( n) et V S( n).
Pour i≥2, on désigne par Zi la variable aléatoire qui donne 1 si l'on obtient des résultats distincts aux (i−1)-ième et i-ième lancers, 0 sinon. Enfin, pour n≥2, on pose
2 n
n i
i
T Z
=
=
.c. Exprimer Zi en fonction de Xi−1, Xi et Yi. Calculer E Z( i), V Z( i) et Cov(Z Zi, i+1) puis E T( n) et ( n)
V T .
XMP 2016-2017
VARIABLES ALÉATOIRES (2)
12. On effectue N lancers d'un dé équilibré. Si n est le nombre de six obtenus, on lance n fois une pièce truquée dont la probabilité de faire Pile vaut p∈]0,1[. Soit Z le nombre de six, X le nombre de Pile et Y le nombre de Face.
a. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de Z.
b. En conditionnant par (Z=n), donner la loi de X puis celle de Y.
c. Déterminer Cov( , )X Y (indication : calculer V X( +Y) de deux façons différentes). X et Y sont-elles indépendantes ? Déterminer la loi du couple ( , )X Y .
13. Soit (un) une suite à valeurs dans [0,1[. Pour tout entier n, on pose 0 1
0
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
n
n k n
k
q u u u u
=
=
∏
− = − − … − ,et l'on dit que le produit infini
∏
(1−un) est convergent si la suite (qn) possède une limite finie non nulle l. On note alors :0
(1 n)
n
l u
+∞
=
=
∏
− .a. Étudier la convergence (et le cas échéant calculer la valeur) des produits infinis suivants : (1 1 )
2
−k
∏
+ ; 2(1 1 )
(k 2)
− +
∏
.b. Prouver que le produit infini
∏
(1−un) converge si et seulement si la série
un est convergente.Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que pour tout entier n, on ait P X( ≥n)>0. On appelle
"taux de panne associé" la suite réelle (xn) définie pour tout entier n par : xn=PX n≥ (X =n). c. Exprimer P X( ≥n) en fonction des xk et en déduire pn=P X( =n).
d. Déterminer les lois des variables aléatoires ayant un taux de panne constant sur N*.
e. Montrer qu'une suite (xk k) ≥0 est un taux de panne si et seulement si ∀k, 0≤xk<1, et la série
xk diverge.14. Existe-t-il une variable aléatoire entière dont la fonction génératrice est ( ) 2 2 g t t
= t
− ? Si oui, donner sa loi, et, si possible, son espérance et sa variance.
15. On observe en moyenne un accident d'avion tous les 25 jours. En août 2005, il y en a eu 5 en 22 jours.
Supposons que ce soit un effet du hasard (et non, par exemple, d'une baisse de vigilance en matière de sécurité).
a. Sur la période 1995-2004, on a relevé en moyenne un crash pour 500000 vols. Quelle est la probabilité que les cinq avions du mois d'août 2005 se soient crashés ?
b. Soit X le nombre d'avions qui se crashent sur une période de 22 jours. Quelle loi suit X ? Évaluer
( 5)
P X ≥ .
c. Découpons l'année en 16 tranches de 22 jours (!). Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 5 crashes au cours de l'une de ces tranches ?
16. X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans ℕ. Elles suivent la même loi définie par :
, ( ) ( ) k
k P X k P Y k pq
∀ ∈ℕ = = = = ,
où p∈]0,1[ et q= −1 p. On considère alors les variables aléatoires U=sup ( , )X Y et V=inf ( , )X Y . a. Déterminer la loi du couple ( , )U V .
b. Déterminer les lois marginales de U et de V.
c. Prouver que W = +V 1 suit une loi géométrique. En déduire l'espérance de V.
c. U et V sont-elles indépendantes ?
17. X désigne une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
a. Montrer que 1
( )
P X− λ ≥ λ ≤
λ et en déduire une majoration de P X( ≥ λ2 ). b. On note G la série génératrice de X.
Montrer que pour tout réel t≥1 et pour tout a>0, ( ) ( ) G ta P X a
≥ ≤ t .
c. Des inégalités obtenues aux questions a. et b., laquelle est-elle la meilleure ?
18. Soient (Tn n)∈N et T des variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. On dit que la suite (Tn n)∈N converge en probabilité vers T si :
0, lim ( n ) 0
n P T T
∀ε > →+∞ − ≥ ε = .
On admettra qu'alors, la limite T est presque sûrement unique en ce sens que si la suite (Tn n)∈N converge en probabilité vers T et vers T′, alors T et T′ sont presque sûrement égales.
De la même façon, on dit que la suite (Tn n)∈N converge en moyenne vers T si pour tout entier n, la variable aléatoire possède une espérance, et si :
lim ( n ) 0
n E T T
→+∞ − = .
Enfin, on dit que la suite (Tn n)∈N converge complètement vers T si :
Pour tout ε >0, la série
P T( n− ≥ εT ) est convergente.a. Prouver que la convergence en moyenne entraîne la convergence en probabilité.
b. Prouver que la convergence complète entraine la convergence en probabilité.
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes sur un même espace probabilisé suivant toutes une loi de Poisson de paramètre λ >1. On pose
1 n
n k
k
Y X
=
∏
= .c. Calculer P Y( n≠0), comparer pour ε >0 les évènements (Yn > ε) et (Yn ≠0), et en déduire que la suite (Yn) converge en probabilité vers 0.
Montrer que si (Yn) convergeait en moyenne vers Y, on aurait P Y( =0)=1.
Conclure (on utilisera l'inégalité E Y( n−Y)≥E Y( n)−E Y( ), après l'avoir justifiée of course !).
On considère maintenant une suite (Zn) de variable aléatoires définies sur un même espace probabilisé, chaque Zn suivant une loi de Poisson de paramètre 1
n. d. Déterminer P Z( n ≥1).
Montrer que pour ε >0, on dispose des inégalités
1
0≤P Z( n ≥ ε ≤ −) 1 e−n.
Prouver que la suite (Zn) converge en probabilités vers la variable aléatoire nulle, mais qu'elle en converge pas complètement vers 0.
