Partie IV – ´ Etude de la quantit´ e vol(K)vol(K

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Prol´egom`enes

Dans tout le textendésigne un entier naturel strictement positif,Rle corps des nombres réels et Rⁿ l’espace vectoriel euclidien canonique de dimension n. Rⁿ est également canoniquement muni d’une structure d’espace affine. On choisit pour origine, notéeO, le vecteur nul de l’espace vectoriel.

On notehx, yile produit scalaire de deux vecteursxety deRⁿetkxkla norme euclidienne dex.

On noteGL_n(R) le groupe des matrices carrées de dimensionninversibles et on note det(A) le déterminant de la matrice carréeA. SiEest une partie deRⁿ etAun matrice dansGL_n(R), on noteA(E) l’image deE par l’endomorphisme deRⁿcanoniquement associé àA.

SiEest une partie deRⁿ, on appelle figure polaire deE, notée E^∗, la partie deRⁿformée des pointsy tels que hx, yiest inférieur à 1 pour toutxdansE :

E^∗ ={y∈Rⁿ|∀x∈E, hx, yi ≤1}.

On rappelle qu’une partie deRⁿ est convexe si, pour tout couple (A, B) de ses points, elle contient le segment [A, B]. Une fonctionf d’une partieEdeRⁿ

`

a valeurs dansRest dite convexe siE est convexe et si

∀(x, y)∈E², ∀λ∈[0,1], f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y) (i.e le graphe de f est sous ses cordes). On dit quef est strictement convexe si elle est convexe et si l’inégalité précédente n’est une égalité que six=y ou λ∈ {0,1}. Enfin f est (strictement) concave si−f est (strictement) convexe.

Une partieE de Rⁿ est diteO-symétrique si elle est globalement invariante par la symétrie centrale affine de centre O. Si λest un scalaire, on note λE l’image deE par l’homothétie de centre Oet de rapportλ.

On dit qu’une partie E de Rⁿ est un corps convexe si elle est convexe et d’intérieur non vide. On remarquera qu’un corps convexeO-symétrique contient toujoursOdans son intérieur (car si x est intérieur, il en est de même de−x par symétrie at aussi de (^x+(−x)₂ ) par convexité.

Enfin siE est une partie Lebesgue-mesurable deRⁿ, on note vol(E) son volume.

Les deuxième et troisième parties sont indépendantes l’une de l’autre. Il est rappelé que la présentation, la rédaction et la précision sont des éléments im- portants d’appréciation des copies.

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Partie I – G´ en´ eralit´ es

SoitK un corps convexe et compact deRⁿcontenantOdans son int´erieur.

Question 1

SoitK0 etK1deux parties convexes deRⁿetθun réel dans [0; 1] ; montrer que Kθ est convexe, où on a noté

Kθ= (1−θ)K0+θK1={x∈Rⁿ|∃(x0, x1)∈K0×K1 , x= (1−θ)x0+θx1}. Question 2

SoitA une matrice dansGLn(R). Montrer que (A(K))^∗=^tA⁻¹(K^∗).

Question 3

SoitxdansRⁿ, on poseIx={λ∈R+|x∈λK}.

3.aMontrer queIxest un intervalle ferm´e non major´e deR+.

3.bOn peut donc poserjK(x) = infIx; c’est un r´eel positif. Soit∂K la fronti`ere deK. Montrer que :

x∈K⇐⇒j_K(x)≤1 et x∈∂K ⇐⇒j_K(x) = 1 Question 3( Etude d’exemples)´

4.aExpliciterK^∗,jK et jK^∗ dans les trois cas suivants : 1. K est le disque unit´e (euclidien deR² ,

2. K est le carr´eK={(x1, x2)∈R²| −1≤x1, x2≤1}, 3. K est un parall´elogramme de centre O.

4.b Montrer que K^∗ est un corps convexe, compact, contenant O dans son int´erieur et

∀y∈Rⁿ j_K∗(y) = max{hx, yi|x∈K}.

4.c On suppose que K est O-sym´etrique. Montrer que jK et jK^∗ sont des normes. Que dire de (Rⁿ, jK) et de (Rⁿ, jK^∗) ?

Question 5(un r´esultat de dualit´e)

On notepK la projection sur le convexe compactK.

5.a Soita n’appartenant pas à K et H l’hyperplan passant par pK(a) et orthogonal à la droite passant par aet pK(a). Montrer qu’il existe une équation deHde la forme

H={x∈Rⁿ|hx, ai= 1}

pour un certain vecteur ude Rⁿ, telle que ha, ui> 1 et , pour tout x de K, hx, ui ≤1.

5.bMontrer que (K^∗)^∗=K.

Question 6Projection d’un convexe

Soitpr_H une projection (affine) de Rⁿ d’image l’hyperplan affine H et de di- rection quelconqueD (une droite affine) non parallèle àH. On munit l’espace affine d’un repère (non nécessairement orthogonal) tel queH soit l’hyperplan d’équationx_n= 0 etD la droite d’équationx₁=x₂=· · ·=x_n−1= 0.

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Montrer qu’il existeϕ_K etϕ^Kdes applications depr_H(K) dansRrespective- ment convexe et concave telles queK soit l’ensemble desx= (x1,· · ·, xn) tels que (x1,· · ·, x_n−1) appartient `aprH(K) et

ϕK(x1,· · ·, x_n−1)≤xn≤ϕ^K(x1,· · ·, x_n−1).

Partie II – G´ eom´ etrie des formes quadratiques

On appelle ellipso¨ıde (sous-entendu centré enO) la boule unité pour une forme quadratique définie positive deRⁿ. Il revient au même de se donner une matrice symétrique définie positiveAet de considérer le sous-ensembleE(A) deRⁿdes x tels que hx, Axi ≤ 1. On note E l’ensemble des ellipso¨ıdes. En identifiant l’ellipso¨ıdeE(A) aux coefficients a_(i,j) avec i ≤j, on considère E comme une partie deRⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾² et on le munit de la topologie induite.

Question 1(Ellipso¨ıdes et boules unit´es)

SoitAune matrice symétrique définie positive. Montrer qu’il existe une matrice symétrique définie positive telle queB²=A⁻¹. En déduire qu’un ellipso¨ıde est l’image de la boule unité (euclidienne) par une application linéaire.

Question 2(Ellipso¨ıdes et convexit´e)

Montrer que l’application A 7→ (detA)¹² de l’ensemble des matrices n×n symétriques définies positives dans R^∗+ est strictement convexe. (On pourra songer à considérer le logarithme.)

Question 3(Ellipso¨ıde maximal)

SoitK un corps convexe compactO-sym´etrique deRⁿ.

3.aSoit v un réel strictement positif. Montrer que l’ensemble EK,n des ellipso¨ıdes de Rⁿ ayant un volume supérieur à v et inclus dans K est une partie compacte deE.

3.b En déduire qu’il existe un unique ellipso¨ıdeEK de Rⁿ inclus dans K de volume maximal pour cette propriété.

Question 4(Formes quadratiques et corps convexes)

4.a Soit K un corps convexe compact O-symétrique de Rⁿ. On note IsK le groupe des automorphismes linéairesudeRⁿtels queu(K) =K. Montrer qu’il existe une forme quadratiqueq_K définie positive invariante parIs_K, i.e,

∀u∈Is_K,∀x∈Rⁿ q_K(u(x)) =q_K(x).

4.bDonnerE_K et une formeq_K possible dans chacun des exemples deI.4.a.

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Partie III – Th´ eor` eme de Brunn-Minkowski

SoitK₀ etK₁ deux parties compactes deRⁿnon n´ecessairement convexes.

On note

K₀+K₁={x∈Rⁿ|∃(k₀, k₁)∈K₀×K₁, x=k₀+k₁}.

Le but de cette partie est de démontrer l’inégalité suivante (théorème de Bruun- Minkowski) :

vol(KO)¹ⁿ +vol(K1)ⁿ¹ ≤vol(KO+K1)ⁿ¹ (1) On admettrapour la suite la précision suivante. L’égalité ne se produit que dans les cas suivants : soitvol(K0) = vol(K1) = 0, soit l’un des compacts est réduit à un point, soitK0etK1sont images l’un de l’autre par une homothétie affine ou une translation.

Question 1

Sia= (a₁,· · ·, a_n) etb= (b₁,· · ·, b_n) sont deuxn-uplets de réels, on noteP(a, b) le parallélépipède rectangle donné par

P(a, b) ={(x₁,· · ·, x_n)∈Rⁿ|∀i∈[1, n]a_i≤x_i≤b_i}.

On appelle standard un parallélépipède qui est de cette forme et d’intérieur non vide.

On suppose queK₀ etK₁sont chacun réunions finies de parallélépipèdes standard d’intérieurs disjoints :

K0 =

n0

[

i=1

P(a⁽ⁱ⁾, b⁽ⁱ⁾) K1 =

n1

[

i=1

P(c⁽ⁱ⁾, d⁽ⁱ⁾)

On va montrer par récurrence sur n₀+n₁ que l’inégalité (1) est valable pour K₀ et K₁.

1.aEtablir l’égalité (1) dans le cas o`´ uK₀ etK₁sont des parallélépipèdes standard (i.en₀ =n₁= 1) en précisant le cas d’égalité (on pourra commencer par diviser parvol(K₀+K₁)ⁿ¹).

1.bPourn0etn1quelconques avecn0entier supérieur ou égal à 2, trouver une entierkcompris entre 1 etnainsi que deux réels tetude sorte que chacun des demi-espaces xk ≥t et xk ≤t contienne l’un des parallélépipèdes constituant K₀ et que l’hyperplanx_k=upartageK₁suivant les mêmes proportions que ne la faitx_k=tpour K₀ :

vol(K0∩ {xk ≤t})

vol(K₀∩ {x_k ≥t})= vol(K1∩ {xk ≤u}) vol(K₁∩ {x_k ≥u})

1.c Etablir l’inégalité (1) dans le cas o`´ u K₀ et K₁ sont des réunions finies de parallélépipèdes standards d’intérieurs disjoints.

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Question 2

En déduire le théorème de Bruun-Minkowski.

Partie IV – ´ Etude de la quantit´ e vol(K)vol(K

^∗

)

Soit K un corps convexe compact O-sym´etrique et EK l’ellipso¨ıde de volume maximal inclus dansK (cf partieII).

Question 1(Minoration de vol(K)vol(k^∗))

1.aOn suppose que iciE_Kest la boule unité (euclidienne) deRⁿ, notéeB_n. soit xun réel. Montrer que si le point de coordonnées (x,0,· · ·,0) appartient àK alors|x| ≤√n.

1.bOn se place dans le cas général où E_K est quelconque. Montrer queE_K ⊂ K⊂√nE_K et

vol(K)vol(K^∗)≥n⁻ⁿ²vol(B_n)². question 2( ´Etude du cas maximal)

On suppose ici que K maximalise la quantit´e vol(K)vol(K^∗) parmi les corps convexes compactsO-sym´etriques.

SoitH un hyperplan vectoriel de Rⁿ. La d´ecomposition orthogonaleRⁿ = HL

H^⊥ et le choix d’une base de H^⊥ permet d’identifier les points de Rⁿ `a des couples (x, t)avec xdansH ett dansR. On note, pourt r´eel,

Kt={x∈H|(x, t)∈K}

L’ensembleIdes réelsttels queK_test non vide est donc un intervalle symétrique, d’intérieur non vide et compact deR(ces faits n’ont pas à être démontrés).

2.aSoitξ dansH, on noteϕ^K_ξ la fonction convexe deI dansR ϕ^K_ξ (t) = 1− sup

x∈Kt

hξ, xi.

Montrer qu’un couple (ξ, λ) deH×Rappartient `aK^∗ si et seulement si ξ ∈(K₀)^∗ et −inf

t>0

ϕ^K_ξ (−t)

t ≤λ≤inf

t>0

ϕ^K_ξ (t) t

On définit un ensembleK⁰ainsi : (x, t) appartient àK⁰si et seulement sitetx appartiennent respectivement àIet à¹₂(K_t+K_−t)(ce qui est la même chose que

1

2(K_t−K_t)). Autrement ditxest le milieu d’un point de K_t et d’un point de K_−t=−K_t. Remarquons queK_t etK_−t sont convexes ou vides et queK⁰ est un corps convexe compact etO-sym´etrique.(On ne demande pas de d´emontrer ces faits.)

2.bMontrer queK⁰a un plus grand volume queKet qu’il n’y a égalité que si pour t intérieur à I les K_t admettent un centre de symétrie, i.e il existe µ_t dansH tel que K_t =µ_t−K_t (la symétrie de centre µ_t laisse K_t globalement

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invariant).

2.cDéduire de la question2.aque (K⁰)^∗ a plus grand volume que K⁰ et donc queKtadmet un centre de symétrie (notéµt) pour touttdans l’intérieur deI.

2.dSoitξ dansH; montrer qu’il existe un r´eelµξ tel que, pour tout tint´erieur

`

aI et strictement positif,

ϕ^K_ξ (−t)−ϕ^K_ξ (t) =µξt.

2.eEn déduire qu’il existe µdans H tel que, pour toutt dansI, K_t admettµ comme centre de symétrie et donc qu’il existe un symétrie (non nécessairement orthogonale)spar rapport àHqui laisseK globalement invariant et qui est un isométrie deRⁿpour la jaugej_K introduite en première partie.

2.fEn déduire queK est un ellipso¨ıde et que vol(K)vol(K^∗) =vol(B_n)². (On rappelle queB_ndésigne la boule unité euclidienne deRⁿ.)

Question 3(Conclusion)

SoitC l’ensemble des corps convexes compacts O-sym´etriques deRⁿ. Pour K₀ etK₁ dansC, on pose

d(K0, K1) = inf{λ∈R+|e^−λK¹⊂K0⊂e^λK1}

On admettra que (C, d) est un espace m´etrique et que, pour toutK dansC et tout couple de r´eels (a, b) avec a≤b l’ensemble

{K⁰∈ C|aK⊂K⁰⊂bK} est compact.

Montrer que pour tout corps convexe compact etO-sym´etrique deRⁿ, on a vol(Bn)²

nⁿ² ≤vol(K)vol(K^∗)≤vol(Bn)²