Partie IV — Étude de la quantité vol(K )vol(K

(1)

Prolégomènes

Dans tout le problème ndésigne un entier naturel strictement positif,Rle corps des nombres réels etRⁿl’espace vectoriel réel euclidien canonique de dimension n. Rⁿ est également canoniquement muni d’une structure d’espace affine. On choisit pour origine, notéeO, le vecteur nul de l’espace vectoriel.

On notehx, yile produit scalaire de deux vecteursxety deRⁿ et||x||la norme euclidienne de x.

On note GL_n(R)le groupe des matrices carrées de dimension n inversibles et on notedet(A) le déterminant de la matrice carrée A. Si E est une partie de Rⁿ et A une matrice dans GL_n(R), on note A(E) l’image de E par l’endomorphisme deRⁿ canoniquement associé àA.

Si E est une partie deRⁿ, on appelle figure polaire deE, notée E^∗, la partie de Rⁿ formée des pointsy tels que hx, yiest inférieur à 1 pour toutxdansE :

E^∗={y∈Rⁿ| ∀x∈E, hx, yi61}.

On rappelle qu’une partie de Rⁿ est convexe si, pour tout couple (A, B) de ses points, elle contient le segment [A, B]. Une fonctionf d’une partieE deRⁿ à valeurs dansRest dite convexe siE est convexe et si

∀(x, y)∈E², ∀λ∈[0; 1], f(λx+ (1−λ)y)6λf(x) + (1−λ)f(y)

(i.e. le graphe de f est sous ses cordes). On dit que f est strictement convexe si elle est convexe et si l’inégalité précédente n’est une égalité que six=y ouλ∈ {0,1}. Enfin f est dite (strictement) concave si−f est (strictement) convexe.

Une partie E de Rⁿ est dite O-symétrique si elle est globalement invariante par la symétrie centrale (affine) de centreO. Siλest un scalaire, on note λEl’image de E par l’homothétie de centreO et de rapportλ.

On dit qu’une partieEdeRⁿ est un corps convexe si elle est convexe et d’intérieur non vide. On remarquera qu’un corps convexeO-symétrique contient toujoursO dans son intérieur (car sixest intérieur, il en est de même de−xpar symétrie et aussi de(x+ (−x))/2par convexité).

Enfin siE est une partie Lebesgue-mesurable deRⁿ on notevol(E)son volume.

Les deuxième et troisième parties sont indépendantes l’une de l’autre. Il est rappelé que la présentation, la rédaction et la précision sont des éléments importants d’appréciation des copies.

Partie I — Généralités

SoitKun corps convexe et compact de Rⁿ contenantO dans son intérieur.

Question 1

SoitK₀ etK₁ des parties convexes deRⁿ et θun réel dans[0; 1]; montrer queK_θ est convexe, où on a noté Kθ= (1−θ)K0+θK1={x∈Rⁿ| ∃(x0, x1)∈K0×K1, x= (1−θ)x0+θx1} .

Question 2

SoitAune matrice dansGLn(R). Montrer(A(K))^∗=^tA⁻¹(K^∗).

Question 3

SoitxdansRⁿ, on poseIx={λ∈R+|x∈λK}.

3.aMontrer queIx est un intervalle fermé non majoré deR+.

3.bOn peut donc poserjK(x) = infIx; c’est un réel positif. Soit∂K la frontière deK. Montrer x∈K⇔j_K(x)61 et x∈∂K ⇔j_K(x) = 1.

Question 4(Étude d’exemples)

4.aExpliciterK^∗,jK etjK^∗ dans les trois cas suivants : 1. K est le disque unité (euclidien) deR²,

2. K est le carréK=

(x₁, x₂)∈R²| −16x₁, x₂61 , 3. K est un parallélogramme, dansR², de centreO.

(2)

4.bMontrer queK^∗est un corps convexe, compact, contenantO dans son intérieur et

∀y∈Rⁿ j_K^∗(y) = max{hx, yi |x∈K}.

4.cOn suppose queKestO-symétrique. Montrer quejK etjK^∗ sont des normes. Que dire de(Rⁿ, jK)et(Rⁿ, jK^∗)? Question 5(Un résultat de dualité)

On notepK la projection sur le convexe compactK.

5.aSoitan’appartenant pas àKetHl’hyperplan passant parp_K(a)et orthogonal à la droite passant paraetp_K(a).

Montrer qu’il existe une équation deH de la forme

H ={x∈Rⁿ| hx, ui= 1}

pour un certain vecteurudeRⁿ, telle queha, ui>1 et, pour tout pointxdeK, hx, ui61.

5.bMontrer(K^∗)^∗=K.

Question 6(Projection d’un convexe)

Soitpr_H une projection (affine) deRⁿ d’image un hyperplan affineH et de direction quelconqueD (une droite affine) non parallèle àH. On munit l’espace affine d’un repère (non nécessairement orthogonal) tel que H soit l’hyperplan d’équationx_n= 0et D la droite d’équationx₁=. . .=x_n−1= 0.

Montrer qu’il existe ϕ_K et ϕ^K des applications depr_H(K) dansR respectivement convexe et concave telles que K soit l’ensemble desx= (x1, . . . , xn)tels que(x1, . . . , x_n−1)appartient àprH(K)et

ϕK(x1, . . . , x_n−1)6xn6ϕ^K(x1, . . . , x_n−1).

Partie II — Géométrie des formes quadratiques

On appelle ellipsoïde (sous-entendu centré enO) la boule unité pour une forme quadratique définie positive surRⁿ. Il revient au même de se donner une matrice symétrique définie positiveAet de considérer le sous-ensemble E(A)de Rⁿ des xtels quehx, Axi61. On noteE l’ensemble des ellipsoïdes. En identifiant l’ellipsoïde E(A) aux coefficients ai,j deAaveci6j, on considèreE comme une partie deR^n(n+1)/2 et on le munit de la topologie induite.

Question 1(Ellipsoïdes et boules unités)

SoitAune matrice symétrique définie positive. Montrer qu’il existe une matrice symétrique définie positive telle que B²=A⁻¹. En déduire qu’un ellipsoïde est l’image de la boule unité (euclidienne) par une application linéaire.

Question 2(Ellipsoïdes et convexité)

Montrer que l’application A7→(detA)^−1/2 de l’ensemble des matricesn×nsymétriques définies positives dans R^∗₊ est strictement convexe. (On pourra songer à considérer le logarithme.)

Question 3(Ellipsoïde maximal)

SoitKun corps convexe compact O-symétrique de Rⁿ.

3.aSoitvun réel strictement positif. Montrer que l’ensembleEK,vdes ellipsoïdes deRⁿ ayant un volume supérieur à v et inclus dansKest une partie compacte deE.

3.bEn déduire qu’il existe un unique ellipsoïdeE_K deRⁿ inclus dansK et de volume maximal pour cette propriété.

Question 4(Formes quadratiques et corps convexes)

4.aSoitKun corps convexe compactO-symétrique deRⁿ. On noteIsK le groupe des automorphismes linéairesude Rⁿ tels queu(K) =K. Montrer qu’il existe une forme quadratiqueqK définie positive invariante parIsK, i.e.

∀u∈IsK, ∀x∈Rⁿ qK(u(x)) =qK(x). 4.bDonnerE_K et une formeq_K possible dans chacun des exemples de I.4.a.

(3)

Partie III — Théorème de Brunn-Minkowski

SoitK₀ etK₁ deux parties compactes deRⁿ non nécessairement convexes. On note K₀+K₁={x∈Rⁿ| ∃(k₀, k₁)∈K₀×K₁ x=k₀+k₁}.

Le but de cette partie est de démontrer l’inégalité suivante (théorème de Brunn-Minkowski) :

vol(K0)^1/n+ vol(K1)^1/n6vol(K0+K1)^1/n. (1) On admettrapour la suite la précision suivante. L’égalité ne se produit que dans les cas suivants : soit vol(K0) = vol(K1) = 0, soit l’un des compacts est réduit à un point, soitK0etK1sont images l’un de l’autre par une homothétie affine ou une translation.

Question 1

Si a= (a1, . . . , an)et b= (b1, . . . , bn) sont deuxn-uplets de réels, on noteP(a, b) le parallélépipède rectangle donné par

P(a, b) ={(x1, . . . , x_n)∈Rⁿ| ∀i∈[1;n]a_i6x_i6b_i}. On appelle standard un parallélépipède qui est de cette forme et est d’intérieur non vide.

On suppose queK₀ etK₁sont chacun réunions finies de parallélépipèdes standard d’intérieurs disjoints :

K₀=

n0

[

i=1

P(a⁽ⁱ⁾, b⁽ⁱ⁾) K₁=

n1

[

i=1

P(c⁽ⁱ⁾, d⁽ⁱ⁾).

On va montrer par récurrence surn₀+n₁ que l’inégalité(1)est valable pourK₀ etK₁.

1.aÉtablir l’inégalité(1) dans le cas oùK0 et K1 sont des parallélépipèdes standard (i.e.n0=n1 = 1) en précisant le cas d’égalité (on pourra commencer par diviser parvol(K0+K1)^1/n).

1.bPour n₀ et n₁ quelconques avec n₀ supérieur ou égal à 2, trouver un entierk entre 1 etnainsi que deux réels t etude sorte que chacun des demi-espacesx_k >tet x_k 6t contienne l’un des parallélépipèdes constituantK₀ et que l’hyperplanx_k=upartageK₁ suivant les mêmes proportions que ne le faitx_k=tavecK₀ :

vol(K0∩ {xk 6t})

vol(K₀∩ {x_k >t}) = vol(K1∩ {xk6u}) vol(K₁∩ {x_k>u}) .

1.c Établir l’inégalité(1) dans le cas oùK0 et K1 sont des réunions finies de parallélépipèdes standard d’intérieurs disjoints.

Question 2

En déduire le théorème de Brunn-Minkowski.

Partie IV — Étude de la quantité vol(K )vol(K

^∗

)

SoitKun corps convexe compact O-symétrique etEK l’ellipsoïde de volume maximal inclus dansK (cf. partie II).

Question 1(Minoration devol(K)vol(K^∗))

1.aOn suppose ici queE_K est la boule unité (euclidienne) deRⁿ, notéeB_n. Soitxun réel. Montrer que, si le point de coordonnées(x,0, . . . ,0)appartient àK, alors|x|6√

n.

1.bOn se replace dans le cas général oùEK est quelconque. MontrerEK ⊂K⊂√ nEK et vol(K)vol(K^∗)>n^−n/2vol(Bn)².

(4)

Question 2(Étude du cas maximal)

On suppose ici queK maximise la quantitévol(K)vol(K^∗)parmi les corps convexes compactsO-symétriques.

SoitH un hyperplan vectoriel deRⁿ. La décomposition orthogonaleRⁿ =H⊕H^⊥ et le choix d’une base deH^⊥ permettent d’identifier les points deRⁿ à des couples(x, t)avecxdansH ettdansR. On note, pourtréel,

Kt={x∈H|(x, t)∈K}.

L’ensemble I des réelst tels queKt est non vide est donc un intervalle symétrique, d’intérieur non vide et compact deR(ces faits n’ont pas à être démontrés).

2.aSoitξ dansH, on noteϕ^K_ξ la fonction convexe deI dansR ϕ^K_ξ (t) = 1− sup

x∈Kt

hξ, xi.

Montrer qu’un couple(ξ, λ)deH×Rappartient à K^∗ si et seulement si

ξ∈(K0)^∗ et −inf

t>0

ϕ^K_ξ (−t)

t 6λ6inf

t>0

ϕ^K_ξ (t) t .

Définition.On définit un ensembleK⁰ ainsi :(x, t)appartient à K⁰ si et seulement sit etxappartiennent respectivement àIet à ¹₂(K_t+K_−t)(ce qui est la même chose que ¹₂(K_t−K_t)). Autrement ditxest le milieu d’un point de K_tet d’un point deK_−t=−K_t. Remarquons que K_t et K_t⁰ sont convexes ou vides et que K⁰ est un corps convexe, compact etO-symétrique. (On ne demande pas de démontrer ces faits.)

2.bMontrer queK⁰ a un plus grand volume queK et qu’il n’y a égalité que si pourtintérieur àI lesKt admettent un centre de symétrie, i.e. il existeµt dansH tel queKt= 2µt−Kt (la symétrie de centreµtlaisse Kt globalement invariant).

2.cDéduire de la question 2.a que(K⁰)^∗a un plus grand volume queK^∗et donc queKtadmet un centre de symétrie (notéµt) pour tout tdans l’intérieur de I.

2.dSoitξdansH; montrer qu’il existe un réelµξ tel que, pour toutt intérieur àI et strictement positif, ϕ^K_ξ (−t)−ϕ^K_ξ (t) =µξt .

2.eEn déduire qu’il existeµdansH tel que, pour touttdansI,K_tadmettµcomme centre de symétrie et donc qu’il existe une symétrie (non nécessairement orthogonale)spar rapport àH qui laisseK globalement invariant et qui est une isométrie deRⁿ pour la normejK introduite en première partie.

2.fEn déduire que Kest un ellipsoïde et quevol(K)vol(K^∗) = vol(Bn)². (On rappelle que Bn désigne la boule unité euclidienne deRⁿ.)

Question 3(Conclusion)

SoitCl’ensemble des corps convexes compactsO-symétriques deRⁿ. PourK0et K1 dansC, on pose d(K0, K1) = inf{λ∈R+|e^−λK1⊂K0⊂e^λK1}.

On admettra que (C, d)est un espace métrique et que, pour toutK dansC et tout couple de réels(a, b)avec a6b, l’ensemble

{K⁰∈ C |aK⊂K⁰⊂bK}

est compact.

Montrer que pour tout corps convexe compact etO-symétrique K deRⁿ, on a vol(B_n)²

n^n/2 6vol(K)vol(K^∗)6vol(Bn)².

(5)

Agrégation externe de Mathématiques 2001 Épreuve écrite de Mathématiques Générales

François Sauvageot 5 avril 2001

Partie I — Généralités

Question 1

Soit x et y deux points de K_θ. Il existe donc x₀ et y₀ dans K₀ et x₁ et y₁ dans K₁ tels que x = (1−θ)x₀+θx₁ et y= (1−θ)y₀+θy₁. Pourλdans[0; 1], on a

λx+ (1−λ)y= (1−θ) (λx0+ (1−λ)y0) +θ(λx1+ (1−λ)y1) et doncλx+ (1−λ)y appartient àKθ par convexité deK0et de K1 :Kθ est donc bien convexe.

Question 2

Soity dansRⁿ. On a

y∈(A(K))^∗ ⇔ ∀x∈K, ⟨y, A(x)⟩⩽1

⇔ ∀x∈K, ⟨^tA(y), x⟩⩽1

⇔ ^tA(y)∈K^∗

⇔ y∈^tA⁻¹(K^∗) D’où(A(K))^∗=^tA⁻¹(K^∗).

Question 3

3.aCommeO est intérieur à K, K contient une boule fermée centrée enO et de rayonr strictement positif et donc, si x est non nul,rx/||x||appartient àK et||x||/r appartient àI_x. C’est encore vrai sixest nul et doncI_x n’est pas vide.

Soit λet µ deux réels avecµ ⩾λ. Pour tout x dansK le segment [0;µx]contient le segment [0;λx]. Par conséquent, puisque K contient O et est convexe, il en est de même de son image par une homothétie de centreO (car il en serait de même pour l’image par une application aﬃne quelconque préservantO) et µK contient λK. Il en résulteλ∈I_x ⇒µ∈I_x et donc queI_x est un intervalle non majoré.

Enfin soit(λn)n∈N une suite de points deIx convergente vers un certainλdans R. Par définition on peut trouver une suite (kn)n∈N de points de K telle que, pour tout entier naturel n, x= λnkn. Comme K est compact, la suite (kn)n∈N

possède au moins une valeur d’adhérence dans K, disonsk. Et doncλk est valeur d’adhérence de la suite (λnkn)n∈N, i.e.

x=λk, et doncλappartient àIx. Il en résulte queIxest fermé.

Remarque : on peut préciser la démonstration de λK ⊂µK. Siλ est nul, alors λK aussi et est inclus dansµK. Si λ n’est pas nul et sixappartient àλK, alors

x=µ (λ

µ x

λ+µ−λ µ 0

)

exhibexcommeµ fois un barycentre à coeﬃcients positifs d’éléments deK, et doncxappartient àµK.

1

(6)

Agrégation externe de Mathématiques 2001 Mathématiques Générales

3.bCommeI_x= [j_K(x); +∞[, on a

∀λ∈R+ λ∈Ix⇔λ⩾jK(x) et, en particulier,

x∈K⇔1∈I_x⇔1⩾j_K(x).

Soitλun réel positif,xety deux vecteurs deRⁿ avecy=λx. On aλI_x=I_y et doncj_K(y) =λj_K(x). Par conséquent, sij_K(x) = 1, pour toutεréel compris strictement entre 0 et 1, on a (1−ε)x∈K et (1 +ε)x̸∈K. Ceci exhibe xcomme point de la frontière deK.

Pour conclure, il faut (et il suﬃt de) montrer que si jK(x)<1, alors xest intérieur àK. PuisqueO est intérieur àK, il nous est permis de fixer un réel strictement positifrtel que la boule ouverte Br de centreO et de rayonr soit contenue dansK. Soit maintenant, pour εstrictement positif,xε= (1 +ε)xet hε l’homothétie de centrexεet de rapportε/(1 +ε).

x

r

Si xε appartient àK, il en est de même pour l’image deBr parhε, par convexité deK et parce que le rapport deh_εest compris entre 0 et 1. Or cette image n’est autre que la boule de centre x et de rayonrε/(1 +ε) et, par conséquent, xest intérieur à K. En particulier, si j_K(x)<1,x_ε appartient àK pour εsuﬃsamment petit et donc xest intérieur àK.

Remarque : on peut expliciter l’argument précédent. SoitudansE etxε comme précédemment. Sixε appartient àK, il en est de même pour

x+ ε

1 +εu= 1

1 +εxε+ ε 1 +εu

dès que||u||⩽r, par convexité de K. Ainsi on voit que K contient la boule de centre xet de rayonr(1−j_K(x)).

Question 4

4.aRemarquons queKest bien, dans chaque cas, une partie convexe compacte etO-symétrique deR². De plusOappartient toujours àK^∗. Dans la suite on notey un point non nul deK^∗.

1.La boule unité.

K=K*

Commex=y/||y|| appartient àK, on a nécessairement||y||=⟨x, y⟩⩽1. Soit maintenant zde norme inférieure à 1. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a, pour toutxdansK,

⟨x, z⟩⩽||x||.||z||⩽1

et donc K^∗ = K est la boule unité. En particulier K^∗ est un corps convexe compact O- symétrique deR².

Soitλun scalaire strictement positif ;λK est la boule fermée de centreOet de rayonλet donc, pour toutxdansR², on a x∈λK ⇔ ||x||⩽λ ou encore λ∈I_x⇔λ⩾||x|| et donc j_K(x) = infI_x=||x||.

Il en résulte quejK etjK^∗ sont toutes les deux la norme euclidienne.

2.Le carré.

K

K*

Pourx= (x1, x2)dansR², on note||x||1=|x1|+|x2|et ||x||_∞= max{|x1|,|x2|}.

On s’intéresse donc au carré défini par||x||_∞⩽1. Soitxle point deK dont toutes les coordonnées sont soit 1 soit−1selon que la coordonnée correspondante dey est positive ou non. On a

⟨x, y⟩=||y||1

et doncyappartient au losange(carré) défini par||y||1⩽1. Si maintenantzest un point du losange, on a, pour toutxdansK,

⟨x, z⟩⩽||x||∞.||z||1⩽1 et doncK^∗ est le losange||y||1⩽1.

Corrigé Rédaction : François Sauvageot Page 2/15

(7)

En particulierK^∗ est un corps convexe compactO-symétrique deR². CommeK et K^∗ sont définis grâce à ces normes, le calcul eﬀectué en 1. montre quejK est la norme||.||_∞et jK∗ est la norme||.||1.

3.Le parallélogramme.SoitM etNdeux sommets consécutifs deK. Le parallélogrammeKest donc celui de sommets M, N, −M et −N. Soit P = (1,1) et Q = (1,−1). Comme (O, P, Q) et (O, M, N) sont des repères aﬃnes, il existe (un unique)AdansGL2(R)envoyant le pointP surM et le pointQsurN. De plusAenvoie le carré de la question précédente surKpar préservation du barycentre puisque le carré et le parallélogramme sont définis comme les lieux des barycentres à coeﬃcients positifs deP etQ(respectivement deM etN) et de leurs symétriques par rapport àO. Ainsi, pourxdansR², on a

x∈K⇔ ||A⁻¹x||∞⩽1.

Il en résulte, grâce à la question 2, queK^∗ est l’image par ^t(A⁻¹)⁻¹=^tAdu losange précédent, i.e.

K^∗={

x∈R²| ||^tAx||1⩽1} et en particulierK^∗ est un corps convexe compactO-symétrique de R².

K*

K

Or donc, siM et N admettent (a, b) et (a^′, b^′) comme coordonnées respectives, alors

A= 1 2

( a+a^′ a−a^′ b+b^′ b−b^′

)

etK^∗={

(x₁, x₂)∈R²| |x₁(a+a^′) +x₂(b+b^′)|+|x₁(a−a^′) +x₂(b−b^′)|⩽2} . C’est donc le parallélogramme de sommets

M^′=

( b−b^′

ab^′−a^′b, a^′−a ab^′−a^′b

)

et N^′=

( b+b^′

ab^′−a^′b,− a+a^′ ab^′−a^′b

)

ainsi que leurs symétriques.

Siuest une application linéaire,xun point deRⁿ etK^′ un corps convexe compact, on a

∀λ∈R+ u(x)∈λu(K^′)⇔x∈λK^′

et doncj_u(K′)(u(x)) =jK^′(x)ou encorej_u(K′)=jK^′◦u⁻¹. Il en résulte jK(x) =||A⁻¹x||_∞ et jK^∗(x) =||^tAx||1. De façon explicite on a

jK(x) = 2 max

((a^′−a)x2−(b^′−b)x1

a^′b−ab^′ ,(a+a^′)x2−(b+b^′)x1

a^′b−ab^′

)

et

jK∗(x) =1

2(|(a+a^′)x1+ (b+b^′)x2|+|(a−a^′)x1+ (b−b^′)x2|) .

4.bK^∗ est convexe fermé en tant qu’intersection de tels ensembles (c’est l’intersection de demi-espaces fermés).

Si K est contenu dans la boule de centre O et de rayon R(avecR strictement positif),K^∗ contient la boule de centre O et de rayon1/R. En eﬀet soitxdansKet y de norme inférieure à1/R, on a, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

⟨x, y⟩⩽||x||/R⩽1

et doncy appartient bien àK^∗. Donc ce dernier est bien un corps convexe contenantOdans son intérieur.

CommeK contientOdans son intérieur, il contient une boule de centreO et de rayonr, avecrstrictement positif. Il en résulte queK^∗est inclus dans la boule de centreOet de rayon1/r. En eﬀet soitynon nul dansK^∗etx=ry/||y||. Comme la norme dexest r, il appartient àK et donc

r||y||=⟨x, y⟩⩽1.

AinsiK^∗ est borné et donc compact puisqu’à la fois fermé et borné dans Rⁿ. On a bien démontré que K^∗ est un corps convexe compact contenantO dans son intérieur.

(8)

Soity dans Rⁿ, par compacité deK et continuité du produit scalaire, la quantité j(y) = max{⟨x, y⟩ |x∈K}est bien définie.

Soitλun réel. Si 0< λ < j(y), il existexdansKtel que ⟨x, y⟩> λ et donc⟨x, y/λ⟩>1, i.e.y n’appartient pas àλK^∗. Il en résultejK∗(y)⩾j(y). Mais, par le même calcul,y appartient àj(y)K^∗ et doncjK∗(y) =j(y).

Remarque : on pourrait montrer que siK contientK^′, alorsK^∗ est contenu dansK^′^∗ et que la figure polaire deB(O, r) estB(O,1/r) (en utilisant I.4.a.1 et I.2) et ainsi en déduire directement

B(O, r)⊂K⊂B(O, R)⇒B(O, 1

R)⊂K^∗⊂B(O,1 r).

4.cSoitxety dansE etλdansR. On a

jK(x) = 0⇔0∈Ix⇔x∈0.K⇔x= 0

et, parO-symétrie deK,

j_K(−x) = inf{µ∈R₊| −µx∈K}= inf{µ∈R₊|µx∈K}=j_K(x). Comme a déjà remarqué en I.3.bjK(|λ|x) =|λ|jK(x), il en résultejK(λx) =|λ|jK(x).

Enfinxety appartiennent respectivement àjK(x)Ket jK(y)Ket donc, il existeketk^′ dansK tels quex=jK(x)ket y=jK(y)k^′. Par convexité deK, on a, sijK(x) +jK(y)̸= 0,

x+y= (j_K(x) +j_K(y))

( j_K(x)

jK(x) +jK(y)k+ j_K(y) jK(x) +jK(y)k^′

)

∈(j_K(x) +j_K(y))K

et, sijK(x) +jK(y) = 0,x=y= 0et donc, dans tous les cas

x+y∈(jK(x) +jK(y))K et

j_K(x+y)⩽j_K(x) +j_K(y). Par conséquentjK est une norme surE.

Il en est de même pourjK^∗ pour peu que l’on démontre queK^∗ a les mêmes propriétés queK. D’après I.4.b, il nos suﬃt de remarquer queK^∗ estO-symétrique. OrK l’est et donc, pour toutydansRⁿ,

∀x∈K ⟨x, y⟩⩽1 ⇔ ∀x∈ −K ⟨x, y⟩⩽1

⇔ ∀x∈K ⟨−x, y⟩⩽1

⇔ ∀x∈K ⟨x,−y⟩⩽1 i.e.y appartient àK^∗si et seulement si−y lui appartient, ou encoreK^∗ estO-symétrique.

Soituune forme linéaire sur Rⁿ identifiée à un vecteury deRⁿ; par définition de la normeN sur le dual de(Rⁿ, jK), on a

N(u) = sup

j_K(x)⩽1

u(x) = sup

x∈K⟨x, y⟩=jK^∗(y). Par conséquent(Rⁿ, jK)^∗ et(Rⁿ, jK^∗)sont isomorphes.

Remarque : on peut très bien démontrer que jK^∗ est une norme à partir de la formule donnée en I.4.b. Néanmoins le seul point délicat est équivalent à laO-symétrie de K^∗.

Question 5

5.aPar définition H est l’hyperplan d’équation

⟨x−p_K(a), a−p_K(a)⟩= 0.

(9)

Soit maintenantxdansK, pour tout réelλdans[0; 1], le point(1−λ)p_K(a) +λxest dans K et est plus éloigné dea que ne l’estpK(a), i.e.

||a−(1−λ)pK(a)−λx||²⩾||a−pK(a)||² et donc

λ²||x−pK(a)||²+ 2λ⟨a−pK(a), pK(a)−x⟩⩾0. Il en résulte, pour toutλdans]0; 1]

⟨a−p_K(a), x−p_K(a)⟩⩽ λ

2||x−p_K(a)||² et donc

⟨a−p_K(a), x−p_K(a)⟩⩽0.

De plus tout pointxde H est limite de points n’appartenant pas àK, par exemple les points x_ε =x+ε(a−p_K(a)), pourεstrictement positif, puisque⟨x_ε−p_K(a), a−p_K(a)⟩est égal àε||a−p_K(a)||²et est strictement positif. Par conséquent aucun point intérieur àK ne peut appartenir àH, i.e. tout point intérieur àK vérifie

⟨a−pK(a), x−pK(a)⟩<0. En particulier, puisqueO est intérieur àK,

⟨a−pK(a), pK(a)⟩>0. Soit donc ule vecteur

u= 1

⟨a−p_K(a), p_K(a)⟩(a−pK(a)).

L’hyperplanH est défini par l’équation⟨x, u⟩= 1et K est contenu dans le demi-espace ⟨x, u⟩⩽1 d’après ce qui précède.

De plusa n’appartenant pas àK, ||a−pK(a)||² est strictement positif et donc ⟨a, u⟩ est strictement supérieur à 1. Il en résulte queusatisfait les propriétés requises.

5.bSoitK1= (K^∗)^∗. C’est un corps convexe compact contenant O dans son intérieur d’après la question 4.b. et, de plus, on a, pour toutxdansRⁿ

jK₁(x) = max{⟨x, y⟩ |y∈K^∗}.

Soit donc a dans K. Pour tout y dans K^∗, on a ⟨a, y⟩ ⩽1, par définition de K^∗, et donc jK₁(a) ⩽1. Par conséquenta appartient àK1.

Réciproquement, soit a n’appartenant pas à K. D’après ce qui précède on peut trouver udans Rⁿ tel que, pour tout x dans K, ⟨x, u⟩ soit inférieur à 1 (i.e. u appartient à K^∗) mais ⟨u, a⟩ soit strictement supérieur à 1. Par conséquent a n’appartient pas àK₁.

En conclusion on a bien montré l’équivalence désirée et donc(K^∗)^∗=K.

Question 6

NotonsK^′ =pr_H(K). Puisque la projectionpr_Hest une application aﬃne, elle préserve le barycentre et doncK^′est convexe.

Soitx^′= (x1, . . . , xn−1)un point deK^′ etI l’ensemble

I={xn ∈R|(x1, . . . , xn)∈K}.

Par définition deK^′,I est non vide ; par convexité deK, il est convexe (i.e. est un intervalle) ; par compacité deK, il est borné. Enfin par continuité deprH,K^′ est compact etI est fermé.Iest donc un segment. Par conséquent

φ^K = supI et φK= infI sont des quantités finies et on a

(x₁, . . . , x_n)∈K⇔φ_K(x^′)⩽x_n⩽φ^K(x^′). Il nous reste donc à démontrer la convexité et la concavité respectives deφ_K et φ^K.

(10)

Soitx^′ = (x^′₁, . . . , x^′_n₋₁)ety^′= (y₁^′, . . . , y_n^′₋₁)deux points deK^′ et λun réel compris entre 0 et 1.

Comme(x^′₁, . . . , x^′_n₋₁, φK(x^′))et (y^′₁, . . . , y_n^′₋₁, φK(y^′))sont dans K, il en est de même leurs barycentres à coeﬃcients positifs et donc

φK(λx^′+ (1−λ)y^′)⩽λφK(x^′) + (1−λ)φK(y^′). De même(x^′₁, . . . , x^′_n₋₁, φ^K(x^′))et (y^′₁, . . . , y_n^′₋₁, φ^K(y^′))sont dansK et

φ^K(λx^′+ (1−λ)y^′)⩾λφ^K(x^′) + (1−λ)φ^K(y^′). Les fonctionsφK et φ^K sont donc bien respectivement convexe et concave.

Partie II — Géométrie des formes quadratiques

Question 1

SoitAune matrice symétrique définie positive, on peut trouverP orthogonale etSdiagonale à diagonale strictement positive telles queAsoit égale àP⁻¹SP. Par positivité des coeﬃcients diagonaux deS, on peut trouver une matrice diagonaleT à diagonale strictement positive telle queT²=S⁻¹ et doncB=P⁻¹T P convient.

De plus, pourxdansRⁿ, on a

⟨Ax, x⟩=||B⁻¹x||²

et doncx appartient àE(A) si et seulement si B⁻¹xappartient à la boule unité euclidienne Bn, i.e. si et seulement si x appartient à l’image parB de cette boule. Par conséquentE(A)est l’image parB deBn.

Question 2

SoitA etB deux matrices symétriques définies positives etλun réel compris entre 0 et 1. On a

∀X ∈E ^tX(λA+ (1−λ)B)X =λ^tXAX+ (1−λ)^tXBX .

La matrice λA+ (1−λ)B est donc symétrique définie positive et, par suite, l’ensemble des matrices symétriques définies positives est une partie convexe de l’espace vectorielMn(R).

On peut donc se poser la question de la convexité de la fonctiondet⁻^1/2sur cette partie. Comme la log-convexité entraîne la convexité, il suﬃt de montrer quelog(det)est strictement concave. PourA,Betλcomme précédemment, avecAdistinct deB etλde 0 et 1, on peut trouverP dansGLn(R)et une matriceDdeMn(R)diagonale tels que

A=^tP.P et B=^tP.D.P

et donc l’inégalité de concavité pourlog(det)s’écrit

λlog(

(detP)²)

+ (1−λ) log( detD(

det(P)²))

>log(

det(λIn+ (1−λ)D)(

det(P)²)) oùIn désigne la matrice identité d’ordren. Autrement dit on veut montrer

(1−λ) log(detD)>log(det(λI_n+ (1−λ)D)).

Désignons par(di)1⩽i⩽n les coeﬃcients diagonaux deD; ce sont des réels strictement positifs et l’inégalité peut se récrire

(1−λ)

∑n i=1

log(d_i)>

∑n i=1

log(λ+ (1−λ)d_i).

Or la concavité du logarithme entre 1 etxentraîne

∀x∈R^∗₊ (1−λ) logx >log(λ+ (1−λ)x) dès quexest distinct de 1 etλde 0 et 1. L’assertion en résulte.

(11)

Question 3

3.aSoitAune matrice symétrique définie positive. Notons qA la forme quadratique associée etB une matrice symétrique définie positive telle queB²=A⁻¹. On a donc E(A) =B(Bn).

Si uest une application linéaire etK un corps convexe compact, on aj_u(K)=jK◦u⁻¹(comme on l’a déjà vu en I.4.a) et donc, pourxdansRⁿ,j_E(A)=||B⁻¹x|| ou encorej_E(A)(x)²=qA(x).

De plus siKet K^′ sont deux corps convexes compacts, on aK⊂K^′ si et seulement sijK ⩾jK^′. Par conséquentE(A) est inclus dansK si et seulement siqA⩾j_K².

Or, àxfixé, la condition⟨x, Ax⟩⩾jK(x)²définit un fermé deMn(R)par continuité du produit scalaire. Il en est donc de même pour l’intersection de ces fermés pourxvariant dansRⁿ. C’est-à-dire que la conditionqA⩾jK, ou encoreE(A)⊂K, définit un fermé deMn(R).

Puisque E(A) = B(Bn), le volume de E(A) est celui de Bn divisé par det(A)^1/2. En particulier une minoration du volume deE(A)équivaut à une majoration dedet(A). Par continuité du déterminant, cette condition définit un fermé de M_n(R)et donc, au final,EK,v est un fermé.

Remarquons que, K étant compact, il est inclus dans une boule fermée de centre O et de rayon R pour un certain R strictement positif. Par conséquent, siE(A)est inclus dansK,B(B_n)est inclus dans cette boule et toutes les valeurs propres deB sont donc inférieures àR. Autrement dit toutes les valeurs propres deA sont supérieures à1/R².

Aussi, pourE(A)dansEK,v, le déterminant deAest majoré. Soit∆un tel majorant. Une valeur propre de Aest donc majorée par∆ divisé par le produit den−1minorants des valeurs propres deA, i.e. par∆R²ⁿ⁻². Ainsi ces valeurs propres appartiennent au compactC= [R⁻²; ∆R²ⁿ⁻²] deR^∗₊.

Comme le groupe des matrices orthogonales est compact, il en est de même de l’ensemble des matrices de la forme

tP.D.P avecP orthogonale etDdiagonale dont les coeﬃcients diagonaux sont tous dansC. Par conséquentEK,v est inclus dans un compact et, étant fermé, il est lui-même compact.

Remarque : on a vraiment besoin de minorer et de majorer les valeurs propres deA(ou celles deB) car on travaille dans un ensemble non fermé. L’ensemble des matrices symétriques positives est fermé, mais pas celui des matrices symétriques définies positives, qui est intersection du fermé précédent et de l’ouvertGLn.

3.bComme la fonction déterminant est continue surMn(R), la fonction volume est continue surE. PuisqueK contient un voisinage deO, il contient un ellipsoïde. Soitvle volume de cet ellipsoïde. Le maximum de la fonction volume sur l’ensemble des ellipsoïdes inclus dansKest donc atteint surEK,v. Par continuité de la fonction volume et compacité deEK,v, l’existence d’un ellipsoïde de volume maximal inclus dansK est acquise.

Pour obtenir l’unicité il faut travailler avec une fonction strictement concave. C’est le cas du déterminant sur l’ensemble (convexe) des matrices symétriques définies positives, d’après II.2. NotonsBK,vl’ensemble des matrices symétriques positives telles queB⁻²appartient à EK,v ou encore telles queB(Bn)⊂K etdet(B)⩾v/vol(Bn). Par convexité deK la condition B(B_n) définit un convexe ; par concavité du déterminant sur l’ensemble des matrices symétriques définies positives, la conditiondet(B)⩾v/vol(B_n) définit aussi un convexe de cet ensemble. Par conséquentBK,v est intersection de ces deux convexes et est donc lui aussi convexe. La fonction déterminant y atteint donc un unique maximum. Commevol(E(B⁻²)) = det(B)vol(B_n), on en déduit que B 7→ vol(E(B⁻²)) atteint un unique maximum surBK,v, i.e. A7→vol(E(A))atteint un unique maximum surEK,v.

Question 4

4.aSoituun automorphisme linéaire, de matrice associéeU relativement à la base canonique deRⁿ etE(A)un ellipsoïde.

On a

E(A)⊂K⇔u(E(A))⊂u(K)⇔E(^tU AU)⊂u(K)

et donc l’ensemble des ellipsoïdes inclus dansu(K)est tout simplement l’image parude l’ensemble des ellipsoïdes inclus dans K. De plus les volumes de E(A)et deu(E(A))sont proportionnels. Ainsi, par unicité de l’ellipsoïde de volume maximal, il vientEu(K)=u(EK).

Par conséquent siuest un automorphisme linéaire préservantK,EK =u(EK). NotonsqK la forme quadratique associée àEK. L’assertion précédente est équivalente à qK◦u=qK. Par conséquentqK est une forme quadratique définie positive invariante parIs_K.

4.b

(12)

1. La boule unité. E_K est égal à K et A est l’identité. Par conséquent la forme quadratique euclidienne standard convient.

2. Le carré.Comme le carré admet des symétries, il en est de même pour EK. En particulierEK admet les axes de coordonnées et les bissectrices comme axes de symétrie. Ceci force EK à être la boule unité. Il en résulte que la forme quadratique euclidienne standard convient. On pourrait aussi procéder en donnantIsK≃D8 à condition de l’énoncer d’un point de vueaﬃne : en eﬀetIsK n’est absolument pas une notion euclidienne.

3. Le parallélogramme. On écrit K comme l’image par une application linéaire udu carré précédent. EK est donc l’image parude la boule unité et qK peut être définie parqK(x) =||u⁻¹(x)||².

Partie III — Théorème de Brunn-Minkowski

Question 1

1.aRemarquons qu’un parallélépipède standard est un produit d’intervallesIi deRpour ientier variant entre 1 etn.

Notons(u_i)₁_⩽_i_⩽_net(v_i)₁_⩽_i_⩽_nles longueurs des intervalles intervenant dans les parallélépipèdesK₀etK₁respectivement.

Remarquons que ces nombres sont des réels strictements positifs. Il s’agit de démontrer

n

vu ut∏ⁿ

i=1

u_i+ ⁿ vu ut∏ⁿ

i=1

v_i⩽ ⁿ vu ut∏ⁿ

i=1

(u_i+v_i)

ou encore, en posantti=ui/(ui+vi)pour ientier entre 1 etn,

n

vu ut∏ⁿ

i=1

ti+ ⁿ vu ut∏ⁿ

i=1

(1−ti)⩽1.

Cette dernière égalité résulte de l’inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique.

Le cas d’égalité est obtenu lorsque tous lesti (et donc tous les1−ti) sont égaux, autrement dit lorsque tous les rapports ui/vi sont égaux. Ceci correspond à des parallélépipèdes homothétiques ou translatés.

1.bRemarquons que siP etQsont deux parallélépipèdes standard produits respectivement d’intervallesI_ietJ_i, alorsP∩Q contient le produit des intersectionsI_i∩J_i. Par conséquent siP etQsont d’intérieurs disjoints il existe un indiceitel que I_i et J_i le soient également.

Soit doncP et Qdeux parallélépipèdes standard intervenant dansK₀. Notonskun indice obtenu par les considérations précédentes ett un réel séparant les deux intervalles d’intérieurs disjointsIk et Jk de R. L’hyperplan d’équation xk = t sépare doncK0en deux de telle sorte que chacun des demi-espaces qu’il délimite contienne l’un au moins de ses constituants.

De plus, pour un parallélépipède standard P l’application qui àuassocie le volume de P∩ {xk ⩽u} est continue (et même aﬃne par morceaux). De sorte quevol(K1∩ {xk ⩽u})et vol(K1∩ {xk ⩾u})le sont aussi. Le rapport de ces deux quantités variant de 0 à l’infini lorsque u décrit R, l’existence d’un u satisfaisant aux conditions de la question est donc démontrée.

1.cPourmentier naturel supérieur ou égal à 2, soitH_m la propriété : pour tout couple(K₀, K₁)de compacts réunions de n0et n1parallélépipèdes standard d’intérieurs disjoints respectivement, avecn0+n1⩽m, on avol(K0)^1/n+ vol(K1)^1/n⩽ vol(K0+K1)^1/n.

La propriétéH2 est vraie d’après III.1.a.

Pour m quelconque strictement supérieur à 2, par symétrie du problème, on peut supposer n0 ⩾ 2 et par conséquent la question précédente nous permet d’écrire K0 et K1 comme réunions disjointes :K₀⁺∪K₀⁻ et K₁⁺∪K₁⁻ où chacun des ensembles intervenant sont des réunions de parallélépipèdes standard en nombresn⁺₀,n⁻₀,n⁺₁ etn⁻₁ respectivement avec les conditionsn⁺₀ < n0,n⁻₀ < n0, n⁺₁ ⩽n1,n⁻₁ ⩽n1 et l’existence d’un scalaireλtel que

vol(K₀⁺)

vol(K₀⁻) = vol(K₁⁺) vol(K₁⁻)=λ .

(13)

De plusK₀⁺+K₁⁺ et K₀⁻+K₁⁻ sont d’intérieurs disjoints puisqu’ils sont séparés par l’hyperplanx_k=t+uet donc

vol(K0+K1)⩾vol(K₀⁺+K₁⁺) + vol(K₀⁻+K₁⁻).

De plus (

vol(K0)^1/n+ vol(K1)^1/n )n

= λ

1 +λ (

+ 1

1 +λ (

= (

vol(K₀⁺)^1/n+ vol(K₁⁺)^1/n )n

+ (

vol(K₀⁻)^1/n+ vol(K₁⁻)^1/n )n

et donc la propriété est héréditaire.

Le principe de récurrence permet donc de conclure.

Question 2

Soitε un réel strictement positif. Par compacité de K₀ et K₁ on peut trouver un recouvrement de ces compacts par des réunions finies de parallélépipèdes standard dont chaque côté est de longueur inférieure àε. Quitte à raﬃner ces familles on peut supposer que les parallélépipèdes ont des intérieurs disjoints. Notons K₀^ε et K₁^ε les compacts obtenus par réunion de ces familles.

On a donc, en notantP l’hypercube de centreOet de côté 2,

K0⊂K₀^ε⊂K0+εP et K1⊂K₁^ε⊂K1+εP .

Puisque tout compact est mesurable, les deux inégalités de gauche entraînent

vol(K0)⩽vol(K₀^ε) et vol(K1)⩽vol(K₁^ε). Il en résulte, grâce à la question précédente,

(

⩽(

vol(K₀^ε)^1/n+ vol(K₁^ε)^1/n )n

⩽vol(K₀^ε+K₁^ε). De plus, en sommant les deux doubles inégalités ensemblistes précédentes, on obtient

K₀+K₁⊂K₀^ε+K₁^ε⊂K₀+K₁+ 2εP et, par conséquent,

vol(K0+K1)⩽vol(K₀^ε+K₁^ε)⩽vol(K0+K1+ 2εP).

Faisons maintenant varierε. Le théorème de convergence dominée (ou de convergence monotone) entraîne

εlim→0vol(K0+K1+ 2εP) = lim

ε→0vol(K₀^ε+K₁^ε) = vol(K0+K1) et le théorème de Brunn-Minkowski résulte donc de l’inégalité

∀ε∈R^∗₊ (

⩽vol(K₀^ε+K₁^ε).

Partie IV — Étude de la quantité vol(K )vol(K

^∗

)

Question 1

1.aSoitM le point de coordonnées(x,0, . . . ,0). Si|x|⩽1,M appartient àB_n et donc àK. Par symétrie,M est dansK si et seulement si−M l’est. Pour étudier l’appartenance deM à K, on peut donc supposerxsupérieur à 1. En particulier il existeuentre 0 etπ/2tel que x= 1/cos(u).